山西省晋中市平遥县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：100分 时间：90分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）每个小题都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中．
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. （笛卡尔爱心曲线）B. （蝴蝶曲线）
C. （费马螺线曲线）D. （科赫曲线）
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．
2. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到下图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．
3. 如图，平分于点于点，若，则图中长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理、角平分线的性质定理等知识，先用勾股定理求出，再根据角平分线的性质定理即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分于点于点，
∴．
故选：A．
4. 如图，数轴上表示的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察数轴即可得到解答．
【详解】解：由图可得，且
在数轴上表示的解集是，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是仔细观察数轴进行分析即可．
5. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解析】
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
6. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B重合，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角坐标系中点的平移，将点A向上平移5个单位就是给纵坐标加5，向左平移3个单位就是给横坐标减3，计算即可．
【详解】解：∵将点向左平移3个单位长度，再向左上移5个单位长度，得到点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题只要考查点在直角坐标系中的平移，向上移动纵坐标增加，向下移动纵坐标减小，向左移动横坐标减小，向右移动横坐标增加．
7. 如图，把绕着点A顺时针旋转得到，点C的对应点落在边上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由旋转的性质得：，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得：，，
∴，，
∴，
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系第二象限点的坐标特征可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：；
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
9. 如图，在中，，将沿边所在的直线向下平移得到，与交于，下列结论中不一定正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵沿直线边所在的直线向下平移得到，
∴，，
∴，，
∴，
观察四个选项，不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
10. 如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图象，找出直线y=x+m在直线y=kx-1的下方所对应的自变量的范围即可
【详解】解：根据图象得,当x<-1时，x+m故选D
【点睛】此题考查在数轴上表示不等式解集和一次函数与ー元一次不等式，解题关键在于判定函数图象的位置关系
二、填空题：（本题5个小题，每小题3分，共15分）请将正确答案直接填在题后横线上．
11. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．
【答案】对应角相等的两个三角形全等
【解析】
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题．
【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形．
故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12. 已知直线过和，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可以求得k和b的值，代入不等式即可得到正确答案 ．
【详解】解：由题意可得：
∴ k=2，b=-2，
∴原不等式即为2x-2<0，
解之可得：x<1，
故答案为x<1 ．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，利用直线与坐标轴的交点求出不等式的系数是解题关键．
13. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到△AED，若AC＝1，CE＝，则α的度数为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】先由旋转的性质得到，然后结合的长得到为直角三角形，从而求出的度数．
【详解】解：由旋转得，，
，
，
是直角三角形，，
旋转角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟知“旋转过程中的对应边相等”．
14. 定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．
【答案】35
【解析】
【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键．
15. 如图，在中，是的中垂线，是的中垂线，已知的长为，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，再由线段垂直平分线的性质可得，，再由直角三角形的性质可得，，从而得到，继而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中垂线，是的中垂线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
三、解答题：（本题7小题，共55分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。
16. （1）解不等式：；
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，按步骤进行解答是关键．
（1）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可；
（2）求出每个不等式的解集，在数轴上表示出解集，找到公共部分即可．
【详解】（1）解：
去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化1得，
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
把解集表示在数轴上如下：

∴原不等式组解集为
17. 如图：在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）画出向下平移4个单位的图形；
（2）画出将绕点O逆时针方向旋转180°后的图形，并写出此时、、的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据平移规则，确定的位置，再进行连线即可得到；
（2）根据成中心对称的性质，画出，进而写出、、的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，，即为所求；
由图可知：．
【点睛】本题考查坐标与平移，坐标与旋转．熟练掌握平移的性质，成中心对称的性质，是解题的关键．
18. 如图，已知在中，．请用圆规和直尺在上求作一点，使得点到边的距离等于的长；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作图和角平分线的性质，解题的关键是准确作图．作的角平分线交于点，点即为所求．
【详解】如图，点即为所求．
19. 如图，在中，，度，是的平分线，为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接．

（1）求证，；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的判定得是等边三角形，于是可得到，，，即可得到证明；
（2）根据角平分线及全等三角形得到，结合等边三角形每个角都是即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，度，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵等边中，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形性质及全等三角形判定与性质，解题的关键是根据等边三角形性质得到角度加减从而得到角相等．
20. 如图，一次函数和的图象相交于点，且一次函数分别与轴和轴交于和，若，．

（1）求直线的解析式；
（2）若不等式的解集是．求的值．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线的解析式．
（2）根据图像即可求出点横坐标，将点横坐标代入即可求出点坐标，将其代入即可求出的值．
【小问1详解】
解：由图可知，和在一次函数上，
，，
，
，
，
直线的解析式为：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：的解集是，点为和交点，
的横坐标为1．
将点的横坐标1代入中，解得．
．
将代入中，，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是一次函数图像以及利用不等式解集求解一次函数中未知数，解题的关键在于熟练掌握待定系数法求解析式以及学会利用图像法找出关键信息交点的横坐标．
21. 近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了、两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
（1）一台型空气净化器和型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中型空气净化器的进货量不少于型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
【答案】（1）每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元；（2）购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
【解析】
【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100-m）台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据题意得：
，
解得：．
答：每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元．
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100-m）台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100-m≥2m，
解得：m≤．
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w=200m+100（100-m）=100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，且m为整数，
∴当m=33时，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此时100-m=67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据总利润=单件利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式．
22. 综合与探究
（1）模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，求直线的函数解析式；
②如图3，长方形，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）①；②，，
【解析】
【分析】（1）由条件可求得，利用可证明；
（2）①过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
②分三种情况考虑：当时，，可得点在的中垂线上，即点横坐标为，易得点坐标；当时，，设点的坐标为，表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；当时，时，同理求出的坐标．
小问1详解】
证明：，过点作于点．
，
，
在和中，
；
【小问2详解】
①如图2，过作轴于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，
令可求得，令可求得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
，，
由（1）同理可证得，
，，
，
，且，
设直线解析式为，
把点坐标代入可得，
解得
直线解析式为，
②∵长方形，点为坐标原点，点的坐标为，
，
如图3，当时，，
点在的中垂线上，即点横坐标为，
当时，，
点坐标；
如图4，当时，，
设点的坐标为，过点P作轴于点E，过点D作交的延长线于点F，则，
∴四边形是矩形，
∴
由（1）同理可证，，
∴
∴
∴点D的坐标为，
把代入得，
，
得，
点坐标；
如图5，当时，时，
设点的坐标为，过点D作轴于点E，交的延长线于点F，则，
∴四边形是矩形，
∴
由（1）同理可证，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴点D的坐标为，
把代入得，
，
得，
∴点坐标；
综上所述：点坐标为：，，
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．型销售数量（台）
型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500