甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

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多选题：
填空题：
13、 14、 15、 16、
解答题：
（10分）
因为……………………………………………………………………………………1分
得……………………………………………………………………………………………2分
又因为，故切点为……………………………………………………………………3分
所以切线方程为，即……………………………………………4分
由（1）知，令，解得……………………………6分
所以函数的极大值为，极小值为………………………………10分
（12分）
由题知，……………………………………………………2分
所以
因为，所以………………………………………………5分
解得……………………………………………………………………………………………………6分
因为∥，…………………………………………………………………………7分
所以……………………………………………………………………………8分
因为，所以，解得……………………………………11分
所以…………………………………………………………………………12分
（12分）
由题可知与相似，故
由，，，得,即………………………………2分
所以………………………………………………………4分
由（1）得…………………………………………………………………………6分
令，得………………………………………………………………………………8分
当时，；当时，…………………………………………………10分
故当时，
即当时，的面积最小，最小值为………………………………12分
（12分）
由点是线段的中点，得
由点是的重心，得
所以…………………………4分
因为正四面体中，，，
故
所以
即…………………………………………………………………………………………………8分
由（1）可知，，
所以，所以………………………………12分
（12分）
取的中点,连接
因为，
所以为等腰直角三角形，且,
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面……………………………………………………………………………………2分
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
由中点坐标公式可得，，则
平面的一个法向量为
因为，所以
所以∥平面…………………………………………………………………………5分
，平面的一个法向量为，设直线与底面所成的角为，则…………………………………………8分
设平面的法向量为，，，则
，令，则，即………………9分
同理可得平面的法向量为……………………………………………10分
设平面与平面所成的角为，则
所以平面与平面所成的角的余弦值为……………………………12分
（12分）
（1）……………………………………………………2分
因为是函数的极值点，所以
解得，经检验符合题意…………………………………………………………………………4分
（2）因为函数在区间上为单调增函数，所以不等式在上恒成立
即在上恒成立………………………………………………………5分
即在上恒成立………………………………………………………………6分
设，则，当且仅当时取等号，即
所以，解得，即得取值范围是………………………………………8分
（3）要证，只需证
即证，只需证………………………………………………10分
设，由（2）知在区间上为单调增函数
又，所以，即成立
所以………………………………………………………………………………12分
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
C
D
A
A
C
B
9
10
11
12
BC
AC
ACD
ABD
↗
极大值
↘
极小值
↗