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山西省晋中市榆次区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 在当今网络信息时代电子产品已经渗透到我们生活的方方面面，下面与电子产品有关的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C
2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A.∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 如图是一个三叶吊扇，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查几何图形中的角度计算问题，根据三叶吊扇把周角三等分求解即可．
【详解】解：它转过的度数为，
故选：B
4. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示限重30吨，即载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．已知一辆货车载货后的总质量为a吨，如果货车能正常通行，则a满足的不等式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了列不等式，根据限重30吨即小于等于30吨进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：D．
5. 如图，将沿方向平移得到．若，，则平移距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质知，结合图形利用线段的和差解答．
【详解】解：设平移距离，
由得：，
解得，
即平移距离为．
故选A．
6. 解不等式组时，将不等式①②的解集表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式，得：，
将不等式的解集表示在同一数轴上为：
则不等式组的解集为，
故选：B．
7. 某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（ ）
A. 三边的垂直平分线的交点处
B. 的三条角平分线的交点处
C. 的三条高线的交点处
D. 的三条中线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用，根据线段垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握线段垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：三角形三边垂直平分线到三个顶点的距离相等，
体育中心的位置应选在三边的垂直平分线的交点处，
故选A．
8. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设（ ）
A. 一个三角形中不能有两个角为锐角
B. 一个三角形中不能有两个角为钝角
C. 一个三角形中能有两个角为锐角
D. 一个三角形中能有两个角为钝角
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反证法，三角形的分类，根据命题一个三角形中不能有两个钝角的否定为三角形的内角至少有两个钝角，从而得出结论．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设“一个三角形中能有两个角为钝角”,
故选D．
9. 如图，在中，，，，点，分别是为边，上的点，连接，，若且平分，则的周长为（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定；勾股定理求得，根据角平分线的定义，平行线的性质可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵且平分，
∴，
∴，
∴
∴的周长为：，
故选：B．
10. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线上．如果，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的特征、等腰三角形的性质，延长交于，根据旋转的性质求得，， ，进而可求得，则可求得，再利用直角三角形的性质即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：延长交于，如图：
，
，
将绕点A逆时针旋转得到，
，， ，
，
，
，
，
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是________________.
【答案】1，2
【解析】
【分析】先根据数轴判断出不等式的解集，即可得到这个不等式的正整数解．
【详解】解：由数轴可得不等式的解集为，则这个不等式的正整数解是x＝1，2．
故答案为：1，2
【点睛】用数轴确定不等式组的解集是中考的命题重点，体现了数形结合的思想．此题主要考查不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集．
不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
12. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．
结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵两条直线相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：．
13. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接分别交，于点D，E．若，则的大小为______°．
【答案】25
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的定义，由题意可得，由三角形内角和定理可求出 ，由作图可知垂直平分，由直平分线的性质可得出，进一步可知，由三角形的外角定义可求出
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：25．
14. 阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按______折销售．
【答案】8
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解．
设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元，
由题意得：，
解得：，
此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
15. 小聪同学在寒假完成项目作业《用纸片“做数学”》时，通过实践探索和推理验证发现，当一个三角形纸片的内角满足一定条件时，这个三角形纸片能沿一条直线剪切成两个等腰三角形，例如三角形纸片的一个内角是另一个内角的3倍时（如图），沿图中虚线剪切得到的两个三角形都是等腰三角形．除此情形，三角形纸片的内角满足______条件时，也能沿一条直线剪切得到两个等腰三角形（写出一种情况即可）．
【答案】有一个内角是直角
【解析】
【分析】当即时，可以，本题考查了等腰三角形的判定和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】当即时，可以，
此时，，
故都是等腰三角形，
故答案为：有一个内角是直角．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出解集，进而得到不等式组的解集，即可．
【详解】解：
解不等式①得：．
解不等式②得：．
在同一条数轴上表示不等式组的解集，如下：
∴原不等式组的解集为．
17. 如图，在平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，点，在轴上，点在第一象限内．
（1）请直接写出点，，坐标；
（2）将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请你画出平移后的图形，并写出点的坐标；
（3）画出关于点成中心对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】（1），，
（2）见解析，
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）根据图形直接写出坐标即可．
（2）将三个顶点分别先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到对应点，再顺次连接可得，再写出点的坐标即可．
（3）找出的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得，然后根据所作图形写出的坐标．
【小问1详解】
解：由图可得三点坐标分别，，．
【小问2详解】
如图所示，根据平移的规则，平移后图形的形状大小不发生改变，故即为所求，
平移后点的坐标是．
【小问3详解】
如图所示，中心对称是把一个图形绕着某一点旋转得到的，故即为所求，
平移后点的坐标是．
18. 开学初，某校组织开展“消防安全”知识竞赛，倡导同学们从自身做起，从日常生活细节入手，增强消防意识，共筑平安校园．竞赛试题共有20道，答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明想本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对几道题？
【答案】他至少需要答对15道题
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题，
根据题意，得．
解这个不等式得
因为x为整数，所以x的最小值为15．
答：小明想参加本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对15道题．
19. 如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键．
根据角平分线的性质得出，由于，根据可证明，从而得以证明．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，，
∵在和中，，
∴，
∴．
20. 为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校在植树节期间发起了植树活动．现需要采购一批树苗（100株以内），有两家苗圃基地，具体收费标准如下：
甲基地：树苗单价为30元/株，免费配送；
乙基地：树苗单价为25元/株，另加200元配送费．
（1）请分别写出去甲、乙两个苗圃基地采购这批树苗的费用y（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式；
（2）什么情况下选择去甲基地采购比较合算？
【答案】（1）甲基地：；乙基地：
（2）购买的树苗少于40株时，去甲基地采购比较合算
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用．
（1）根据题意和具体收费标准，可以分别得到，与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而求解．
【小问1详解】
解：甲基地采购这批树苗的费用y（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为：；
乙基地采购这批树苗的费用y（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：由题意得，
解得，
答：购买的树苗少于40株时，去甲基地采购比较合算．
21. 阅读与思考
学习完等边三角形相关内容后，老师布置了如下课后探究题：
证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．以下是小宇同学的解题过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务：
（1）上述材料中的依据是指______；
（2）请你写出上述所证命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”的逆命题，并完成证明．
逆命题：
已知：
求证：
证明：
【答案】（1）边角边或
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质：
（1）根据证明过程可得出三角形全等依据；
（2）首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明．
【小问1详解】
解：依据是：边角边或；
故答案为：边角边或；
【小问2详解】
解：逆命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
已知：如图，中，，．
求证：
证明：如图，延长至点D，使得，连接．
∵，，
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
∴．
22. 综合与实践
问题情境：
如图1，为等边三角形．在直角三角尺中，，，将三角尺的顶点放在的边上，并将三角尺绕点旋转，使得三角尺的两边分别与边交于点．
探究发现：
（1）勤学小组的同学发现在三角尺绕点旋转的过程中，与始终相等，请你证明这一结论；
（2）如图2，连接，在三角尺绕点旋转的过程中，当时，试判断的形状，并说明理由；
深入探究：
（3）如图3，善思小组的同学在图2的基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，连接．如果，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）等边三角形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形性质，结合三角形内角和定理表示出与即可得证；
（2）由（1）中结论，结合条件，利用三角形全等的判定得到，利用全等三角形性质及等边三角形的判定即可得证；
（3）在（2）的基础上，结合平移性质得到相关线段与角度关系，再由等腰三角形的判定与性质，在中，运用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形．
理由如下：
由（1）得：，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
（3）解：由（2）知，
在等边三角形中，，，
在图2基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，
，
，，
，
，
，即平分，
是等腰三角形，且，
如图所示：
在中，，，则，
，则由勾股定理可得，
．
【点睛】本题考查旋转综合，涉及等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何判定与性质并灵活运用是解决问题的关键．已知：如图1，是直角三角形，，．
求证：．
证明：如图2，延长至点D，使得，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴（依据）
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 在当今网络信息时代电子产品已经渗透到我们生活的方方面面，下面与电子产品有关的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C
2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A.∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 如图是一个三叶吊扇，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查几何图形中的角度计算问题，根据三叶吊扇把周角三等分求解即可．
【详解】解：它转过的度数为，
故选：B
4. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示限重30吨，即载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．已知一辆货车载货后的总质量为a吨，如果货车能正常通行，则a满足的不等式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了列不等式，根据限重30吨即小于等于30吨进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：D．
5. 如图，将沿方向平移得到．若，，则平移距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质知，结合图形利用线段的和差解答．
【详解】解：设平移距离，
由得：，
解得，
即平移距离为．
故选A．
6. 解不等式组时，将不等式①②的解集表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式，得：，
将不等式的解集表示在同一数轴上为：
则不等式组的解集为，
故选：B．
7. 某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（ ）
A. 三边的垂直平分线的交点处
B. 的三条角平分线的交点处
C. 的三条高线的交点处
D. 的三条中线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用，根据线段垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握线段垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：三角形三边垂直平分线到三个顶点的距离相等，
体育中心的位置应选在三边的垂直平分线的交点处，
故选A．
8. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设（ ）
A. 一个三角形中不能有两个角为锐角
B. 一个三角形中不能有两个角为钝角
C. 一个三角形中能有两个角为锐角
D. 一个三角形中能有两个角为钝角
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反证法，三角形的分类，根据命题一个三角形中不能有两个钝角的否定为三角形的内角至少有两个钝角，从而得出结论．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设“一个三角形中能有两个角为钝角”,
故选D．
9. 如图，在中，，，，点，分别是为边，上的点，连接，，若且平分，则的周长为（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定；勾股定理求得，根据角平分线的定义，平行线的性质可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵且平分，
∴，
∴，
∴
∴的周长为：，
故选：B．
10. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线上．如果，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的特征、等腰三角形的性质，延长交于，根据旋转的性质求得，， ，进而可求得，则可求得，再利用直角三角形的性质即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：延长交于，如图：
，
，
将绕点A逆时针旋转得到，
，， ，
，
，
，
，
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是________________.
【答案】1，2
【解析】
【分析】先根据数轴判断出不等式的解集，即可得到这个不等式的正整数解．
【详解】解：由数轴可得不等式的解集为，则这个不等式的正整数解是x＝1，2．
故答案为：1，2
【点睛】用数轴确定不等式组的解集是中考的命题重点，体现了数形结合的思想．此题主要考查不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集．
不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
12. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．
结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵两条直线相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：．
13. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接分别交，于点D，E．若，则的大小为______°．
【答案】25
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的定义，由题意可得，由三角形内角和定理可求出 ，由作图可知垂直平分，由直平分线的性质可得出，进一步可知，由三角形的外角定义可求出
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：25．
14. 阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按______折销售．
【答案】8
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解．
设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元，
由题意得：，
解得：，
此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
15. 小聪同学在寒假完成项目作业《用纸片“做数学”》时，通过实践探索和推理验证发现，当一个三角形纸片的内角满足一定条件时，这个三角形纸片能沿一条直线剪切成两个等腰三角形，例如三角形纸片的一个内角是另一个内角的3倍时（如图），沿图中虚线剪切得到的两个三角形都是等腰三角形．除此情形，三角形纸片的内角满足______条件时，也能沿一条直线剪切得到两个等腰三角形（写出一种情况即可）．
【答案】有一个内角是直角
【解析】
【分析】当即时，可以，本题考查了等腰三角形的判定和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】当即时，可以，
此时，，
故都是等腰三角形，
故答案为：有一个内角是直角．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出解集，进而得到不等式组的解集，即可．
【详解】解：
解不等式①得：．
解不等式②得：．
在同一条数轴上表示不等式组的解集，如下：
∴原不等式组的解集为．
17. 如图，在平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，点，在轴上，点在第一象限内．
（1）请直接写出点，，坐标；
（2）将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请你画出平移后的图形，并写出点的坐标；
（3）画出关于点成中心对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】（1），，
（2）见解析，
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）根据图形直接写出坐标即可．
（2）将三个顶点分别先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到对应点，再顺次连接可得，再写出点的坐标即可．
（3）找出的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得，然后根据所作图形写出的坐标．
【小问1详解】
解：由图可得三点坐标分别，，．
【小问2详解】
如图所示，根据平移的规则，平移后图形的形状大小不发生改变，故即为所求，
平移后点的坐标是．
【小问3详解】
如图所示，中心对称是把一个图形绕着某一点旋转得到的，故即为所求，
平移后点的坐标是．
18. 开学初，某校组织开展“消防安全”知识竞赛，倡导同学们从自身做起，从日常生活细节入手，增强消防意识，共筑平安校园．竞赛试题共有20道，答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明想本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对几道题？
【答案】他至少需要答对15道题
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题，
根据题意，得．
解这个不等式得
因为x为整数，所以x的最小值为15．
答：小明想参加本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对15道题．
19. 如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键．
根据角平分线的性质得出，由于，根据可证明，从而得以证明．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，，
∵在和中，，
∴，
∴．
20. 为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校在植树节期间发起了植树活动．现需要采购一批树苗（100株以内），有两家苗圃基地，具体收费标准如下：
甲基地：树苗单价为30元/株，免费配送；
乙基地：树苗单价为25元/株，另加200元配送费．
（1）请分别写出去甲、乙两个苗圃基地采购这批树苗的费用y（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式；
（2）什么情况下选择去甲基地采购比较合算？
【答案】（1）甲基地：；乙基地：
（2）购买的树苗少于40株时，去甲基地采购比较合算
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用．
（1）根据题意和具体收费标准，可以分别得到，与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而求解．
【小问1详解】
解：甲基地采购这批树苗的费用y（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为：；
乙基地采购这批树苗的费用y（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：由题意得，
解得，
答：购买的树苗少于40株时，去甲基地采购比较合算．
21. 阅读与思考
学习完等边三角形相关内容后，老师布置了如下课后探究题：
证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．以下是小宇同学的解题过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务：
（1）上述材料中的依据是指______；
（2）请你写出上述所证命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”的逆命题，并完成证明．
逆命题：
已知：
求证：
证明：
【答案】（1）边角边或
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质：
（1）根据证明过程可得出三角形全等依据；
（2）首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明．
【小问1详解】
解：依据是：边角边或；
故答案为：边角边或；
【小问2详解】
解：逆命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
已知：如图，中，，．
求证：
证明：如图，延长至点D，使得，连接．
∵，，
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
∴．
22. 综合与实践
问题情境：
如图1，为等边三角形．在直角三角尺中，，，将三角尺的顶点放在的边上，并将三角尺绕点旋转，使得三角尺的两边分别与边交于点．
探究发现：
（1）勤学小组的同学发现在三角尺绕点旋转的过程中，与始终相等，请你证明这一结论；
（2）如图2，连接，在三角尺绕点旋转的过程中，当时，试判断的形状，并说明理由；
深入探究：
（3）如图3，善思小组的同学在图2的基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，连接．如果，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）等边三角形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形性质，结合三角形内角和定理表示出与即可得证；
（2）由（1）中结论，结合条件，利用三角形全等的判定得到，利用全等三角形性质及等边三角形的判定即可得证；
（3）在（2）的基础上，结合平移性质得到相关线段与角度关系，再由等腰三角形的判定与性质，在中，运用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形．
理由如下：
由（1）得：，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
（3）解：由（2）知，
在等边三角形中，，，
在图2基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，
，
，，
，
，
，即平分，
是等腰三角形，且，
如图所示：
在中，，，则，
，则由勾股定理可得，
．
【点睛】本题考查旋转综合，涉及等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何判定与性质并灵活运用是解决问题的关键．已知：如图1，是直角三角形，，．
求证：．
证明：如图2，延长至点D，使得，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴（依据）
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
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