山西省晋中市左权县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1. 本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列运动现象属于平移的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的定义“在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”逐项判断即可．
【详解】解：A，不属于平移，不合题意；
B，属于平移，符合题意；
C，不属于平移，不合题意；
D，不属于平移，不合题意；
故选B．
2. 下列感冒胶囊的标识图中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
3. 山西万荣东岳庙的飞云楼的建筑风格是典型的重檐歇山式，如图①所示，飞云楼的顶端可以近似看作是等腰三角形（如图②），其中，是边上的中线，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质，利用等腰三角形三线合一性质可得，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可．
【详解】∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．由此可得答案．
【详解】解：，
不等式两边同时减去2024，得：，
不等式两边同时除以，得：，
因此“□”中应填的符号是，
故选D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，分别解不等式①②求出的取值范围，取其公共部分，即可得出不等式组的解集，再对照四个选项即可得出结论．牢记解不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：
解不等式①，得：；
解不等式②，得：．
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
故选：A．
6. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
1、假设在中，，
2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，
4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．
故选：D．
7. 如图，一次函数与的图象相交于点，观察可得关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数图象的角度看，就是确定直线交点右侧部分所有的点的横坐标所构成的集合．
利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，
故当时，，
故选：D．
8. 如图，是由绕点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置．也就是旋转前后图形全等．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，
∴A、B、D正确，不符合题意；
C不一定成立，符合题意；
故选：C．
9. 解决好老百姓的操心事、烦心事，是政府一定要办好的实事．在年太原市政府工作报告中，提出今年太原市在承接好省民生实事的基础上，再全力办好件民生实事，其中将新建二类以上公厕座（含一类公厕和二类公厕）．若新建的一类公厕的数量不低于二类公厕的，则一类公厕最少要建的数量x（座）满足的不等式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．理解题意，正确的列不等式是解题的关键．
设一类公厕要建的数量x座，则二类公厕要建的数量座，依题意得，，然后作答即可．
【详解】解：设一类公厕要建的数量x座，则二类公厕要建的数量座，
依题意得，，
故选：B．
10. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长为（ ）
A. 13B. 14C. 16D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得到，，由平行线的性质得，则，为等腰三角形，因此，再根据勾股定理得
【详解】解：平分，，，
，，
，
，
，
为等腰三角形，
，
在中，由勾股定理得，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是学会利用数形结合的思想，熟练运用所学知识答题．
第Ⅱ卷 非选择题（共70分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：_______．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【解析】
【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．
【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．
12. 如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P平移的距离为______．

【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质和数轴上两点的距离，根据平移的性质可得即为数轴上对应两点平移的距离解答，主要利用了平移对应点所连的线段相等解决问题．
【详解】，
即点P平移的距离为5，
故答案为：5．
13. 如图，将一块含角的三角板绕点A按逆时针方向旋转到的位置.若，则旋转的角度为______.
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，以及三角板中的角度计算，正确确定旋转角是解题的关键．根据题意算出，即可解题．
【详解】解：由题知，，，
，
旋转的角度为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E，，，则线段的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，以及勾股定理．根据题意得，结合即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是的垂直平分线
∴
∴
故答案为：
15. 如图①，是一块光学直角棱镜，其截面为图②所示的，AB所在的面为不透光的磨砂面，，.现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有，经过反射后（即）从AC边的点F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度AC为______cm.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含角的直角三角形三边的关系，等边三角形判定与性质，由，，得，又，得，而，得，证明是等边三角形，得，然后求得，由即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，，
，，
，
，，，
∴是等边三角形；
∴，
，
∴，，
∴，
故答案为16.
三、解答题（本大题共8个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解不等式组： .
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握其解法是解题的关键．
分别解每一个不等式，再取解集的公共部分即可．
详解】解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以原不等式组的解集是：.
17. 如图所示，在已知的的两边上，分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．为什么？
【答案】平分，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，即可得证．
【详解】解：平分，理由如下：
，，
．
在和中，
．
（全等三角形的对应角相等），即平分．
18. 下面是小方同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
任务：
（1）上述解题过程中，第______步出现错误，具体错误是______；
（2）小方由第四步得到第五步的依据是____________；
（3）该不等式的解集是______.
【答案】（1）三，移项没有改变符号
（2）不等式的基本性质3（或填不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．
（1）根据解一元一次不等式的步骤和方法逐步分析即可；
（2）根据解一元一次不等式一般步骤逐步分析即可；
（3）利用解一元一次不等式方法求出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：根据解题过程可知，第三步出现错误，具体错误是移项没有改变符号；
故答案为：三，移项没有改变符号．
【小问2详解】
解：由第四步得到第五步的依据是不等式的基本性质3（或填不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变），
故答案为：不等式的基本性质3（或填不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）．
【小问3详解】
解：由第三步得，
合并同类项，，
系数化为1，，
不等式的解集是；
故答案为：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标依次为，，．
（1）将先向左平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度得到.
①请在图中画出；
②点，，的坐标可以看成是点A，B，C的横坐标分别______，纵坐标分别______得到的；
（2）①画出关于点O成中心对称的图形；
②与关于点______成中心对称.（写出坐标）
【答案】（1）①见解析；②减2，加6
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图和中心对称作图，求一次函数解析式，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）①先作出点A、B、C平移后的对应点，，，然后顺次连接即可；
②根据平移的性质进行解答即可；
（2）①先作出点A、B、C关于点O的对称点，，，然后顺次连接即可；
②连接，，则与的交点即为对称中心．
【小问1详解】
解：①如图，即为所求作的三角形；
②点，，坐标可以看成是点A，B，C的横坐标分别减2，纵坐标分别加6得到的；
故答案为：减2，加6；
【小问2详解】
解：①即为所求作的三角形；
②连接，，则与的交点为对称中心，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
同理得：直线的解析式为：，
联立，
解得：，
∴与关于点成中心对称．
故答案为：
20. 将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BDC=∠BCD=75°，在根据三角形外角的性质求得∠DOC=75°，即可得∠DOC=∠BDC， 结论得证.
试题解析：
证明：∵在△BDC 中，BC=DB，
∴∠BDC=∠BCD．
∵∠DBE=30°
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°．
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形．
21. “人说山西好风光，地肥水美五谷香”，山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，成就了山西“小杂粮王国”的美誉.左权县某杂粮店在店庆活动期间推出两种优惠方案：
方案一：累计购杂粮超过100元后，超出100元的部分按收费；
方案二：累计购杂粮超过50元后，超出50元的部分按收费；
店庆活动期间，设小红在该店累计购买原价为x元的杂粮（其中），请解答下列问题：
（1）设按方案一购买该杂粮应付的费用为元，按方案二购买该杂粮应付的费用为元，请分别写出 ，与x之间的函数关系式；
（2）当小红购买的总钱数x元在什么范围内时，选择方案二比方案一花钱少？
【答案】（1），
（2）时，小红选择方案二花钱少
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是求出一次函数解析．
（1）根据题意写出函数解析式即可；
（2）根据方案二比方案一花钱少列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：由题意，得，
；
【小问2详解】
解：因为小红选择方案二花钱少，
所以，
，
解得，
所以当时，小红选择方案二花钱少．
22. 已知M是等边三角形的边上的点.
（1）如图①，过点M作，且交边于点N，求证：；
（2）如图②，在图13-①的基础上连接，过点M作，与的外角的平分线交于点H．
①若，则______；
②求证：．
【答案】（1）见解析 （2）①15；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得，，根据等角对等边可得；
（2）①由题意求出，再利用三角形外角性质计算即可；
②由为等边三角形得到，，从而得到，再由，，则问题可证
【小问1详解】
证明：由题意得：
∵，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
（2）①∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：15；
②∵为等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵是外角平分线，
∴，
∴，
∵
∴
∴
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
在和中 ，
，
∴，
23. 综合与实践
【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转．
【解决问题】
（1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明；
（2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______；
（3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们发现；
【拓展探究】
（4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，然后根据即可证明；
（2）同理可证得，求出，即可得；
（3）同理可证得，由勾股定理得，然后根据即可证明结论成立；
（4）作于点M，作于点N，同理可证得，根据全等三角形对应边上的高相等得，进而可证平分．
【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴即；
（2）同理可证，
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）同理可证，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴；
（4）作于点M，作于点N，
同理可证，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．解不等式：.
解：去分母，得.………………第一步
去括号，得.…………………………第二步
移项，得.……………………………第三步
合并同类项，得.………………………………第四步
系数化为1，得.…………………………………第五步