2025年高考数学一轮复习专题5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系-(原卷版+解析版)

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题型一象限角及终边相同的角
例1．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角D．小于90°的角都是锐角
【答案】B
【分析】根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案.
【详解】对于A，终边相同的角可表示为，故A错误；
对于B，锐角的取值范围为，故B正确；
对于C，第二象限角的取值范围为，故C错误；
对于D，锐角的取值范围为，其，则，但不是锐角，故D错误.
故选：B.
例2．（2023·高三单元测试）设集合，，则集合，的关系为（ ）
A．B．C．D．莫得关系
【答案】B
【分析】对于集合，分和分别来研究可得答案.
【详解】集合
对于集合，
当时，；
当时，，
.
故选：B.
练习1．（2022秋·四川凉山·高三统考期末）“角A不大于”是“角A属于第一象限角”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由第一象限角定义判断“角A不大于”与“角A属于第一象限角”间关系即可.
【详解】“角A不大于”则A可能为，不能得到“角A属于第一象限角”；
由“角A属于第一象限角”，则A可能为，不能得到“角A不大于”.
则“角A不大于”是“角A属于第一象限角”的既不充分也不必要条件.
故选：D
练习2．（2022秋·江苏扬州·高三扬州中学校考期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是__________.
【答案】
【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.
【详解】因为终边落在y轴上的角为，
终边落在图中直线上的角为；
，
即终边在直线上的角为，，
所以终边落在阴影部分的角为，
故答案为：
练习3．（2022秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
B．若角，则角为第二象限角
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．是的充要条件
【答案】ACD
【分析】根据角的定义可判断A，根据弧度与角度的关系可判断B，根据象限角的范围即可判断C，根据三角函数的周期性即可判断D.
【详解】对于A：将表分针拨快5分钟，则分针转过的角度为，故A不正确；
对于B：因为角，所以角为第二象限角，故B正确；
对于C：若为第一象限角，不妨取，则角为第三象限角，故C错误；
对于D:若，则，故充分性成立，但，可以为，故D错误，
故选：ACD
练习4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知点在第二象限，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限.
【详解】因为点在第二象限，所以，，即为第三象限角．
故选：C
练习5．（2023春·辽宁沈阳·高三校联考期中）下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】角用弧度制表示为，B、D错误；
终边相同应加上，故C错误．
故选：A．
题型二扇形的弧长及面积公式
例3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（ ）（参考数据：）

A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【答案】D
【分析】求得判断选项A；求得满足条件的的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D.
【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，
选项A：.故A正确；
选项B：由，可得 ，解得，又扇形的半径，
则.故B正确；
选项C：若扇面为“美观扇面”，则，
解得.故C正确；
选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，
则此时的扇形面积为.故D错误.
故选：D
例4．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（精确到）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.
【详解】依题意，弦(m)，矢(m)，
则弧田面积=()，
所以弧田面积约是.
故选：A
练习6．（2023春·山东·高三滨州一中校联考期中）时钟的分针长，从到，分针转过的角的弧度数为______，分针扫过的扇形面积为______.
【答案】
【分析】直接计算出分钟转过的弧度数，利用扇形的面积公式可求得分针所扫过的面积.
【详解】由题意得，分针转过的角的弧度数为，
分针扫过的扇形面积为.
故答案为：；.
练习7．（2023春·山东·高三统考期中）如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆的面积，再乘以即可.
【详解】因为航海罗盘将圆周32等分，圆盘的半径为4，
所以每一份的扇形面积为.
故选：C.
练习8．（2023春·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）设扇形的周长为，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设扇形半径为，由周长求出弧长为，根据扇形面积公式求出面积最大时的值，并由此算出圆心角的弧度数，或使用基本不等式利用半径的二倍与弧长的和为定值结合扇形面积公式进行求解.
【详解】方法一：
设扇形的半径为（），则扇形的弧长（），
扇形的面积，（），
由二次函数知识，当（满足）时，扇形的面积取最大值，
此时，扇形的弧长，扇形圆心角的弧度数.
方法二：
设设扇形的半径为，弧长为（，），则扇形的周长，
由基本不等式，
扇形的面积，当且仅当时取等号，
此时，扇形的圆心角的弧度数.
故选：B.
练习9．（2023春·山东威海·高三校考阶段练习）如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则弦AB的长为________．
【答案】
【分析】由扇形面积公式可得，从而求得，再根据即可求解.
【详解】由扇形面积公式，可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
练习10．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解.
【详解】设圆锥母线长，底面圆半径，
，所以，
圆锥表面积，扇形面积，
所以.
故选：D
题型三三角函数的定义及其应用
例5．（2023春·北京丰台·高三统考期中）在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每分钟转动一周. 若点初始位置的坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设坐标原点为，点为，由三角函数定义求的正弦和余弦，结合诱导公式的正弦和余弦，由此可得坐标.
【详解】因为点初始位置的坐标为，
所以，
因为每分钟转动一周，逆时针运动分钟，动点所处位置为，
所以，
所以，
，
所以点的坐标为,
故选：C.
例6．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案.
【详解】由点在单位圆上，则，解得，
由锐角，即，则，
故，
所以
.
故选：D
练习11．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考期中）已知角的终边与单位圆交于点，则________．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得，再由三角函数的定义即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，
由三角函数的定义可得.
故答案为：
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）恒过定点P，若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边恰好经过点P，则______
【答案】/
【分析】利用对数函数图象的平移变换及性质，求出定点P，进而得到，利用三角函数的二倍角公式，以及平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简求值即可.
【详解】因为函数可看作是由函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到，
而恒过点，所以恒过点，即，
则，故，
故答案为：.
练习13．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）若点在角的终边上，则__________．
【答案】/
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.
【详解】因为点，即在角的终边上，且，
所以，则.
故答案为:
练习14．（2023·山西晋中·统考三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角函数的定义结合，即可判断.
【详解】设，则.
因为，所以，所以同号，且，则ABD错误.
故选：C
练习15．（河南省南阳市六校2022-2023学年高一下学期第二次联考数学试题）在平面直角坐标系中，角的顶点为O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由诱导公式、倍角余弦公式得，三角函数定义知，代入求值即可.
【详解】，由题意，
所以.
故选：B
题型四三角函数符号的判断
例7．（2023春·辽宁·高三校联考期中）点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先判断在第几象限，进而判断三角函数值的符号，即可得结果.
【详解】因为，则为第三象限角，
可得，
所以位于第四象限.
故选：D.
例8．（2021春·高一课时练习）已知点在第二象限，则是第________象限角．
【答案】四
【分析】由点在第二象限，得到，从而得到所在的象限．
【详解】因为点在第二象限，
所以，
由可得的终边在第二象限或第四象限；
由可得的终边在第一象限或第四象限或在轴的非负半轴上，
所以是第四象限角．
故答案为：四.
练习16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.
【详解】因为是第二象限角，所以，，
进而硧定，.
所以点在第四象限.
故选：D
练习17．（2023春·江西赣州·高三赣州中学校考阶段练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．与的终边相同
B．若为第三象限角，则
C．若，则为第一象限角
D．若为第一象限角，则不可能为第二象限角
【答案】ABD
【分析】根据终边相同的角的表示判断A，利用象限角的定义判断B、D，利用特殊值判断C.
【详解】对于A：因为与终边相同的角表示为，，
当时，即与的终边相同，故A正确；
对于B：为第三象限角，则，，
则，，即位于第二象限或第四象限，所以，故B正确；
对于C：当时，但是不属于任何一象限，故C错误；
对于D：为第一象限角，则，，
则，，所以不可能为第二象限角，故D正确；
故选：ABD
练习18．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）若，，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限.
【详解】由，，得，，所以是第四象限角.
故选:D.
练习19．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知，则点P所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解.
【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，
所以，
所以点P所在象限为第四象限.
故选：D.
练习20．（2023春·全国·高三阶段练习）（多选）求函数可能取值，其中 （ ）
A．16B．C．10D．-10
【答案】ABD
【分析】讨论的象限，化简函数解析式即可.
【详解】由函数有意义可得，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
故选：ABD.
题型五同角三角函数基本关系（知一求二）
例9．（2023春·江西·高三校联考期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求解即可.
【详解】由，且，
得，
所以.
故选：A.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________．
【答案】
【分析】判断角所在象限，根据同角的三角函数关系解得的值，根据角的象限，即可确定的值，可得答案.
【详解】由可知在第一象限或第三象限，
由可得，
结合，解得，
在第一象限时，，此时，
在第三象限时，，此时，
故答案为：
练习21．（2021·高一单元测试）若是第二象限角，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解.
【详解】因为若是第二象限角，且 ，
所以.
故选：D.
练习22．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知，，则______.
【答案】/
【分析】根据同角三角函数关系求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
故答案为：.
练习23．（2023春·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系公式可求出结果；
（2）根据和差角公式可求出结果.
【详解】（1）由，，
所以,
所以；
（2）.
练习24．（2021·高三课时练习）（多选）若为锐角，，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据为锐角，先求出，进而求出，然后，在根据逐项分析即可.
【详解】因为为锐角，，
所以
所以，
所以A错误；
所以，
所以，
所以B正确;
因为，
所以，
所以C正确；
由，
所以D正确，
故选：BCD.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知是第三象限角，，则________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为，
整理可得，
解得，或，由于是第三象限角，（舍去）
所以，．
故答案为：．
题型六齐次式化简求值
例11．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得，分子分母同时除以，代入即可得出答案.
【详解】
故选：C.
例12．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）已知 ，并且是第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式计算作答.
（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算作答.
【详解】（1）因为，且是第二象限角，则，
所以.
（2）由（1）知，，所以.
练习26．（2023春·海南海口·高二海口一中校考期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的正弦公式变形后，再弦化切可得结果.
【详解】.
故选：B
练习27．（2023春·云南曲靖·高二宣威市第三中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换，将问题由弦化切计算即可.
【详解】，分子分母同时除以可得：
=5，
故选：A.
练习28．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）（1）若，求的值;
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）弦化切后代入计算；
（2）由两角和与差的正弦、余弦公式结合商数关系化简变形．
【详解】（1）
（2）原式
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角的终边在直线上可得，利用二倍角余弦公式及同角三角函数的基本关系可得.
【详解】因为终边在直线上，
所以分别在第一象限、第三象限取点，,
，
，
故选：A
练习30．（2023春·北京西城·高三北师大实验中学校考期中）如果角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为角的终边在直线上，
所以.
所以.
故选：B.
题型七与的应用
例13．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知，则的值等于__________.
【答案】/
【分析】将已知等式左右同时平方求得的值，进而可得的值，结合的范围，可得，即可得答案.
【详解】由于，
所以，故，
所以.
故答案为：
例14．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知关于x的方程的两个实根为和，且，求b的值和的值．
【答案】
【分析】由题意解方程可得的值，可得，进而利用平方差公式，同角三角函数的基本关系式即可求解.
【详解】因为关于x的方程的两个实根为和，
所以，由可得，
，解得，此时，
又因为，所以为第一象限角，所以，
则，可得，所以，
所以.
练习31．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.
【详解】因为，则，
可得，
又，则，
即，可得，
又因为，
所以.
故选：B.
练习32．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）若，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用之间的关系和题给条件即可求得分别求得的值，进而得到的值.
【详解】因为，
设（），
则，所以，，
即，所以或（舍）
所以，
．
故选：A．
练习33．（2023春·四川乐山·高三四川省乐山沫若中学校考阶段练习）已知，若，则的值为____________
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再代入计算作答.
【详解】因为，，则有，
有，即，，
因此，
所以.
故答案为：
练习34．已知、是方程的两个实数根，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用以及，结合韦达定理可求得实数的值；
（2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，即可得出的值.
【详解】（1）因为、是方程的两个实数根，
所以，，可得，
又因为，即，解得，合乎题意.
因此，.
（2）由（1）知，，
因为，则，，所以，，
所以，则，
因此，.
练习35．（2022秋·河南开封·高一校考阶段练习）（1）已知，且为第四象限角，求和的值；
（2）已知，若是第二象限角，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解，
（2）由得的值，
再由求解，
【详解】（1）因为为第四象限角，则，
，
.
（2），
所以，所以，
所以.又因为是第二象限角，所以，，所以.
题型一
象限角及终边相同的角
题型二
扇形的弧长及面积公式
题型三
三角函数的定义及其应用
题型四
三角函数符号的判断
题型五
同角三角函数基本关系（知一求二）
题型六
齐次式化简求值
题型七
与的应用