2023-2024学年四川省南充市南部中学高二上学期第二次月考数学试卷含答案

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一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 直线恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
2. 空间四边形中，（ ）
A. B.
C. D.
3. 若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（ ）
A B.
C. D.
4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C D.
5. 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）
A. 1或5B. 6C. 7D. 8
6. 已知是双曲线C两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 椭圆的离心率为，短轴长为，则（ ）
A. 椭圆的方程为
B. 椭圆与双曲线的焦点相同
C. 椭圆过点
D. 直线与椭圆恒有两个交点
11. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 直线l与圆C恒有两个公共点
C. 直线l与圆C的相交弦长的最大值为
D. 当时，圆C与圆关于直线l对称
12. 已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线两条渐近线所成的锐角为
B. 若曲线的离心率，则
C. 若，则曲线上不存在点，使得
D. 若为上一个动点，则面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知空间向量，则___________.
14. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则________________
15. 已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为______.
16. 若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
18. 解答下列两个小题：
（1）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程.
19. 如图， 棱长为 2 的正方体 中，是的中点.
（1）证明: 平面;
（2）求三棱锥 体积.
20. 已知点，，，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若动点满足，求动点的轨迹方程；
（3）过点的直线交动点的轨迹于，且，求直线的方程.
21. 如图甲所示，四边形为正方形，，为的中点.将沿直线翻折使得平面，如图乙所示.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
22. 已知椭圆的长轴长为4，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；