吉林省松原市宁江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内．
2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、=，不是最简二次根式，不符合题意；
D、=，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
2. 为筹备毕业聚餐，班长对全班同学爱吃东北菜、川菜、湘菜、粤菜中的哪一种菜系的人数比较多做了民意调查．班长做决定最关注的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，调查大多数人喜欢的菜系，即可求解．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：C．
【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
3. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3、4、5B. 1、2、C. 5、12、13D. 、2、
【答案】D
【解析】
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A．32+42=52，故是直角三角形，故A选项不符合题意；
B． ，故是直角三角形，故B选项不符合题意；
C．52+122=132，故直角三角形，故C选项不符合题意．
D．（3）2+22≠（）2，故不是直角三角形，故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合，可证明是等边三角形，所以，再根据对顶角相等即得答案．
【详解】四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选B．
5. 如图，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则下列说法一定正确的是（ ）

A. B.
C. D. 四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本作图的意义判断即可．
【详解】根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，
故，
故选C．
【点睛】本题考查了基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的基本作图及其意义是解题的关键．
6. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ）
A. 风筝最初的高度为B. 到之间，风筝的高度持续上升
C. 时高度和时高度相同D. 时风筝达到最大高度为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象逐项判断即可得．
【详解】解：A、风筝最初的高度为，则此项正确，不符合题意；
B、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，则此项说法错误，符合题意；
C、时高度和时高度相同，均为，则此项正确，不符合题意；
D、时风筝达到最大高度为，则此项正确，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式及不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
8. 已知函数是一次函数，则m的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据一次函数的定义即可求解．一次函数中、为常数，，自变量次数为．
【详解】解：依题意，，
解得：，
故答案：4．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题的关键．
9. 将直线沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的平移，根据函数解析式“上加下减，左加右减”的原则进行求解即可．
【详解】解：根据题意得平移后的解析式为，
故答案为：
10. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为_______cm．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：6．
11. 如图，直线，垂足为O，线段，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点C，则的长为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理．根据勾股定理可得，再由圆的基本性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
根据题意得：，
∴．
故答案为：4
12. 为树立“热爱科学崇尚科学”的风尚，某校举办科普知识竞赛．某班的甲、乙两名同学进行了多次模拟练习，表格是他们近五次模拟成绩的平均数及方差，班主任应选择_______同学参加校级比赛．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查方差和平均数定义，理解方差反应了数据的稳定程度成为解题的关键．根据题意利用方差及平均数即可解答．
【详解】解：∵甲、乙两名同学的平均数相等，但甲的方差大于乙的方差，
∴甲的成绩没有乙的成绩稳定，
∴主任应选择乙同学参加校级比赛．
故答案为：乙．
13. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是______．

【答案】
【解析】
【分析】图象法解不等式即可．
【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式．
14. 四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 ___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意可得，平行四边形的底边与矩形的长相等，平行四边形的高变为矩形的宽的一半，则平行四边形的面积是矩形的面积的一半，即可求解．
【详解】解：过点作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的面积公式．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的化简求值，所求式子配方后，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：，
当时，原式．
17. 如图，在平行四边形中，平分且交于点E，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和角平分线的性质，根据平行四边形的性质求得，结合角平分的性质求得，进一步利用平行四边形的性质求得即可．
【详解】解：，，
．
平分，
．
，
．
18. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？

【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米）．
中，由勾股定理得到：（米），
答：为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按照下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）在图①中，以为边作一个菱形（正方形除外），菱形的顶点是格点．
（2）在图②中，以为对角线作一个菱形（正方形除外），菱形的顶点是格点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格线的特点和菱形的判定定理是解题的关键．
（2）根据网格线的特点和菱形的判定定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求．
【小问2详解】
解：如图，菱形即为所求．
【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及菱形的性质是解题的关键．
20. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可；
（2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【小问1详解】
如图，∵四边形为菱形，
∴；而，，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21. 某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下表：
（1）兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求y与t之间的函数关系式；
（2）当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查函数关系式，掌握待定系数法求函数关系式是本题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将换算成以秒为单位，代入（1）中得到的函数表达式，求出对应的值即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数表达式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，
解得，
．
【小问2详解】
解：，
当时，，
该液体的沸点是．
22. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，采用取整数的计分方式，满分10分．绘制如下统计图表．
竞赛成绩统计表
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）八年级的平均成绩是8分；九年级的平均成绩是________分；
（2）表中的__________，__________；
（3）若规定成绩为10分获一等奖，成绩为9分获二等奖，成绩为8分获三等奖，通过计算说明哪个年级的获奖率高？
【答案】（1）8 （2），
（3）九年级的获奖率比八年级的获奖率高，计算见解析
【解析】
【分析】本题考查的是从折线统计图与统计表中获取信息，中位数，众数，方差的含义，优秀率的计算，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
（1）根据平均数公式列式计算即可；
（2）由众数与中位数的含义可得答案；
（3）分别用各年级获奖学生人数除以总人数得到获奖率，再比较即可．
【小问1详解】
解；九年级的平均成绩是（分）；
小问2详解】
解：由折线图可得：九年级50个数据出现次数最多的是8分，
∴，
八年级的50个数据排在第25个，第26个数据都为8分，
∴；
故答案为：8，8
【小问3详解】
解：八年级的获奖率为：，
九年级的获奖率为：，
∴九年级的获奖率比八年级的获奖率高．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．折线表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之间的关系．
（1）剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米；
（2）求段函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？
【答案】（1）150 （2）
（3）160千米
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式，
根据函数图像求解即可；
利用待定系数法求的线段的函数解析式，结合图像可知其自变量的取值范围；
结合图像可知汽车剩余电量为30千瓦时符合线段的函数解析式，代入求解即可．
【小问1详解】
解：由图像可知，剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为150千米
故答案为：150；
【小问2详解】
解：设段的函数解析式为y=kx+bk≠0，
将点和代入解析式得：，解得：
段的函数解析式为；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：．
即该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是160千米．
24. 【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接．
（1）判断与的关系并证明；
（2）若正方形的边长为4，点P为中点，则的长为______．
【答案】【操作感知】：30；（1）判断：，证明见解析；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识，
操作感知：根据折叠求出，即可得出结论；
迁移探究：（1）根据证即可；
（2）设的长为x，则，,利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：【操作感知】：由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30；
【迁移探究】（1）判断：，
证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，
∴
在和中，
，
∴，
即；
（2）设的长为x，
∵正方形的边长为4，点P为中点，
∴，，，
在中，，
即，
解得
故答案为：．
六、解答题（每题10分，共20分）
25. 如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒．

（1）的长为
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（4）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）8 （2）当点在线段上时，，当点在线段的延长线上时，；
（3）或；
（4）或或．
【解析】
【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，列出代数式即可；
（3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解；
（4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解．
【小问1详解】
解：垂直平分于点，
，，
，
，
故答案为：8；
【小问2详解】
解：当点在线段上时，，
当点在线段的延长线上时，；
【小问3详解】
解：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，
，
或，
解得：或；
【小问4详解】
解：当点在上，点在上时，则，
，
，
当在线段CD的延长线上时，点在上时，
当时，如图所示，
，
又，
∴，
解得：，
∴时，，
当点在线段的延长线上，点在上时，则，
，
，
综上所述：或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，不等式的应用，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点C，点P在线段上（点P不与点O、C重合），过点P作x轴的平行线交直线于点Q，设正方形与重叠部分图形的周长为L，设点P的横坐标是m．
（1）求点C的坐标；
（2）直接写出点Q的坐标（用含m的代数表示）；
（3）当与x轴重合时，求m的值；
（4）求L与m之间的函数解析式．
【答案】（1）点C的坐标为；
（2）点Q的坐标为；
（3）；
（4）；
【解析】
【分析】（1）本题考查一次函数交点问题，联立两条直线的解析式解二元一次方程组即可得到答案；
（2）本题考查求函数值，根据平行于x轴得到纵坐标相同，代入求解即可得到答案；
（3）本题考查正方形的性质及坐标系中两点间距离，根据正方形得到，结合坐标列式求解即可得到答案；
（4）本题考查一次函数的应用，根据坐标系中两点距离公式及正方形的性质分正方形在三角形内及部分在内部讨论结合周长公式求解即可得到答案
【小问1详解】
解：∵直线与直线交于点C，
∴联立方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点P在线段上（点P不与点O、C重合），
∴，
∵点P作x轴的平行线交直线于点Q，
∴点Q的纵坐标为，
代入得，，
∴点Q的坐标为；
【小问3详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴当与x轴重合时，有，
解得；
【小问4详解】
解：∵，点Q的坐标为，
∴，
当：时，即：，
，
当时，即：，
，
综上所述：．
甲
乙
平均数
96分
96分
方差
1.2
0.4
加热时间
0
10
20
30
液体温度
8
18
28
38
众数
中位数
方差
八年级
7
8
1.88
九年级
a
b
1.56