广东省广州市越秀区广东实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省广州市越秀区广东实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一判断即可．
【详解】解：A不是轴对称图形；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案.
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是，您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移法则是解题的关键．
3. 用配方法解方程x2＋1=8x，变形后的结果正确的是( )
A. (x＋4)2=15B. (x＋4)2=17C. (x－4)2=15D. (x－4)2=17
【答案】C
【解析】
【详解】x2＋1=8x，移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即（x－4）2=15．
故选：C．
点睛：移项得时候注意将含有未知数的项全部移到等号左边，常数项全部移到等号右边．
4. 已知半径为4，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在上C. 点在外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再与的半径为5相比较即可．
【详解】解：的坐标为（3，4），
，
半径为4，，
点P在外．
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟知点与圆的三种位置关系．
5. 一个不透明的盒子中有100个红色小球，10个白色小球，1个黄色小球，现从中随机取出一个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 取出的是红色小球B. 取出的是白色小球
C. 取出的是黄色小球D. 取出的是黑色小球
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可．
【详解】解：一个不透明盒子中有100个红色小球，10个白色小球，1个黄色小球，现从中随机取出一个球，
可能取出的是红色小球，也可能取出的是白色小球，也可能取出的是黄色小球，
不可能取出的是黑色小球，
所以：取出的是黑色小球是不可能事件，
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，解题的关键是熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的概念．
6. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，
对称轴x=-＜0，得b<0．
∴
所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A. x（x﹣1）=15B. =15
C. x（x+1）=15D. =15
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次的基本公式代入即可得出方程.
【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x-1（次）．
根据题意，得=15．
故选B．
考点：一元二次方程的应用
8. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，根据相似三角形对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求EF的长．
【详解】解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，
解得：DF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝．
故选C．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理．难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明，对应边成比例即可解决问题．
【详解】解：如图，设与交于点，
由旋转可知：，，，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是得到．
10. 已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若y4＞y3，则a＞0
B. 对称轴不可能是直线x＝2.7
C. y1＜y4
D. 3a+b＜0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．
【详解】解：A、当时，抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
若，时，，
选项错误，不符合题意；
B、当对称轴为直线时，，
若则，不符题意，
若则，符合题意，
选项错误，不符合题意；
C、若，当抛物线对称轴为直线时，，
对称轴直线时满足题意，
此时，
，
若，当抛物线对称轴为直线时，，
当时，
选项正确，符合题意；
D、，
，
，
选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是判定对称轴的位置．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在平面直角坐标系中，点P（﹣10，a）与点Q（b，1）关于原点对称，则a+b＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的特征：关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求得的值，进而求得代数式的值．
【详解】解：∵点P（﹣10，a）与点Q（b，1）关于原点对称，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．
12. 圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．根据圆锥的侧面积底面周长母线长，进行计算即可．
【详解】解：底面圆的半径为，母线长是，侧面面积．
故答案为：
13. 如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为__m．
【答案】6.4
【解析】
【分析】利用△EAB∽△DCB，可得，可求DC＝6.4即可
【详解】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴，
解得：DC＝6.4m，
故答案为：6.4．
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握性质三角形的判定与性质是解题关键．
14. 如图，在▱ABCD中，∠A=65°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱，当首次经过顶点C时，旋转角∠的大小为_______．
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】由旋转的性质得出BC=，由等腰三角形的性质得出∠=∠，由旋转角∠=∠，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱，
∴BC= ，
∴∠=∠，
∵∠A=65°，
∴∠A=∠BCD=∠=65°，
∴∠=∠=65°，
∴∠=180°-2×65°=50°，
∴∠ =50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明∠=∠．
15. 飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是：．则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为_______米．
【答案】600
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解飞机滑行的最远距离即为函数的最大值．将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义可得答案．
【详解】解：
，
当时，取得最大值600，
飞机着陆后滑行的最远距离是，
故答案为：600
16. 如图所示，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD上动点（点E不与B，C重合，点F不与C，D重合），且∠EAF＝45°，下列说法：
①点E从B向C运动的过程中，△CEF的周长始终不变；
②以A为圆心，2为半径圆一定与EF相切；
③△AEF面积有最小值；
④△CEF的面积最大值小于．
其中正确的有 _____.（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】延长至点，使得，连接，然后证明，从而得到的周长；由和可知以点为圆心、2为半径的圆与相切，然后利用对称性可得与相切；设，，则，然后结合的三边关系得到与之间的关系，进而可以用含有的式子表示的面积和的面积，进而求得对应的最值．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
△，
，和△关于所在直线对称，
，
，
的周长始终不变，故①正确，符合题意；
，的半径，，
与相切，
和△关于所在直线对称，
与相切，故②正确，符合题意；
设，，则，，，
在中，，
，
化简得，，
，
，
当即时，的最小值为，故③错误，不符合题意；
当即时，的最大值为，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系、正方形的性质、二次函数的性质求最值，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 解一元二次方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18. 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵．
∴△ACD∽△CBD；
（2）∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
考点：相似三角形的判定与性质．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）．将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求点C在旋转过程中运动的路径长．（结果保留π）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据坐标系，以及网格的特点，找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）绕坐标原点O顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接，则△A1B1C1即为所求；
（2）根据旋转的性质可知旋转角度为，半径为的长度，勾股定理求得，进而根据弧长公式求解即可
【小问1详解】
找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）绕坐标原点O顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图，
【小问2详解】
根据题意旋转角为，则在旋转过程中运动的路径为为半径，为圆心角的弧，连接，则
则在旋转过程中运动的路径长为：
【点睛】本题考查了坐标系中画旋转图形，根据旋转的性质求旋转角，以及弧长，掌握旋转的性质以及弧长计算公式是解题的关键．
20. 有A、B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1、2、；B组有二张，分别标有数字、2．小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为．
（1）用列表或画树状图的方法写出点P的所有可能坐标；
（2）求点P落在第一象限的概率．
【答案】（1）树状图见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出树状图即可得到答案；
（2）根据（1）所画树状图，找出所有等可能的结果，再找到点P在第一象限的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知共有6种等可能性的结果数，分别是；
【小问2详解】
解：由（1）得一共有6种等可能性的结果数，其中点P在第一象限的结果数有2种，
∴点P落在第一象限的概率为．
【点睛】本题考查概率的计算方法，坐标与图形，利用列表法或树状图法求出所有等可能的结果，再从中选出符合条件的结果，利用概率公式计算即可．．
21. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据解析式令，求得点的坐标，进而根据抛物线与轴的交点结合函数图象即可求得y＞0时自变量x的取值范围．
【小问1详解】
解：将点代入抛物线y＝x2+bx+c，得
解得
则抛物线的解析式为：
【小问2详解】
由抛物线的解析式，令
即
解得
，，且抛物线开口向上，
y＞0时自变量x的取值范围为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象求自变量的范围，数形结合是解题的关键．
22. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求：
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求扇形的面积
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可；
（2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据扇形的面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，则：，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键．
23. 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
（1）若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？
【答案】（1）①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10），②9元或10元
（2）能，套餐售价应定为11元
【解析】
【分析】（1）①本题考查的是分段函数的知识点．当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600；②根据利润不少于800列不等式，解不等式，再根据x为整数即可得答案；
（2）当x＞10时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，把y＝1560代入，并解答．
【小问1详解】
解：①y＝400（x﹣5）﹣600=400x﹣2600．（5＜x≤10）．
②依题意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，
又∵5＜x≤10，
∴8.5≤x≤10．
∵且每份套餐的售价x（元）取整数，
∴每份套餐的售价应为9元或10元．
【小问2详解】
能，理由如下：
依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，
当y＝1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，
解得：x1＝11，x2＝14，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1＝11，即x2＝14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
24. 如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．
（1）求证：∠APD＝∠BPD；
（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；
（2）作∠BAP的平分线交BP于I，证明∠DAI=∠AID，进而命题可证；
（3）连接BI，AC，先计算得∠AIB=120°，从而确定I在以D为圆心，AD为半径的圆上运动，根据“射影定理”得AD2=DE•CD，进而证明△DI′E∽△DCI′，从而求得结果．
【小问1详解】
解：证明：∵直径CD⊥弦AB，
∴，
∴∠APD=∠BPD；
【小问2详解】
如图，
作∠BAP的平分线，交PD于I，
证：∵AI平分∠BAP，
∴∠PAI=∠BAI，
∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI，
∵，
∴∠DAB=∠APD，
∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI，
∴∠AID=∠DAI，
∵∠AIP+∠DAI=180°，
∴∠AIP+∠DAI=180°；
【小问3详解】
如图2，
连接BI，AC，OA，OB，
∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，
∴BI平分∠ABP，∠BAI=∠BAP，
∴∠ABI=∠ABP，
∵∠APB=60°，
∴∠PAB+∠PBA=120°，
∴∠BAI+∠ABI=（∠BAP+∠ABP）=60°，
∴∠AIB=120°，
∴点I的运动轨迹是，
∴DI=DA，
∵∠AOB=2∠APB=120°，
∵AD⊥AB，
∴，
∴∠AOB=∠BOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=AO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠CAD，
∵∠ADC=∠ADE，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴AD2=DE•CD，
∵DI′=DI=AD，
∴DI2=DE•CD，
∵∠I′DE是公共角，
∴△DIE∽△DCI，
∴．
【点睛】本题考查了圆的有关定理及确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
25. 已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
（3）在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
【答案】（1）或
（2）见解析 （3）①；②
【解析】
【分析】（1）把代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；
（2）联立方程组求解即可求证；
（3）①由（2）可直接得到；②先求出抛物线，再联立抛物线和直线，求出交点，再进行分类讨论即可．
【小问1详解】
解：当时，抛物线，直线，
令，解得或，
抛物线与直线交点的坐标为或；
【小问2详解】
证明：令，整理得，
即，解得或，
当时，；当时，；
抛物线与直线的交点分别为和，，
必有一个交点在轴上；
【小问3详解】
①证明：由（2）可知，抛物线一定过点；
②解：抛物线，
则抛物线与轴的交点为，，，
抛物线与抛物线关于原点对称，
抛物线过点，，，
抛物线的解析式为：，
令，整理得，
或，
即四个交点分别为：，，，，，，
当时，即时，0为最小值，2为最大值，
，不等式无解，这种情况不成立；
当时，则，
则，解得，不成立；
当时，得，
此时，解得得，
．
即抛物线对称轴的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点问题，第（3）关键是求出四个交点，由“点的横坐标既不是最大值又不是最小值”，对四个点进行分类讨论．