2024年福建省中考数学三模模拟热身训练试卷（原卷+解析）

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注意事项:
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．
考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
非选择题答案用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试结束，考生必须将答题卡交回．
第Ⅰ卷
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
2023福州马拉松于12月17日上午7：30鸣枪开跑，本次参赛总报名人数为50100人．
将数据50100用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，
进行表示即可，确定的值，是解题的关键．
【详解】解：；
故选A．
2. 如图是一个几何体的三种视图，则该几何体可能是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三视图的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、B、C的俯视图都和题干中给出的图形不符，故不符合题意，
故选：D．
3. 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．6，6B．6.5，6C．6，6.5D．7，6
【答案】B
【分析】根据中位数及众数可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
中位数为，众数为6；
故选B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用合并同类项、同底数的幂的乘法和除法，积的乘方运算法则注意判断即可解题．
【详解】A.，计算错误，此选项错误；
A.，计算正确，此选项正确；
C.，计算错误，此选项错误；
D.，计算错误，此选项错误；
故选B．
5．如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，根据直径所对的圆周角等于，得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，如下图所示，
为的直径，
，
，
，
，
，
故选A．

6.我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，
边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，
固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，
则点C的对应点的坐标为（ ）

A．B． C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：由已知得，
∵AB的中点是坐标原点O，
∴，
∴，
，，
．
故选：A．
7．年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
A．15B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选：D
8. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米B．米C．160米D．米
【答案】B
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
9 . 已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，则，进而证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵中，是中线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
，
故选：B．
10 . 关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
12. 已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根是 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：设该方程的两个根分别为：，
根据题意可得：，
∵，
∴，
故答案为：2．
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．

【答案】
【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，
由图像可知：，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．

【答案】18π
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，
顶点B在反比例函数的图象上，轴，若的面积为4，则 ．

【答案】11
【分析】根据反比例函数解析式中，k的几何意义求解．
【详解】如图，延长交y轴于点C，
，，
∵
∴，
解得

故答案为：11．
16. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
然后把再对折到，使点A落在上的点G处，若，则的长度为 ．

【答案】
【分析】由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵对折矩形的纸片，使与重合，
∴，
∴，
∵把再对折到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【分析】先计算零次幂、化简绝对值、代入特殊角三角函数值，再进行加减运算．
【详解】解：
18.如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．
求证：AE=CF．
【答案】证明见解析．
【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【详解】∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，ADBC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
19. 先化简，再求值：，其中
【答案】 ，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，
同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况、
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
求这次被调查的学生共有多少名，并将条形统计图补充完整．
(2) 该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】(1)50，见详解
(2)
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，即可解决问题；
（2）列表所有等可能的结果为12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：这次被调查的学生人数为：（名）；
补全图形如下：

（2）解：设甲用A表示，乙用B表示，丙用C表示，丁用D表示，
列表如下：
所有等可能的结果为12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，
台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）

【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，
过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．

(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
23. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．

(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
24 .如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口，灌溉车到l的离为d（单位：m）．若，．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的标；
(3)若，灌溉车行驶时喷出的水________（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带；
(4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
【答案】(1)，喷出水的最大射程为6m
(2)点B的坐标为
(3)不能
(4)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；
（3）根据，，，可求得点F的坐标为，当时，求出y的值，再与0.7比较，从而得出答案；
（4）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值与最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，
又抛物线经过点，∴，
解得：，
上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
，（舍去）．
喷出水的最大射程为6m．
（2）解：对称轴为直线，
点的对称点的坐标为．
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为．
（3）解：，，，
点F的坐标为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
（4）解：先看上边缘抛物线，，
点F的纵坐标为，
抛物线恰好经过点F时，，解得，（舍去），
当时，y随着x的增大而减小，
当时，要使，则．
当时，y随x的增大而增大，且时，，
当时，要使，则．
，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
d的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
25. 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．

【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
命中次数（次）
5
6
7
8
9
人数（人）
1
4
3
1
1
A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣