2024年浙江省中考数学适应性三模冲刺练习试卷（原卷+解析）

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试题卷Ⅰ
选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 实数2024的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选：A．
2．如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从上面看，图形有2行，第一行有2个正方形，左下方有1个正方体，
故选：B．
3 .年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约人次，
将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得到答案．
【详解】13000000=
故选：B．
4. 某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表：
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ）
A. 70分，80分 B. 70分，75分 C. 60分，80分 D. 70分，85分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数和众数，要明确定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：由表可知，70分出现次数最多，所以众数为70分；
由于一共调查了人，
所以中位数为第20、21个数据的平均数，即中位数为（分，
故选：B
5 . 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，
折射光线交于主光轴MN上一点．若，
则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，再根据对顶角的性质求解即可
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选；C．
若点、、、分别在反比例函数的图象上，
则下列值最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由反比例函数解析式可知，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点、、、分别在反比例函数的图象上，
∴；
∴函数值最小的是；
故选C．
小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，
随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，
那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故选：．
8．年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．10B．16C．18D．20
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选：C
9 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小.
【详解】解：如图，连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
由勾股定理知，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（4，0）、B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴，
∴，
∵OQ＝2，
∴．
故选A．
10. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）

A．22B．20C．18D．16
解：过点P作，垂足为G、H，

由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
试题卷Ⅱ
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 因式分解： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．
首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒中棋子的总个数是 个
【答案】
【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数．
【详解】解：由题意：设棋子的总数为个
解得
故答案为：20．
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中
用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，
如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．
若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米．

【答案】
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，
双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，
且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，
可以通过闸机的物体的最大宽度为_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】解：如图所示过作于，过作于，
则 中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故答案为：76．
如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，
顶点D在反比例函数的图象上，若，则

【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键．
先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用两次相似求出点D的坐标，最后把D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k值．
【详解】∵，
∴
∴，
∴小正方形边长为2，
∴，，，
如图， 作轴，垂足为点E，

∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
同理，
，
即，
∴，
∴
∴，
∵点D在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
16 .如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；
如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；
如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，连接HE，则 ．

【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）首先计算乘方，化简二次根式，计算负整指数幂，然后进行加减运算即可求解；
（2）首先把分式的分子、分母分解因式，约分后进行加减运算即可．
【详解】（1）计算：
=
=1．
（2）化简：
．
18.如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）13
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
【详解】解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．
某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．
据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：
A等级，B等级，C等级，D等级．
为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，
并绘制成如图两幅不完整的统计图：

本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级；
(2) 补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________；
(3) 若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数；
(4) 九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．
请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)50，B
(2)见解析，36°
(3)320
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出B等级人数，依据中位数的定义可得答案；
（2）根据（1）中所求结果即可补全图形，用360°乘以D等级人数所占比例即可得出答案；
（3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可；
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）本次抽取的学生人数为（人），
则B等级人数为（人），A等级人数为（人），
成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据落在B等级，所以他们成绩的中位数落在B等级，
故答案为：50、B；
（2）补全直方图如下：

扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）（人），
答：估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数为320人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．
已知屋面的倾斜角为，真空管与水平线的夹角为，
安装热水器的铁架竖直管的长度为米，水平横管的长度米．
（参考数据：）

(1)求水平横管到水平线的距离．
(2)求真空管与屋面的长度差．
【答案】(1)1.5米
(2)0.1米
【分析】（1）作于F，设.在Rt中，由正切函数将用含x的代数式表示出来，则可得的长度.在Rt中，根据列方程，求出x的值，即可求出的长，即水平横管到水平线的距离．
（2）在Rt中，根据可求出的长度，在Rt中，根据可求出的长度，从而可求出与的长度差.
【详解】（1）
作于F，则，
设，则
在Rt中，，
则
在Rt中，，
解得，，
水平横管到水平线的距离为1.5米.
（2）∵在Rt中，
在Rt中，
∴真空管与屋面的长度差为0.1米.
21 .某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件？
(2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
解：（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得，，
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件．
（2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，
∴，
由题意得，
解得，
∵ ， ，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大利润元，
∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．
22 .如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．
喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘
抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，
其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，
上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，
灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【基础巩固】
（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：；
【尝试应用】
如图2，已知，，点，分别在边和上，
是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】
如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，
是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，
直接写出此时的长度．

【答案】（1）见详解（2）（3）或
【解析】
【分析】（1）通过角的等量代换，得出，通过证明，即可作答．
（2）分别过点作，证明，得出设，证明，列式得，算出，即可作答．
（3）进行分类讨论，当以及当，然后作图，根据相似三角形的判定与性质，运用数形结合思想，列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴
∵
∴；
（2）分别过点作，如图
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即
∴，
设
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（3）∵的两条直角边长之比为，
∴当时，分别过点作，如图
与（2）同理，，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当，
过点分别作的延长线上于点J，如图：
∵
∴
∴
即
∴
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴解得
则
∴
综上或
24. 如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）①，②
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用勾股和锐角三角函数求得即可证明；
（2）连接，延长交于点，交于点，先证明是的角平分线，再证明即可得出结论；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，设，得到即可求解，②要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，先求得，即可求出．
【小问1详解】
证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．成绩（分）
60
70
80
90
100
人数
5
15
9
6
5
批发价（元）
零售价（元）
红色文化衫
25
45
蓝色文化衫
20
35