吉林省松原市前郭县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份吉林省松原市前郭县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（）
A. 1，2，2B. 1，，2C. 3，4，5D. 7，24，25
【答案】A
【解析】
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
A、，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意．
D、，能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式的定义即可解答．
解：A．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
B．与是同类二次根式，故本选项正确，符合题意；
C．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
D．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意．
故选：B．
3. 某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是( )
A. 6B. 6.5C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数求出x的值，再利用中位数定义即可得出答案．
∵5，6，6，，7，8，9，这组数据的平均数是7，
∴，
∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9
∵这组数据最中间的数为7，
∴这组数据的中位数是7．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中位数，根据平均数正确得出的值是解题关键．
4. 顺次连接四边形的四边中点所得的四边形是正方形，则下列判断正确的是（）
A. 四边形一定是正方形
B. 四边形一定是菱形
C. 四边形一定矩形
D. 四边形的对角线一定相互垂直且相等
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，由中位线定理可得，，由四边形EFGH为正方形，可得：，，进而可得：，．
已知：如下图，四边形EFGH为正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形
证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，
∵四边形EFGH为正方形，
∴，，
∴，．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，正方形的性质和判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5. 如图，在中的对角线，相交于点，且，，则的周长（ ）
A. 10B. 14C. 20D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长=AO+BO+AB=8+6=14．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出AO+BO的值是解题关键．
6. 如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n同正，同负，一正一负，分别判断出正比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案．
解：①当时，m、n同号，过一、三象限，
m，n同正时，经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限；
②当时，m、n异号，过二、四象限，
，时，经过一、三、四象限；，时，过一、二、四象限；
结合各选项可知D正确，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若在实数范围内有意义，则x取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键．
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：且．
故答案为：且．
8. 已知y关于x的函数是正比例函数，则m的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正比例函数定义可得，且，再解即可．
解：解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．
9. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比例计算所得.已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，那么他本学期数学学期综合成绩是_________分.
【答案】82
【解析】
【分析】直接利用平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算，进而利用平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，代入求出答案．
解：∵学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得，某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，
∴他本学期数学学期综合成绩是：
（分）．
故答案为：82．
【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解权的意义是解题关键．
10. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________．
【答案】x＜
【解析】
【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
解得m，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11. 如果表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负性，利用二次根式性质化简，先由数轴得，再化简绝对值，以及利用二次根式性质化简，最后运算加法，即可作答．
解：∵实数a，b的点在数轴上的位置如图所示：
∴，
∴，
则，
故答案为：．
12. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换及勾股定理，熟知折叠是种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵是翻折而成，
∴，，是直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴．
故答案为：6．
13. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．
解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，
∵大正方形的面积为
∴，
又∵，
∴，
∴，即
∴
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握该知识点是本题解题的关键．
三、解答题（每题5分，共20分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算除法和乘法，再化为最简二次根式，然后算加减即可．
解：
．
16. 先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简，熟悉混合运算的顺序是解题关键．先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算．
解：原式
当，时，
原式．
17. 如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，根据等量代换得出，即可得证．
解：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
18. 在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图：
（1）在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的判定作出点D即可；
（2）利用格点特征作出AB、AC的中点E、F，线段EF即为所求．
【小问1】
解：如图，点D即为所求．
【小问2】
解：如图，线段EF即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
19. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40．
【解析】
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为
故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中
当时，，解得
②在机器工作过程中
当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
20. 下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据所给的式子的特点进行求解即可；
（2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【小问1】
解：由题意得：特例5为：，
故答案为：；
【小问2】
解：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问3】
解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
21. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【解析】
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
22. 在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题：
（1）求各班参赛人数，并补全条形统计图；
（2）此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为 ___________人；
（3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：求出m的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩．
【答案】（1）10人，2人，见解析
（2）1（3）91，见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数，是正确解答的关键．
（1）从两个统计图可知八（2）班成绩为A等级的学生有2人，占调查人数的，由频率频数总数，可求出八（2）班调查人数，进而求出八（1）班成绩为C等级的人数，补全条形统计图；
（2）根据频率频数总数，进行计算即可；
（3）根据平均数的计算方法进行计算即可求出m的值，再根据优秀率的大小和方差的大小得出结论即可．
【小问1】
解：八（2）班调查人数为（人），即八（1）班调查人数也是10人，
所以样本中八（1）班成绩在C等级的人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问2】
解：8（2）班成绩为C级的人数为（人），
故答案为：1；
【小问3】
解：八（1）班学生成绩的平均数为（分），即，
八（1）班学生成绩的优秀率为，
八（2）班学生成绩的优秀率为，
从优秀率看，，所以八（2）班的成绩较好，
从方差来看，，所以八（2）班的成绩较稳定．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 自2022年新课程标准颁布以来，南阳油田教育中心高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，教育中心计划购买A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备的单价分别是多少元；
（2）教育中心计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买台A型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案．
【答案】（1）A，B型设备单价分别是，元
（2），当购买台A型设备，则购买B型设备台时，购买费用最低
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键．
（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
（2）设购买台型设备，购买型设备台根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
【小问1】
解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，
根据题意得：，
解得，经检验是原方程的解，
型设备单价为元；
答：，型设备单价分别是，元．
【小问2】
设购买台型设备，
购买型设备台，依题意，
．
解得，
的最小整数解为，
购买总费用为元，，
，
，随的增大而增大，
时，取得最小值，此时．
答：当购买台型设备，则购买型设备37台时，购买费用最低
24. 风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为米；（注：）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的王明身高米；
（1）求风筝的垂直高度．
（2）若王明同学想让风筝沿方向下降米到点的位置，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）米
（2）他应该往回收线米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理求出，然后即可得到结论．
【小问1】
解：在中，
由勾股定理得，
（米），
风筝垂直高度为米；
【小问2】
由题意得米，
（米），
（米），
（米）
他应该往回收线米．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上．
（1）求点B的坐标；
（2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）；
（3）存在，点Q的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质和点A的坐标求出菱形的边长，在中，由勾股定理得的长，求得的长即可；
（2）分Р在线段上或Р在延长线上两种情况分别列出S与t的函数关系式即可；
（3）分和两种情况讨论，当时，利用勾股定理和全等三角形的判定和性质求解即可；当时，画出图形，直接写出点Q的坐标．
【小问1】
解：∵四边形是菱形，点A的坐标为，
∴，．
在中，由勾股定理，得
．
∴．
∴；
【小问2】
解：．
①当点P在上时，，
∴；
②当点P在OB的延长线上时，，
∴．
综上，；
【小问3】
解：当时，设，
则点A到x轴的距离等于点Q到x轴的距离，即为4，
作于点F，于点E，
，，，
由勾股定理得，即，
解得，
即，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∴；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
26. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值；
（3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值．
【答案】（1），
（2）
（3）28
【解析】
【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标；
（2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解；
（3）分①当时，②当时两种进行讨论即可．
【小问1】
解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当时，得：，
解得：，
当时，得：，
∴，；
【小问2】
解：设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
【小问3】
①当时，
（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
平均数（分）
中位数（分）
方差
8（1）班
m
90
49
8（2）班
91
90
29