广东省广州市越秀区四校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省广州市越秀区四校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2. 下列二次根式的运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可判断A，根据二次根式的加法运算即可判断B，根据二次根式的乘法运算即可判断C，根据二次根式的除法运算即可判断D．
【详解】解：A. ，故A计算错误，不符合题意；
B. ，故B计算错误，不符合题意；
C. ，故C计算错误，不符合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。D. ，故D计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
3. 如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A. 110°B. 35°C. 70°D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
4. 为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，，
∴，即之间的距离是，
故选：．
【点睛】本题主要考查中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
5. 如图，在▱中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了基本作图和平行四边形的性质，根据平行四边形的性质及角平分线的定义求解，掌握平行四边形的性质及角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：由作图得：平分，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为．
【详解】∵面积为7的正方形为7，
∴，
∵，
∴，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出．
8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，则的周长为（ ）

A. 27B. 28C. 29D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形“对角线互相平分”的性质即可求解．
【详解】解：因为四边形是平行四边形
故选：C
【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握相关结论是解题的关键．
9. 如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理求出AC的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x，则CE=，利用勾股定理，即可求出x的值，得到BE的长度．
【详解】解：在矩形中，，
∴∠B=90°，
∴，
由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF，
∴CF=53=2，
Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE的长度．
10. 如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则对角线长度的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作交于，
，
为等腰三角形，
，
，
根据直角三角形中对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含的直角三角形．
二、填空题
11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______．
【答案】x≥﹣2
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2，
所以x的取值范围为x≥﹣2．
故答案为x≥﹣2．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使二次根式有意义，需让被开方数是非负数即可解决问题．
12. 一直角三角形两边长分别为和，则第三边的长是________．
【答案】13或##或13
【解析】
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：设第三边为x，
（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，
由勾股定理得：，
∴（负值舍去），
（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，
由勾股定理得：，
∴（负值舍去），
∴第三边的长为13或．
故答案为：13或．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是掌握当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质证明可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
∴阴影部分面积为，
故答案为：1．
14. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边的中点是坐标原点O，固定点A，B，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形及勾股定理的应用，先求出点的长，再根据正方形性质得出结论即可．
【详解】解：∵，
，
∴,
∵，
∴，
故答案为．
15. 如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 _____(填正确的序号)．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，先由判断④正确，得出，从而证明，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出，得出②正确；连接，判断得出③不正确．
【详解】解：∵是正方形的对角线，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
故④正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
连接，

∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
故答案是①②④．
16. 如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则______．
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=40°，可得∠E度数．
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，先根据二次分式性质进行化简，根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
18. 已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【答案】（1）12；（2）．
【解析】
【分析】先求出 ， ，
（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
（2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ， ，
∴（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出 ≌，得出对应边相等即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明 ≌．
20. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
【答案】（1）1，5；（2）芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【解析】
【分析】（1）根据DE是芦苇高出水面部分，EB是水面边长的一半，直接写出答案即可；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意：DE是芦苇高出水面部分，即DE=1尺，EB是水面边长的一半，即：EB=5尺，
故答案是：1，5；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，
根据题意得：，解得：x=13，
13-1=12（尺），
答：芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．
21. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标．
【答案】（1）证明见解析；（2）点的坐标或或．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理计算出，，，再利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）根据平行四边形的性质，画出图形，利用点平移规律即可解决问题．
【详解】（1）解：∵．，，
∴，
是以为斜边的直角三角形，
．
（2）如图所示：点的坐标或或．
【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，坐标与图形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形，即可求解；
（2）根据中位线的性质可得，，可得平行四边形为菱形，利用菱形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点D，E分别是边的中点，
∴
又∵
∴四边形为平行四边形，
∴
【小问2详解】
解：∵点D，E分别是边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
23. 如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明
（3）若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案）
【答案】（1）见解析 （2）当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，见解析
（3）13
【解析】
【分析】（1）由E是的中点，，可得，，结合，得到，四边形是平行四边形，由，，根据等腰三角形三线合一，得到，根据矩形的判定定理，即可求证，
（2）要使矩形是正方形，则，即，根据直角三角形的性质可得添加条件：是等腰直角三角形，
（3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称求最短路径的方法求出最小值．
【小问1详解】
解：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴,，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
【小问2详解】
解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，
由（1）知四边形为矩形，
∵，，
∴点D是的中点，
∴，
∴四边形是正方形，
【小问3详解】
解：，
∴，
设点P到的距离为h，则，
解得，
∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点A关于点P所在平行于的直线的对称点G，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关判断定理和性质定理是解题的关键．
24. 如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．

（1）说明：；
（2）猜想之间的数量关系；并说明理由．
（3）如图2，若，点是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形，可得，由，可得；
（2）如图1，连接，证明，则，，由勾股定理得，，进而可证；
（3）由勾股定理得，，由（2）可知，，，则，解得，，或（舍去），，，如图2，过作于，则，，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图1，连接，

∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即；
【小问3详解】
解：由勾股定理得，，
由（2）可知，，，
∴，
解得，，或（舍去），
∴，，
如图2，过作于，

∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25. 如图，点是正方形边上一动点(不与、重合)，是外角的平分线，点在射线上．

（1）当时，判断与是否垂直，并证明结论；
（2）若在点运动过程中，线段与始终满足关系式．
①连接，证明的值为常量；
②设与的交点为，的周长为，求正方形的面积．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）①证明过程见解析；②，求解过程见解析．
【解析】
【分析】（1）根据，分别加上，就得到，即可得与垂直；
（2）①过点作，构造出的新三角形为等腰直角三角形，，从而证得与全等，推出与垂直且相等，从而证得的值为常量；②利用旋转变换，证明，从而将周长与正方形边长联系起来，进而求出正方形的面积．
【小问1详解】
解：垂直．
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
①如图：过点作，
，

四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
在和中
≌
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
的值为常量．
②如图：将绕点顺时针旋转，则点落在点处，点落在点处，得到，

，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在和中
≌，
，
即：，
，
周长为：，
，
，
，
正方形面积为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转变换等知识点．正确作出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．