广东省广州市真光中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省广州市真光中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则和二次根式的乘除运算法则分别化简，然后即可判断出答案．
【详解】解：A、无法合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的加减和乘除运算法则是解题的关键．
3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 6，8，9C. 1，1，D. 3，4，6
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、32+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4. 下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：，
根据同类二次根式的定义可知能与合并，
故选：D．
5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）

A. 的面积为10B.
C. D. 点到直线的距离是2
【答案】A
【解析】
【分析】求出，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解：，，，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点到直线的距离是，
，
，
，
点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
6. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案．
【详解】解：在四边形中，对角线，相交于点O，，，
四边形是平行四边形，
A、当时，由邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形，不符合题意；
B、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得到四边形不一定是菱形，符合题意；
C、当时，由对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形，不符合题意；
D、当时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
由邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定定理，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
7. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、二次根式的性质、整式的加减，先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由题意得：，
则
．
故选：A．
8. 如图，圆柱的高厘米，底面周长厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查对勾股定理，平面展开-最短路径问题等知识点的理解和掌握，根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：可把圆柱侧面展开如图所示，
由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
，，
由勾股定理得：，
故选：C．
9. 如图，中，D为中点，且．若，，则的长度是（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可，掌握相关图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，D为AB中点，
∴，
在中，
∵，
∴由勾股定理得：，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：．
故选：．
10. 如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG，下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=AD．其中正确的有( )
A. ① ②B. ① ② ④C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④
【答案】D
【解析】
【分析】可根据正方形性质和和全等三角形的判定与性质判定①，再根据直角三角形斜边的中线性质可判断④，连接AH，交DG于K，利用①中证明方法可证明AH⊥DG，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可判断②，可证得∠DAG=2∠DAH，再证明△ADH≌△DCF得∠DAH=∠CDF，再利用三角形的外角性质可证明∠CHG=∠DAG，可判断③．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=CF，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG=CD=AD，故④正确；
连接AH，交DG于K，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG=HD=CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD，故②正确；
∴∠DAG=2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH=∠CDF，
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，
∴∠CHG=∠DAG．故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
12. 如图，在△ABC中，EF是△ABC的中位线，且EF=5，则AC等于________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理即可求出AC．
【详解】解：在△ABC中，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC，
∴AC=2EF，
∵EF=5，
∴AC=2×5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
13. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在数轴上点表示的实数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长度，进而可得的长度，即可求解．
【详解】解：如图，
由勾股定理，得，
，
点A在数轴的负半轴上，
点A表示的实数是．
故答案为：．
15. 在中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于________．
【答案】6或
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的面积等知识点，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】当4是直角边时，这个三角形的面积，
当4是斜边时，另一条直角边
∴这个三角形的面积，
故答案为：6或．
16. 如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，以DE为一边作正方形DEFG，H是DC的中点，连接GH，若正方形的边长AB＝2，则GH的最小值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，证明△DEM≌△GDN，然后设CM的长为x，把GH用含x的式子表示出来，再利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，
∴∠DEM+∠EDM＝90°，
∵∠EDG＝90°，
∴∠EDM+∠GDN＝90°，
∴∠DEM＝∠GDN，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝GD，
在△DEM和△GDN中，
，
∴△DEM≌△GDN（AAS），
∴EM＝DN，DM＝GN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵∠EDG＝90°，
∴CM＝EM，
设CM＝EM=DN=x（0＜x＜2），则DM＝GN=2﹣x，
∵H是DC的中点，
∴DH＝DC＝1，
∴HN＝DH-DN＝1-x，
由勾股定理得，
∵0＜x＜2，
∴当x时，GH取得最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质，利用二次函数的性质求线段的最值是解决本题的关键．
三．解答题（本大题共9小题，满分72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除法，再算减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，即．
∴且．
∴四边形是平行四边形
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先对分式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．
20. 位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
【答案】此时游船移动的距离的长是
【解析】
【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根据的出结果．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，
∴，
∴，
∴．
答：此时游船移动的距离的长是．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，求菱形的高的长度是多少？

【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等知识，解题的关键是首先求出，再利用．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，，
在中，，
，
，
．
22. 如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．

（1）求证：是直角三角形；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；
（2）设，根据等腰三角形的性质可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，，
即
为直角三角形；
【小问2详解】
解：设，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
直角三角形，
，
即，
解得：，
故的长为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
23. 如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．
【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是一个正方形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知，，所以求证，可以证明四边形为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当，由已知可得，，由（1）的结论可知四边形为矩形，所以证得，四边形为正方形．
【小问1详解】
解：证明：在中，，，
，
是外角的平分线，
，
，
又，，
，
四边形为矩形．
【小问2详解】
当满足时，四边形是一个正方形．
理由：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
当时，四边形是一个正方形．
【点睛】本题是一道开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
24. 在和中，点D在边上，，．
（1）若．
ⅰ）如图1，当时，连接，证明：；
ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长；
（2）如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长．
【答案】（1）ⅰ）证明过程见详解；ⅱ）；
（2）
【解析】
【分析】（1）ⅰ）用证明，进而证得是直角三角形，即可得结论；
ⅱ）连接，作交的延长线于点G，用证明，得，都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，用证明，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
【小问1详解】
ⅰ）证明：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G，
，，，
，都是等边三角形，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即线段的长为．
【小问2详解】
解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
中，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，，
是线段的垂直平分线，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
所以线段的长为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25. 点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．
（1）如图1，当点在线段上时，连接交于点，
①试判断的形状，并说明理由；
②若正方形边长为，当点为的中点，则的长为 ．
（2）如图2，当点在线段上时，试探究线段，，的等量关系，并说明理由．
（3）若，连接，取的中点，则当点从点运动到点时，点所经过的路径长为 ．
【答案】（1）①是等腰直角三角形，理由见解析；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据点P在线段AO上，利用三角形全等判定可以得出问题；
②勾股定理得出，根据①的结论即可求解；
（2）过点作交于点，交于点，过点作于点，设，分别求得，，即可求解；
（3）根据题意得出点的起始点，进而根据三角形的中位线的性质即可求解．
【小问1详解】
解：①是等腰直角三角形，理由如下：
连接，如图所示，
四边形是正方形，
，，
，
（），
，，
，
，，
，
，
由四边形内角和为，
，
，
，
且；
∴是等腰直角三角形，理由见解析
②若正方形边长为，当点为的中点，
则，
在中，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图所示，过点作交于点，交于点，过点作于点，
∴，是等腰直角三角形，四边形是矩形，
设
则
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，作关于的对称点，连接，取中点，连接，
当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合，
∴当点从点运动到点时，点所经过的路径长为的长，
∵，
∴,
则
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．