新高考数学一轮复习讲练测专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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知识点1．同角三角函数的基本关系式
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.对同角三角函数基本关系式的理解
注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cs2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cs2α)，,csα＝±\r(1－sin2α)；))
tanα＝eq \f(sinα,csα)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα＝tanαcsα，,csα＝\f(sinα,tanα).))
知识点2．三角函数诱导公式
六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
知识点3．特殊角的三角函数值（熟记）
【考点分类剖析】
考点一 同角三角函数的基本关系式
【典例1】（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________(用 SKIPIF 1 < 0 表示).
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 亦可)
【解析】
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2020·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcsx=____.
【答案】3
【解析】
【分析】
将=2左端分子分母同除以，得，解得，
.
故答案为：；
【规律方法】
1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
2. 利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是将分子、分母同除以csα(或cs2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代换，分子、分母同除以cs2α再求解．
【变式探究】
1.【多选题】若，且为锐角，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】
，且为锐角，
，故正确，
，故正确，
，故错误，
，故错误.
故选：.
2.（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由已知．
故选：B．
【总结提升】
在使用开平方关系sinα＝±eq \r(1－cs2α)和csα＝±eq \r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
考点二 sinα SKIPIF 1 < 0 csα与sinαcsα的关系及应用
【典例3】（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
已知等式平方求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ，注意由已知条件判断出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得正确结论．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例4】（2020·永州市第四中学高一月考）已知.试用k表示的值.
【答案】详见解析
【解析】


，

,
当时，，此时，
当时，，此时.
【规律方法】
和积转换法:利用的关系进行变形、转化.
【变式探究】
1.（2019·山东高三期末（理））已知，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
由题意知， ，①
，即，
，为钝角，，
，
，
，②
由①②解得，
，故选B.
2.（2021·全国高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
切化弦可得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 利用平方和为1转化为 SKIPIF 1 < 0 ，代入计算可得结果.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【总结提升】
1.对于三角函数式sinθ±csθ，sinθ·csθ之间的关系，可以通过(sinθ±csθ)2＝1±2sinθ·csθ进行转化．
2.若已知sinθ±csθ，sinθ·csθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，csθ的值，从而求出其余的三角函数值．
考点三 利用诱导公式化简求值
【典例5】（全国高考真题）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= .
【答案】
【解析】
∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ），
∴cs（θ）．
∴cs（）＝sin（θ），sin（）＝cs（θ）．
则tan（θ）＝﹣tan（）．
故答案为：．
【典例6】（2020·江苏省通州高级中学高一月考）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）运用诱导公式化简再代值即可；
（2）条件先平方，算出 SKIPIF 1 < 0 即可获解.
【详解】
（1）由题可知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 原式 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ,两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
【规律方法】
1.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
3.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
【变式探究】
1. （全国高考真题（文））函数f(x)=sin(x+)+cs(x−)的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
由诱导公式可得，
则,
函数的最大值为.
所以选A.
2．（2020·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）．
．
（2）因为
，
所以．
因为是第四象限角，
所以，
所以．
【总结提升】
用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.
考点四 同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用
【典例7】（2021·河南高一三模）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ).
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）先利用诱导公式对式子进行化简，再根据角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过的点求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）先根据 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，判断出 SKIPIF 1 < 0 的符号，进而根据三角函数定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，再对式子进行化简代入即可求解.
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【典例8】（2020·山东诸城�高一期中）已知，且是第________象限角.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
（1）求的值；
（2）化简求值：.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；
若选③，；
若选④，；
（2）原式.
【规律方法】
(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
【变式探究】
1.（2021·河南高一期中（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
（1）利用根与系数的关系列出关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程组，利用三角函数的基本关系平方关系结合作差，消去 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可以求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）利用诱导公式与同角公式化简表达式，结合（1）中的数据即可得到结果．
【详解】
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故原式 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2020·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，.
(1)化简；
(2)若，求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
第一问利用
第二问∵∴从而，从而得到三角函数值．
解：（1）
（2）∵
∴从而
又为第三象限角
∴
即的值为
【总结提升】
三角函数式化简的方法和技巧：
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
新课程考试要求
1. 理解同角三角函数的基本关系.
2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（例7）、数学运算（多例）、数据分析等.
考向预测
（1）公式的应用.
（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主，较多年份与其它三角公式的应用综合考查．
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α