山西省晋中市寿阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份山西省晋中市寿阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填(涂)在答题卡内相应的位置上）
1．春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（ ）
A．B．C．D．
3．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ）
A．B．C．D．
5．若点与关于原点对称，则的值为（ ）
A．1B．C．5D．
6．在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
7．某图书馆阅览室出售会员卡，每张会员卡60元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张1元，不凭会员卡购入场券每张3元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（ ）
A．购票少于30次B．购票多于30次C．购票少于20次D．购票多于20次
8．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法B．反证法C．综合法D．分析法
9．如图，将绕点A逆时针旋转80°，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．100°
10．如图，将等腰沿方向平移得到，，．下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 度．
12．“的3倍与2的差不大于”所对应的不等式是 ．
13．图，在中，，，，则的长为 ．

14．如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于 ．
15．如图，在等腰中，，，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字证明、说理过程或演算步骤）
16．解不等式（组），并把此不等式（组）的解集在数轴上表示出来
(1)解不等式：
(2)解不等式组：
17．下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务
任务：
(1)小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
(2)第四步的依据是 ；
(3)直接写出这个不等式组正确的解集是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（请用黑色中性笔描黑）
(2)将向左平移个单位，向下平移个单位，画出平移后对应的；点的对应点的坐标为 ，（请用黑色中性笔描黑）
(3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ．
19．已知：如图，中，．

(1)【实践操作】
尺规作图：①作的平分线，交于点D；
②过点D作的垂线，交于点E；
③在线段上求作一点F，使．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若，，则的长为_________．
20．【问题背景】
小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．
【问题解决】
(1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
(2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
21．阅读与思考
下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
(1)以上证明过程中，依据是______．
(2)请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明．
22．【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．

发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
(1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________．
(2)如图2，两条直线的交点坐标为___________，方程的解是___________；不等式的解是___________．
【拓展延伸】
(3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
①求点，的坐标；
②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是___________．
23．问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含角的三角板拼图间存在的关系．
如图，，，，．
操作探究：
(1)如图①，当D、C、B在同一条直线上时，判断直线与直线的位置关系并证明；
(2)如图②，将图①中的三角板绕点C顺时针旋转，边与边交于点G，判断此时的形状并证明；
(3)如图③，将图①中的三角板绕点C顺时针旋转，边与边交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长．

参考答案与解析
1．A
【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键．根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选：B．
3．C
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．C
【分析】首先由数轴得出不等式的解集，然后分别求解不等式和进而判断即可．
【解答】解：由数轴上不等式组的解集可得，，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴则这个不等式组可能是，
故选：C．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上的表示，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
5．C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横、纵坐标都护卫相反数，求出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：点与关于原点对称，
，，
，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可．
【解答】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
所以凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
7．B
【分析】设购票x次，用含x的代数式表示出两种情况下的费用，列出不等式，即可求解．
【解答】解：设购票x次，
则凭会员卡购入场券需元，不凭会员卡购入场券需元，
，
解得，
即购票多于30次时，购会员卡比不购会员卡更合算．
故选B．
【点拨】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
8．B
【分析】本题主要考查了反证法的应用，反证法的一般步骤“假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确”是解题的关键．
根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：推理使用的证明方法是：反证法．
故选：B．
9．B
【分析】根据旋转的性质得到AB=AD，由等腰三角形的性质得到，由旋转80°得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】将绕点A逆时针旋转80°得到
故选：B．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平行的性质可得，，，，则，据此可判断①；由线段的和差关系可得，，据此可判断②；由平行线的性质即可判断③；根据阴影部分的面积的面积的面积四边形的面积即可判断④．
【解答】解：∵将沿方向平移得到，，，
∴，，，，则，
∴，①正确；
∴，
∴，②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵阴影部分的面积的面积的面积
的面积的面积四边形的面积
．故④正确．
综上，正确的有①②③④．
故选：D．
11．或
【分析】分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：①当角为顶角时，顶角度数为；
②当为底角时，顶角：，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了列不等式，的3倍与2的差即为，不大于，即小于等于，据此求解即可．
【解答】解；“的3倍与2的差不大于”所对应的不等式是，
故答案为；．
13．15
【分析】首先由，，得，则在直角三角形中求出，再过点A作交于F，根据等腰三角形三线合一可得，在直角三角形中求出，从而求出．
【解答】解：过点A作交于F，

∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：15．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出各个线段的长是解题的关键．
14．##85度
【分析】本题考查了几何—旋转问题．解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．
【解答】解：由旋转性质可得：，，
，
，
，，
，
故答案为：．
15．10
【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接．
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值．
故答案为：10．
【点拨】本题考查的是轴对称－最短路线问题，等腰三角形的性质，勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．(1)，图见解答
(2)，图见解答
【分析】此题考查了一元一次不等式（组）的求解，用数轴表示不等式的解集，解题的关键是掌握一元一次不等式（组）的求解方法，正确求出不等式（组）的解集．
（1）按一元一次不等式的解法求解，注意系数化为时变号；
（2）按一元一次不等式组的解法求解，注意口诀：大小小大中间找．
【解答】（1）解：，
去分母：，
移 项：，
合并同类项：，
系数化为：，
不等式的解集为，
数轴表示如下：

（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下：

17．(1)三；不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向；
(2)不等式基本性质2
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组：
（1）观察可知，第三步出现错误，错误原因是不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向；
（2）根据不等式的性质求解即可；
（3）把第三步的错误改正，求出不等式组的解集即可．
【解答】（1）解：观察可知，第三步出现错误，错误原因是不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向，
故答案为：三；不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向；
（2）解：由题意得，第四步的依据是不等式基本性质2，
故答案为：不等式基本性质2；
（3）解：由不等式①，得
移项、合并同类项，得第二步
解，得：第三步
由不等式②，得第四步
解，得第五步
所以，原不等式组的解集是……第六步
18．(1)作图见解答
(2)作图见解答，
(3)
【分析】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
（1）分别作出三个顶点绕点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据已知可得平移过程，将三个顶点分别向左平移个单位、向下平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可，的坐标即可求；
（3）连接，，与的交点即为所求．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）如图所示，即为所求：
∴的坐标为；
（3）连接，，
由图可知交点为，即旋转中心的坐标为．
19．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可．
（2）由（1）得：是的角平分线，，，
利用角平分线的性质可得，，再利用三角形全等的判定及性质即可求解．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求．

（2）由（1）得：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了作图——尺规作图、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握尺规作图及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
20．(1)某商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款单价销售单价为元
(2)，；当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
（2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【解答】（1）解：设某商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，
由题意得，
解得
答：某商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款单价销售单价为元；
（2）解：依题意，若在线下商店购买，共需要（元）
若在线上淘宝店购买，共需要
当
解得，
；
答：当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算．
21．(1)两底角相等，则两腰相等；
(2)答案见解析．
【分析】根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可．
【解答】（1）∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等；
（2）
第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：．
证明：∵是等腰三角形，
∴．
∵CE是的平分线，
∴．
∴．
∴．
第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线．
证明：∵，
∴．
∵是等腰三角形．
∴．
∴，
∴CE是的平分线．
【点拨】本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
22．(1)
(2)，，
(3)①，；②．
【分析】（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
②通过观察图象求解即可．
【解答】（1）解：∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为；
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为；
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，，；
（3）解：①联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
②由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：．
【点拨】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键．
23．(1)直线与直线的位置关系是垂直；证明见解析
(2)是等边三角形，证明见解析
(3)或4
【分析】（1）延长延长交于点H，根据题意及对顶角相等求出，再利用三角形内角和求解即可．
（2）由旋转的性质及等边三角形判定即可求解．
（3）是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：①当时，②当时，据此求解即可．
【解答】（1）证明：直线与直线的位置关系是垂直，证明如下：
如图，延长交于点H，
，，
，
，
，
，
直线与直线的位置关系是垂直．
（2）由旋转的性质得： ，
，，，
，
，
是等边三角形．
（3）是以为腰的等腰三角形，
分以下两种情况：
①当时，
在中，，，，
，，
；
②当时，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为：或4．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质、等边三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质及清晰的分类讨论是解题的关键．
解：由不等式①，得
移项、合并同类项，得第二步
解，得：第三步
由不等式②，得第四步
解，得第五步
所以，原不等式组的解集是无解……第六步
素材1
某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
A款 B款
素材2
该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；
线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
×年×月×日星期四
数学推理真有趣
今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个．
第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形．
证明：∵，∴．
∵CE是的平分线，∴．
∴．∴．（依据）∴是等腰三角形．
第二种情况
第三种情况