2022-2023学年北京重点中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年北京重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，集合，若，则可以为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数的虚部是，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  等差数列中，若，为的前项和，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列直线中是曲线的一条切线的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  数列的通项公式为则“”是“为递增数列”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  函数在区间上的最大、最小值分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

9.  是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化目前我国最高的基站海拔米从全国范围看，中国发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期现有个工程队共承建万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数单位：万约为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数，如果直线与的图象无交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  曲线在处的切线斜率为______ ．

12.  已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，则公比 ______ ， ______ ．

13.  若在上是单调递增的，则的取值范围是______ ．

14.  已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式______．

15.  已知各项都为正数的数列满足：，给出下述命题：
若数列满足：，则成立；
若，则；
若，则；
存在常数，使得成立．
上述命题正确的______ 写出所有正确结论的序号
 

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．

17.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ求在上的最值．

18.  本小题分
已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为，且，请从、两个条件中任选一个作为已知，完成下列问题．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ是否存在大于的正整数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

19.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求证：．

20.  本小题分
已知函数，设．
Ⅰ当时，求的单调区间；
Ⅱ若，求证：函数有且只有一个极小值点，且；
Ⅲ若函数不存在极值，求的取值范围．

21.  本小题分
已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得．
Ⅰ若，，求；
Ⅱ若，求证：数列中有无穷多项为；
Ⅲ若，求数列的通项公式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
，
可以为．
故选：．
根据条件及交集的定义和运算即可得出的范围，然后即可得出的可能取值．
本题考查了交集的定义及运算，集合的描述法和列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
复数的虚部是，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：是非奇非偶函数，在不单调，不满足条件．
的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．
的定义域为，为奇函数，在上不单调性，不满足条件．
，为奇函数，当时，为增函数，满足条件．
故选：．
根据函数的奇偶性和单调性分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，等差数列中，若，则有，即，
则．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，变形可得，又由，计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，得，
设切点坐标为，则过切点的切线方程为，
即．
由，可知与不是曲线的切线；
由，得，则是曲线的切线；
由，得，此时，则不是曲线的切线．
故选：．
设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，逐一验证得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可得在递增，在递减，在递增，
即有，，即；
而表示两点，的斜率，且为，
又为点处的切线的斜率，
两点，的斜率为，由图象可得点处的切线的斜率小于，
所以．
故选：．
由图象求得的单调区间，结合导数的几何意义和两点的斜率公式，即可得到所求结论．
本题考查导数的几何意义和两点的斜率的定义，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意，若为递增数列，则恒成立，
即，
等价于，解得，
则“”是“为递增数列”的充分而不必要条件．
故选：．
由数列的通项公式和为递增数列，列不等式得出的范围，再由充分不必要条件的定义求解．
本题考查充分不必要条件的判断，考查数列的单调性，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数的导数，
由得，得，此时为增函数，
由得，得，此时为减函数，
则当时，函数取得最大值，最大值为，
，，
函数的最小值为，
故选：．
求函数的导数，研究函数的单调性和最值关系进行求解即可．
本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了数列的综合应用，涉及到等比数列的定义以及求和公式，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
设第一个工程队承建的基站数为万个，然后分析出数列是以为公比的等比数列，再求出前项的和，即可求解．

【解答】

解：设第一个工程队承建的基站数为万个，
因为从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，
所以，，
即数列是以为公比的等比数列，设其前项和为，
所以，，
解得，
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：因为，
当时，，
所以，
所以要使得与无交点，等价于恒成立，
令，
，
当时，，满足与无交点，
当时，，
而，，
所以，
此时不满足与无交点，
当时，，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，，
由得，
即与无交点，
综上所述，当时，与无交点．
故选：．
根据题意可得当时，，，要使得与无交点，等价于恒成立，令，求导分析单调性，最值，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
则，
故曲线在处的切线斜率．
故答案为：．
对进行求导，再将代入导函数，即可求解．
本题主要考查导数及其几何意义，属于基础题．
 

12.【答案】   

【解析】解：，，
则，解得，即，，，
故．
故答案为：；．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：若在上是单调递增的，
则在上恒成立，
故在上恒成立，
故，即的取值范围是．
故答案为：．
求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出的取值范围即可．
本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，是基础题．
 

14.【答案】或答案不唯一 

【解析】解：根据题意，数列满足，则有，
又由数列满足，故数列为各项为负的递增的列
其通项公式可以为：或；
故答案为：或答案不唯一
根据题意，分析可得数列为各项为负的递增的列，结合数列的函数特性分析可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：各项均为正数，，
，
为递增数列或为递减数列或为先增后减数列，
若，则，
，
，故正确；
若，则数列为先增后减数列，
，故正确；
当是递减数列，成立，
若不是递减数列，不成立，故不正确；
不妨设，
则，若存在常数，使得成立，
则，显然成立，故正确．
故答案为：．
由题意得到，为递增数列或为递减数列或为先增后减数列，逐项判断即可．
本题考查了数列递推式的应用，属于中档题．
 

16.【答案】解：设等比数列的公比为，则，
由已知，即，
解得或舍，
所以；
 ，
则． 

【解析】根据题意可建立关于的方程，解出后即可得到答案；
利用分组求和法以及等差数列和等比数列的前项和公式即可得解．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ，
令得，
所以单调增区间为、，单调减去间为．
    由知在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
又，，
所以的最大值为，最小值为． 

【解析】Ⅰ求导得，分析的符号，的单调性．
Ⅱ由Ⅰ知在上单调性，极值，端点值，进而可得答案．
本题考查利用导数分析函数的单调性和最值，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

18.【答案】解：选择：
Ⅰ根据题意，若且，
则，解可得，
则，
Ⅱ不存在，
理由：若，即，变形可得，
解可得或，都不符合题意，
故不存在大于的正整数，使得；
选择；根据题意，若且，
则，解可得，
故，
Ⅱ存在，
理由：若，即，变形可得，
解可得：或舍，
故，即存在正整数，使得． 

【解析】选择：
Ⅰ根据题意，由等差数列前项和公式可得，解可得的值，由等差数列前项和公式计算可得答案；
Ⅱ由等差数列前项和公式可得，变形可得求出的值，分析可得答案；
选择：
Ⅰ根据题意，由等差数列前项和公式可得，解可得的值，由等差数列前项和公式计算可得答案；
Ⅱ由等差数列前项和公式可得，变形可得求出的值，分析可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：，
所以在点处切线的斜率为，
又，
所以切线方程为，即，
所以切线方程为．
证明：要证明，
则证，
设，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以． 

【解析】求导得，由导数的几何意义可得切线的斜率为，又，由点斜式，即可得出答案．
要证明，则证，设，只需证明，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

20.【答案】解：函数，设，
可得，
，
由，可得，
又，所以恒成立，
则在上递增，即的增区间为，无减区间；
Ⅱ证明：由问，当时，在上单调递增，
并且，，
所以存在唯一，满足，
  当变化时，，变化状态如下：

所以函数有且只有一个极小值点，
又因为函数在上单调递增，且，
所以．
Ⅲ当时，，为递增函数，则不存在极值；
当时，由Ⅱ的解答可得不单调，则存在极值；
 当时，由题意，若函数无极值，则函数在上是单调的，
 若函数在上是单调递增，则恒成立，
 设，则，．
 当变化时，，变化状态如下：

所以，
则由题意，
所以，解得．
若函数在上是单调递减，则恒成立，
但，不满足条件，所以函数在上是不能单调递减．
 综上，的取值范围是． 

【解析】Ⅰ求得的导数，再由的导数，考虑时，恒成立，可得单调区间；
Ⅱ由Ⅰ结合函数零点存在定理可得存在唯一，满足，求得的单调区间，可得证明；
Ⅲ分别讨论，，，由题意可得恒成立，通过导数求得的最小值，再解，解不等式可得所求取值范围．
本题考查导数的运用：求单调性和极值，考查分类讨论思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ取，，则存在，使得，即，
，，
．
Ⅱ证明：假设中仅有有限项为，
不妨设，且当时，均不为，则，
取，，
则存在，使得，与矛盾，
故数列中有无穷多项为．
Ⅲ当时，首先证明数列是递增数列，
即证明，恒成立，
若不然，则存在最小的正整数，使得，且，
当，取，，，，，
则存在，使得，
，
，
这个不同的数恰为这项，
与矛盾，
数列是递增数列，
再证明：，，，，，
记，即证，，，，，
当，时，结论成立，
假设存在最小的正整数，使得对任意恒成立，
但，则，
取，，，，，
则存在，使得，
数列是递增数列，
，
这个数恰为，，这项，
与矛盾，
，，，，，
当时，设，则，，且，
对于中任意两项，，，
对任意，，，存在，使得，
，即存在，使得，
因此，数列满足题设条件，
由可知，，，，
，，，，
综上，，，，，，
经检验，数列满足题设条件． 

【解析】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列中有无穷多项为的证明，考查数列的单调性、反证法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
Ⅰ取，，存在，使得，由此能求出．
Ⅱ假设中仅有有限项为，设，且当时，均不为，则，取，，则存在，使得，与矛盾，由此能证明数列中有无穷多项为．
Ⅲ当时，首先证明数列是递增数列，即证明，恒成立，再证明：，，，，，记，即证，，，，，由此能求出数列的通项公式．