2022-2023学年四川省南充高级中学高一下学期第二次月考数学试卷含答案

  南充高中高2022级高一下学期第二次月考

数 学 试 题

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知点在第三象限，则角在第几象限（    ）

A．第一象限   B．第二象限  C．第三象限    D．第四象限

2. 平面向量与的夹角为，则=（    ）

3．已知，则（    ）

A． B．              C.           D． 

A．3 B．49 C．6 D．7

   A. 锐角三角形         B. 直角三角形         C. 等腰三角形        D. 钝角三角形

6．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7.已知O是所在平面内一点，且点O满足

则点O一定的（      ）

 A. 外心           B. 重心            C. 内心             D.垂心

8.已知函数（其中）在区间上单调，且，当时，取得最大值，则不等式的解集为（    ）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．在下列各组向量中，能作为平面的基底的是（    ）

A． B．

C． D．

10.将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，   

则的值可以为（     ）

A.若,则

B. 若，则为直角三角形

C. 若,则为直角三角形

D. 若，则满足条件的有两个

12. 已知函数，则（      ）

1. 既是周期函数又是奇函数           B.的图象关于点对称

C. 的图象关于直线对称      D.的最大值为

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.若非零向量与的夹角为，且设为与同向的单位向量，则在方向上的投影向

量为          .

14.已知扇形的面积为10，该扇形的圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为           .

15．已知是平面内两个夹角为的单位向量，若，且与的

夹角为锐角，则实数的取值范围是          .

16. 如图，在中，，，直线交于点， 

若则              .

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分

17．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．

(1)求；

(2)求的值．

18.已知向量

（1）若向量与垂直，求实数的值

（2）当为何值时，向量与平行.

19. 已知，cos＝，sin＝.

(1)求sin的值；

(2)求cos的值.

20．已知向量，函数.

(1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合；

(2)在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值.

21.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路AC长为3150m，经测量，.

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.

（1）设函数，试求的相伴特征向量；

 南充高中高2022级高一下学期第二次月考

 试 题 答 案

一、单选择题：1-8  B A C D D   B C A 

二、多项选择题： 9．BD   10.AC   11.AC    12.BCD

三、填空题：

13.    14.cm  (不带单位也给分)     15.    16.

17.解：（1）因为角终边经过点，   所以；   .................2分           

所以   .................................................................. 5分

     .................10分

19.解：（1）法一:...2分

cos β＋sin β＝

 1＋sin 2β＝

所以sin 2β＝－      ...................................................................................6分

法二: sin＝cos＝=－1＝－    ..............6分

(2)0<α<<β<π   <β－<π，<α＋β<     ..............................................2分

所以sin>0，cos(α＋β)<0

所以sin＝，cos(α＋β)＝－     ..............................................................4分

所以cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝  ...........12分

20．（1）由题知，

                            .......................3分

当，即时，最大，且最大值为

所以，此时自变量的取值集合为     ...................6分

（2）由(1)知，，则，

因为在中， ，所以

所以，所以       ....................................................................8分

又由余弦定理及、得：

所以，即   （当且仅当时等号成立）.........10分

所以         ...................................12分

21.（1）法一：由题意得：   ................................................2分

所以   ..............4分

由正弦定理得:

所以     .............................................................................................6分

法二：，

∴，           ...................................................................2分

如图作于点D,

设，则，，               

由，解得：

则         .......................................................................6分

（2）设乙出发 ()后到达点M，此时甲到达N点，

如图所示，则，                 

由余弦定理得：  .....10分

所以当时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短。  ................12分

22.解：

的相伴特征向量为     ................................................. 3分

(2)向量的相伴函数为

∴=       ............................................... 4分

     由 得:

所以的单调递增区间为        .................. 5分

所以由得 且，所以且，所以

所以实数的取值范围为         .........................................................7分

（3）由为的相伴特征向量知：                                   ....................................................8分

所以

设，

，

又  

∴    .........................................................9分

，

.

又，当且仅当时，和同时等于，这时式成立.

在图像上存在点，使得      ...............................12分