山西省晋中市左权县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题(word版含答案)

山西省晋中市左权县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．

1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　）

A． B．

C． D．

2．下列选项中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．不等式的解集是（　　）

A． B． C． D．

4．在下列现象中，属于平移的是（　　）

A．月亮绕地球运动 B．翻开书中的每一页纸张

C．教室可移动黑板的左右移动 D．投掷出去的铅球

5．若点关于原点对称的点在第一象限，则a的整数解有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（　　）

A．PQ＞10  B．PQ≥10   C．PQ＜10 D．PQ≤10

7．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步应先假设：在一个三角形中（　　）

A．至多有一个内角大于或等于60°

B．至多有一个内角大于60°

C．每一个内角小于或等于60°

D．每一个内角大于60°

8．在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（　　）

A．， B．， C．， D．，

9．如图，将 绕点C顺时针旋转得到 ，使点A的对应点D恰好落在边 上，点B的对应点为E，连接 ．下列结论一定正确的是（　　） 

A． B． C． D．

10．商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打8折，用27元钱最多可以购买该商品(　　)

A．8件 B．9件 C．10件 D．11件

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．

11．“等边对等角”的逆命题是　           　.  

12．已知，则　     　．（填“”、“”或“=”）

13．如图，将沿方向平移3个单位长度得，若的周长等于8，则四边形的周长为　     　．

14．如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点B，根据图象可得关于x的不等式的解集为　     　．

15．如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是　        　．

三、解答题（共75分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．

16．

（1）解不等式，并在数轴上表示其解集；

（2）解不等式组：

17．如图，在中，，点D在上，，且，，求的长．

18．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”．其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．

（1）不等式　     　的“云不等式”．（填“是”或“不是”）

（2）若关于x的不等式是的“云不等式”，求m的取值范围．

19．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：

（ 1 ）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形；

（ 2 ）画出三角形关于点D成中心对称的三角形．

（ 3 ）三角形与三角形                  ▲                  （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点．

20．如图，是的平分线，，过点B作，与交于点F．

（1）求证：为等腰三角形．

（2）若，，，求中边上的高．

21．阅读材料：

对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即如图1．若，则点P在线段的垂直平分线上．

请根据阅读材料，解决下列问题：

如图2，直线是等边的对称轴，点D在上，E是线段上的一动点（点E不与点C，D重合），连接，，经顺时针旋转后与重合．

（1）旋转中心是点　     　，旋转角为　     　°；

（2）连接，求证垂直平分．

22．倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍.

（1）该垃圾处理厂最多购买几台A型号机器人？  

（2）机器人公司报价A型号机器人6万元/台，B型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则共有几种购买方案？  

23．综合与探究

在等边三角形中，D是的中点，E，F分别是边，（含线段，的端点）上的动点，将绕点D进行旋转且始终保持，小嘉和小琪对这个图形展开如下研究：

（1）问题初探：

如图1，小嘉发现：当时，，则n的值为　     　．

（2）问题再探：

如图2，在的旋转过程中，小琪发现两个有趣的结论：

①始终等于；②与的和始终不变．

请你选择其中一个结论加以证明．

成果运用：

（3）若边长，在点E，F的运动过程中，记四边形的周长为L，，则周长L的变化范围是　            　．

答案解析部分

1．【答案】B

【考点】一元一次不等式的定义

【解析】【解答】解：A．不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；

B．是一元一次不等式，故本选项符合题意；

C．   是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；

D．是二元一次不等式，故本选项不符合题意；

故答案为：B．

 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可。

2．【答案】D

【考点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故答案为：D．

 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。

3．【答案】B

【考点】解一元一次不等式

【解析】【解答】解：移项得2x＞4，

系数化为1得x＞2．

故答案为：B．

 【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求解即可。

4．【答案】C

【考点】图形的平移

【解析】【解答】解：A、月亮绕地球运动是旋转，不是平移，故本选项不符合题意；

B、翻开书中的每一页纸张是旋转，不是平移，故本选项不符合题意；

C、教室可移动黑板的左右移动，符合平移的特点，是平移，故本选项符合题意；

D、投掷出去的铅球有旋转，故本选项不符合题意．

故答案为：C．

 【分析】根据图象平移的定义求解即可。

5．【答案】B

【考点】关于原点对称的坐标特征；点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：根据题意得点A在第三象限，

，

解得   ＜a＜3，

则a的整数解是1，2．

故答案为：B．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征及点坐标与象限的关系可得   ，再求出a的取值范围即可。

6．【答案】B

【考点】角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，

∴点P到OB的距离为10，

∵点Q是OB边上的任意一点，

∴PQ≥10．

故选B．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为10，再根据垂线段最短解答．

7．【答案】D

【考点】反证法

【解析】【解答】解：用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°，

可以假设在一个三角形中，每个内角都大于60°．

故答案为：D．

 【分析】根据反证法的证明方法求解即可。

8．【答案】A

【考点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，

∴确定依据是SAS定理；

∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，

∴确定依据是HL定理．

故答案为：A．

 【分析】利用三角形的全等判定方法求解即可。

9．【答案】D

【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质

【解析】【解答】解: ∵ 绕点C顺时针旋转得到 ，

∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，

∴∠A=∠CDA= ；∠EBC=∠BEC= ,

∴选项A、C不一定符合题意

∴∠A =∠EBC

∴选项D符合题意．

∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC= -∠ACB不一定等于 ，

∴选项B不一定符合题意；

故答案为：D．

【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定符合题意

再根据等腰三角形的性质即可得出 ，所以选项D符合题意；再根据∠EBC

=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC= -∠ACB判断选项B不一定符合题意即可．

10．【答案】C

【考点】一元一次不等式的应用

【解析】【解答】解：设可以购买x件该商品，根据题意得：

3×5+3×0.8（x﹣5）≤27

解得：x≤10．

故用27元钱最多可以购买该商品10件．

故答案为：C．

 【分析】设可以购买x件该商品，根据题意列出不等式3×5+3×0.8（x﹣5）≤27求解即可。

11．【答案】等角对等边

【考点】逆命题

【解析】【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；

故答案为等角对等边.

【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；

12．【答案】>

【考点】不等式及其性质

【解析】【解答】解：∵x＜y，

∴﹣2x＞﹣2y，

∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3．

 【分析】利用不等式的性质求解即可。

13．【答案】14

【考点】平移的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得△DEF，

∴AD=CF=3cm，AC=DF，

∵△ABC的周长等于8，

∴AB+BC+AC=8，

∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD

=AB+BC+CF+AC+AD

=8+3+3

=14．

故答案为：14．

 【分析】根据平移的性质可得AD=CF=3cm，AC=DF，再根据三角形的周长公式可得AB+BC+AC=8，再利用四边形的周长公式可得答案。

14．【答案】

【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题

【解析】【解答】解：直线与直线相交于点，

将   代入   得：   ，

解得：   ，

即   ，

将   代入   得：   ，

解得：   ，

将   代入   得，

，

解得：   ，

故答案为：   ．

 【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。

15．【答案】

【考点】坐标与图形变化﹣旋转

【解析】【解答】解：作B′H⊥x轴于H，如图

∵△OA′B′为等边三角形，

∴OH=A′H=2，∠B′OA′=60°，

∴B′H=   OH=   ，

∴B′点坐标为（2，   ），

故答案为：（2，   ）．

 【分析】作B′H⊥x轴于H，求出OH=A′H=2，B′H=  OH=，可得B′点坐标为（2，）。

16．【答案】（1）解：去括号，得：2x+3＜6+3x，
移项、合并，得：-x＜3，
系数化为1，得：x＞-3，
数轴表示如下：
 

（2）解： ， 

由①得：x＜  ，

由②得：x≤-1，

则不等式组的解集为x≤-1．

【考点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组

【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式的解法求出解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。

17．【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵∠ADC=60°，

∴∠CAD=90°，∠BAD=30°=∠B，

∴AD=BD=CD=5，

∴CD=10．

【考点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形

【解析】【分析】先求出∠B=∠C=30°，再利用含30°角的性质可得AD=BD=CD=5，即可得到CD=10。

18．【答案】（1）不是

（2）解：解不等式x+2m≥0可得x≥-2m，

解不等式2x-3＜x+1得x＜4，

∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3＜x+1的“云不等式”，

∴-2m＜4，

解得m＞-2，

故m的取值范围是m＞-2．

【考点】解一元一次不等式；定义新运算

【解析】【解答】解：（1）不等式x≥1和不等式x≤-1没有公共解，

∴不等式x≥1不是不等式x≤-1的“云不等式”，

故答案为：不是；

 【分析】（1）根据“云不等式”的定义求解即可；
（2）根据“云不等式”的定义可得-2m＜4，再求出m的取值范围即可。

19．【答案】解：⑴如图所示，即为所求．

⑵如图所示，即为所求；

⑶是，如图所示，与是关于点O成中心对称．

【考点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形

【解析】【分析】（1）利用点坐标平移的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据中心对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可； 
（3）根据中心对称图形的定义求解即可。

20．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAD，

∵AC∥BD，

∴∠CAD=∠BDA，

∴∠BDA=∠BAD，

∴AB=BD，即△ABD为等腰三角形；

（2）解：作FG⊥AB于G，

在Rt△ABE中，AE=2，AB=BD=3，

∴BE==，

∴FE=BE-BF=，

∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，作FG⊥AB，

∴FG=FE=，即△ABF中AB边上的高为．

【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，再利用平行线的性质及等量代换可得∠BDA=∠BAD，可得AB=BD，即可证明△ABD为等腰三角形；
（2）先利用勾股定理求出BE的长，再利用线段的和差可得FE的长，再利用角平分线的性质可得FG=FE=，即△ABF中AB边上的高为。

21．【答案】（1）B；60

（2）证明：如图，设AF与CD交于点P，

∵直线CD是等边△ABC的对称轴，

∴AE=BE，∠DCB＝∠ACD＝∠ACB＝30°，

∵△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合，

∴BE=BF，AE=CF，

∴BF=CF，

∴点F在线段BC的垂直平分线上，

∵AC=AB，

∴点A在线段BC的垂直平分线上，

∴AF垂直平分BC．

【考点】旋转的性质；线段垂直平分线的判定

【解析】【解答】解：（1）由题意可知：旋转中心是B，旋转角为60°．

故答案为B，60；

 【分析】（1）根据旋转的性质即可得出结论；
（2）根据直线CD是等边△ABC的对称轴，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合， 得出 BF=CF，点A在线段BC的垂直平分线上， 即可得出结论。

22．【答案】（1）解：设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人. 

由题意得 ，

解得 ，

∴该垃圾处理厂最多购买25台A型号机器人；

（2）解： ，  

解得 ，

，且x为整数，

或24或25，

答：共有3种购买方案.

【考点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用

【解析】【分析】（1）此题的不等关系为：B型号机器人的人数≥A型号机器人的人数×1.4，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解.
（2）A型号机器人的单价×购买A机器人的数量+B型号机器人的单价×购买B机器人的数量≤510，设未知数，列不等式，可求出x的取值范围，然后求出正整数x的值，即可求解.

23．【答案】（1）

（2）解：若选择①，证明：如图，过点D分别作于点G，于点H，

∴.

∵是等边三角形，

∴，

∴.

∵，

∴.

∵是等边三角形，且D是的中点，

∴.

∵，，

∴.

在和中，，

∴，

∴，

即始终等于.

若选择②，证明：同（1）的方法得，，

由①知，，

∴，

∴，

∴与的和始终不变；

（3）

【考点】旋转的性质；三角形的综合

【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，

∴，   .

∵D是   的中点，

∴.

∵，

∴，

在   中，   .

∵，   ，

∴.

∵，

∴，

在   中，   ，

∴.

∵，

∴；

（3）由（2）知，   ，   .

∵，

∴，

∴四边形   的周长为  

，

∴最大时，L最大；   最小时，L最小.

当   时，   最小.

由（1）知，   ，

∴，

∴.

当点F和点C重合时，   最大，此时，   .

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

即   ，

∴周长L的变化范围是   .

 【分析】（1）先利用等边三角形判断出  .进而判断出.再判断出，即可得出结论；
（2）构造出  ， 得出  ， 即可得出结论；
（3）由（1）（2）判断出  ，再判断出最大时，L最大；最小时，L最小.当时，最小.当点F和点C重合时，最大，此时，.得出是等边三角形，即可得出结论。