四川省南充高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省南充高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．如果函数在处的导数为1,那么( )
A.1B.C.D.
2．数列,,,,…的一个通项公式为( )
A.B.
C.D.
3．已知数列为等差数列,且,则的值为( )
A.2B.4C.6D.8
4．已知函数的导函数为,的图象如图所示,则( )
A.B.
C.D.
5．已知圆，直线与圆C( )
A.相离B.相切C.相交D.相交或相切
6．已知双曲线的左焦点为F,过点F的直线与y轴交于点B,与双曲线C交于点A(A在y轴右侧).若B是线段AF的中点,则双曲线C的离心率是( )
A.B.2C.D.3
7．斐波那契数列,又称黄金分割数列,该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用,在数学上,斐波那契数列是用如下递推方法定义的：,, 已知是该数列的第100项,则( )
A. 98B. 99C. 100D. 101
8．已知定义在R上的连续偶函数的导函数为,当时,,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在高台跳水运动中,时运动员相对于水面的高度(单位：是,判断下列说法正确的是( )
A.运动员在时的瞬时速度是
B.运动员在时的瞬时速度是
C.运动员在附近以的速度上升
D.运动员在附近以的速度下降
10．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是( )
A.
B.数列是等比数列
C.
D.数列是公差为2的等差数列
11．已知抛物线的焦点为F,且,B,C三点都在抛物线上,则下列说法正确的是( )
A.点F的坐标为
B.若直线过点F,O为坐标原点,则
C.若,则线段的中点到y轴距离的最小值为
D.若直线,是圆的两条切线,则直线的方程为
三、填空题
12．若函数的导函数为,则__________.
13．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积,除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆,以的左焦点为,P为椭圆上任意一点,点Q的坐标为,则的最大值为___________.
14．数列满足,前16项和为668,则__________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）曲线在点P处的切线与直线互相垂直,求点P的坐标.
（2）过点作曲线的切线,求此切线的方程.
16．设正项数列的前n项和为,,且满足_____．给出下列三个条件：
①,;
②;
③．
请从其中任选一个将题目补充完整,并求解以下问题．
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和．
17．已知函数.
（1）当 时,求的单调区间;
（2）若在上是增函数,求a的取值范围;
（3）讨论的单调性．
18．已知椭圆上顶点为B,右焦点为F,点B、F都在直线上.
（1）求椭圆E的标准方程及离心率;
（2）设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P,不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,点A关于原点O的对称点为C．记直线的斜率为,直线的斜率为,求的值．
19．已知数列中,,.
（1）证明：数列是等比数列,并求前n项的和;
（2）令,求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为函数在处的导数为1,
根据导数的定义可知,
故选：A.
2．答案：D
解析：根据分子、分母还有正负号的变化,可知,.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为数列为等差数列,又,
所以,则,所以.
故选：B.
4．答案：B
解析：依次作出函数在,,处的切线,如图所示：
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知,
．
故选：B.
5．答案：D
解析：根据题意，直线l的方程为，恒过定点，
设P为，又由圆，即，
其圆心为，半径，
由，则P在圆C上，
则直线l与圆C相交或相切.
故选：D.
6．答案：C
解析：设双曲线C的右焦点为.因为直线l的斜率是,所以,所以,,.因为B是线段AF的中点,所以.因为,所以.由双曲线的定义可得,则双曲线C的离心率.
7．答案：B
解析：,因为,得,
,,,
累加得,
是该数列第100项,即是该数列的第100项,故.
故选：B.
8．答案：A
解析：当时,,,
令,在上单调递减,
又是定义在R上的连续偶函数,是R上的奇函数,即在R上单调递减,
,,
当,即时,,
;
当,即时,,
,则.
故不等式的解集为.
故选：A.
9．答案：BD
解析：由已知,,
的瞬时速度为,
因此该运动员在附近以的速度下降,
故选：BD．
10．答案：ABC
解析：，且公比q为整数，
，，
，或（舍去）故A正确，
，，故C正确；
，故数列是等比数列，故B正确；
而，故数列足公差为的等差数列，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：因为在抛物线上,所以,解得,所以,故A正确;
显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,,,
由得,所以,所以,
所以,故B正确;
因为（大于通径长）,
当且仅当B,C,F三点共线时,等号成立,所以,所以,
即线段的中点到y轴距离的最小值为,故C错误;
直线的斜率为,所以直线的方程为,
即,又直线与圆相切,
所以,整理得,
即.同理可得,
所以直线的方程为,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：0
解析：,则.
故答案为：0.
13．答案：7
解析：由题意且,又,可得,,
所以椭圆方程为,而,即Q在椭圆内,如下图,
若为右焦点,由,则,
所以,而,
所以的最大值为7.
故答案为：7.
14．答案：23
解析：由,
当为奇数时,有,
可得,
,
累加可得;
当n为偶数时,,
可得,,,,
可得,,
,
,即．
故答案为：23．
15．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）,由题意可得,故,
当时,,当时,,
故点P的坐标为或;
（2）设切点坐标为,则有,
故,整理得,
即,故或,
当时,有,即,
当时,有,即,
故此切线的方程为或.
16．答案：（1）所选条件见解析,
（2）
（1）选①：由得：
,所以,
又因为,因此数列为等比数列,
设数列的公比为q,则,由,
解得或（舍去）,
所以;
选②：因为,
当时,,又,
所以,即,所以,
所以当时,,
两式相减得,
即,
所以数列是,公比为2的等比数列,
所以;
选③：因为,
当时,,
所以,即,
当时,,
两式相减,得,
即,
当时,满足上式．
所以;
（2）
设数列的前n项和,
故,
两式相减得：,
化简得,．
故数列的前n项和.
17．答案：（1）的单调递增区间为,单调递减区间为
（2）
（3）答案见解析
解析：（1）当 时,,
,
令则,解得或（舍）,
当时,,当时,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）因为,
所以,
因为在上是增函数,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
因为的对称轴为,
当时,,则在上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,开口向下;
综上,要使得在上恒成立,
只需,解得,
所以a的取值范围为.
（3）因为,
所以,
当时,,,所以在上恒成立,
所以在上单调递增;
当时,令则,解得或（舍）,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减;
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
18．答案：（1）椭圆的标准方程为,离心率;
（2）
解析：（1）设椭圆E的半焦距为c,
由已知点B的坐标为,点F的坐标为,
因为点B、F都在直线上,
所以,,又,
所以,,,
所以椭圆E的方程为：,
椭圆E的离心率.
（2）由消去y并整理得：①
由.
此时方程①可化为：,
解得：（由条件可知：k、m异号）
设,则,.
即,所以.
因为,所以可设直线.
由消去y并整理得：,
当时,方程有两个不相等的实根.
设,,
则,.
因为A,C两点关于原点对称,所以,
所以：.
所以.
19．答案：（1）证明见解析,;
（2）证明见解析.
解析：（1）因为,所以.
又,所以,从而,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
所以,即;
所以.
（2）由（1）可知,,所以.
所以
.
当时,.
当时,