甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

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高二 理科数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1. 记函数fx的导函数为f'x．若fx=exsinx，则f'0=( )
A.1B.0C.-1D.2
2. 已知空间向量a→=(2,-3,0)，b→=(m,3,-1)，若a→⊥(a→+b→)，则实数m=( )
A.-2B.-1C.1D.2
3. 用反证法证明命题“已知a，b是自然数，若a+b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是( )
A.a，b都不小于2 B.a，b至少有一个不小于2
C.a，b都小于2 D.a，b至少有一个小于2
4. 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）

A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3, 1)上单调递增
D.y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零
5. 0π2x+csxdx=（ ）
A.1-π28B.π28-1C.-π28-1D.π28+1
6. 曲线y=xx+2在点 -1,-1 处的切线方程为（ ）
A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2

7. 若函数f(x)=ax-lnx在x=22处取得极值，则a的值为（ ）
A. 2B. 22 C. 2 D. 12
8. 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AA1，P，Q分别是AD和BD的中点，则异面直线D1P与B1Q所成的角为( )

A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘
9. 用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n+1>2524n∈N *时，从“n=k到n=k+1​左边需增加的代数式为（ ）
A.13k+4B.13k+2+13k+3+13k+4
C.13k+2+13k+4-13k+3D.13k+2+13k+4-23k+3
10. 若函数fx=13x3+a2x2+x-2存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A.-∞,-2∪2,+∞B.-∞,-2∪2,+∞
C.-2,2D.-2,2
11. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为（ ）

A.36B.26C.33D.23
12. 已知fx是定义在R上的奇函数，其导函数为f'x，且当x>0时，f'x⋅lnx+fxx>0，则不等式x2-1fx<0的解集为( )
A.-1,1B.-∞,-1∪0,1
C.-∞,-1∪1,+∞D.-1,0∪1,+∞
卷II（非选择题）
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. 已知fx为奇函数，当x<0时，fx=ln-x-2x，则f'1=________．
14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段A1B1的中点，则直线BE与DA1所成角的余弦值是________.

15. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分(由对角线OB及函数y=x3围成)的概率为________.

16. 如图，空间四边形ABCD的各边长均相等，AB⊥AD，BC⊥CD，平面ABD⊥平面CBD，给出下列四个结论：
①AC⊥BD；
②异面直线AB与CD所成的角为60∘；
③△ADC为等边三角形；
④AB与平面BCD所成的角为60∘.
其中正确结论的序号是________.(请将正确结论的序号都填上)

三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.(10分) 已知函数fx=lnx-12x2+3．
(1)求函数fx的单调区间；

(2)求函数fx在区间1e,e上的最大值和最小值．

18.(12分) 已知数列，且为该数列的前项和.
（1）猜想数列的通项公式；
（2）计算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；
19.(12分) 如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD．E是AB上一点，PD=2,AD=32,CD=2，AE=12

(1)求二面角E-PC-D的大小；
(2)求点B到平面PEC的距离．
20.(12分) 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)．
(1)若a=2，求导函数曲线y=f'(x)与直线x=1，x=e及x轴所围成的面积；
(2)求f(x)的单调区间．
21.(12分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1=1，∠ABC=2π3，且M，N分别为BB1，AC的中点．

(1)证明：MN//平面AB1C1；
(2)若BA=BC=2，求二面角A-B1C1-B的大小．
22.(12分) 已知函数fx=lnx-axa∈R .
(1)求函数y=fx的单调区间；
(2)当a>0时，求函数y=fx在1,2上的最小值；
(3)若不等式lnx-12-ax+a+1≤0对x>1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年度第二学期期中试卷
选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. -3 14. 105
15. 14 16. ①②③
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.解：(1) f'x=1x-x=1-(1分)
由f'x=0，所以x=1x>0.
由f'x>0，可得0由f'x<0，可得x>1，所以函数fx的减区间是1,+∞. （5分）
(2)
由上表可知： fxmax= EMBED Equatin.KSEE3 ，fxmin=4- EMBED Equatin.KSEE3 e2 (10分)
18.（1）根据题意可得an=13n-23n+1 （2分）
（2）S1=11×4=14 , S2=14+14×7=27 .S3=-27+17×10=310
Sn=n3n+1
用数学归纳法证明这个猜想． （6分）
①当n=1时，左边=S1=14
右边=n3n+1=13×1+1=14，猜想成立．
②假设当n=kk∈N*时猜想成立，即
11×4+14×7+17×10+…+13k-23k+1=k3k+1
11×4+14×7+17×10+…+13k-23k+1+1[3k+1-2][3[3k+1+1
=k3k+1+13k+13k+4
=3k2+4k+13k+13k+4
=3k+1k+13k+13k+4
=k+13k+1+1
所以，当n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立． （12分）
19.解：（1）以D为原点，向量DA→ DC→,DP→的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐系，
∴ E32,12,0,P0,0,2,C0,2,0，∴ PE→=32,12,-2,EC→=-32,32,0 (2分)
设平面PEC的一个法向量为n→=x,y,z
由n→⋅PE→=0,n→⋅EC→=0
得 32x+12y-2z=0-32x+32y=0 ，令y=1，则x=3,z=2 所以n→=3,1,2
取平面PCD的一个法向量为m→=1,0,0 （5分）
设二面角E-PC-D的大小为θ，由图可知θ为锐角．
∴ csθ=m→⋅n→|m→||n→|=22，∴ θ=π4
即二面角E-PC-D的大小为π4. （7分）
（2）由（1）知平面PEC的一个法向量为n→=3,1,2
又B32,2,0，∴ BE→=0,-32,0
∴ 点B到平面PEC的距离d=|BE→⋅n→||n→|=64 （12分）
20.解：(1)由已知，当a=2时，f(x)=2x+lnx，
∴ 导函数曲线y=f'(x)与直线x=1，x=e及坐标轴所围成的面积为
S=1ef'(x)dx=(2x+lnx)|1e
=(2e+lne)-(2+ln1)=2e-1. （5分）
(2)由题得f'(x)=a+1x=ax+1x(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax+1>0，f'(x)>0，
∴ 函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)； （7分）
②当a<0时，由f'(x)=0可得x=-1a，
在区间(0, -1a)上，f'(x)>0；
在区间(-1a, +∞)上，f'(x)<0，
∴ 函数f(x)的单调递增区间为(0, -1a)，单调递减区间为(-1a, +∞)． （10分）
综上，当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)；
当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0, -1a)，单调递减区间为(-1a, +∞)．(12分)
21.(1)证明：如图，取AC1中点F，分别连接B1F，FN.
由题知N为AC中点，
所以FN//CC1，且FN=12CC1.
由题知BCC1B1为矩形，又M为BB1的中点，
所以MB1//CC1且MB1=12CC1，
所以FN//MB1，且FN=MB1，
所以四边形B1MNF为平行四边形，
所以MN//B1F，
又因为B1F⊂平面AB1C1，MN⊄平面AB1C1，
所以MN//平面AB1C1． （5分）
(2)解：因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC．
如图，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，
则B0,0,0，B10,0,1，C10,2,1，A3,-1,0. （7分）
因为x轴⊥平面BCC1B1，
所以n1→=1,0,0为平面BCC1B1的一个法向量，
设n2→=x,y,z为平面AB1C1的法向量，
因为B1C1→=0,2,0，B1A→=3,-1,-1，
所以B1C→⋅n2→=0,B1A→⋅n2→=0,
得2y=0,3x-y-z=0,
令x=1，则y=0，z=3，
故可取n2→=1,0,3，
则cs⟨n→1,n2→⟩=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=12，
由二面角A-B1C1-B为锐二面角，
所以二面角A-B1C1-B的大小为π3． （12分）
22.解：(1)f'x=1x-ax>0， （1分）
①当a≤0时，f'x=1x-a>0，
即函数fx的单调递增区间为0,+∞ . （2分）
②当a>0时，令f'x=1x-a=0，可得x=1a，
当00，
当x>1a时，f'x=1-axx<0，
故函数fx的单调递增区间为0,1a，单调递减区间为1a,+∞ . （4分）
(2)①当1a≤1，即a≥1时，函数fx在区间1,2上是减函数，所以fx的最小值是f2=ln2-2a .
②当1a≥2，即0③当1<1a<2，即12又f2-f1=ln2-a，
所以当12当ln2≤a<1时，最小值为f2=ln2-2a .
综上可知，当0当a≥ln2时，函数fx的最小值是ln2-2a . （8分）
(3)∵ x>1，x-1>0，
∴ 原不等式等价于lnx-ax-ln2+1≤0对x>0恒成立，
∴ a≥lnx-ln2+1x对x>0恒成立，
令gx=lnx-ln2+1x，g'x=-lnx-ln2x2，
∴ gx在0,2单调递增，在2,+∞ 单调递减，
∴ gxmax=g2=12，
∴ a≥12，
∴ a的取值范围是12,+∞ （12分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
A
C
B
D
A
A
A
D
B
D
B
x
1e
1e,1
1
1,e
e
f'x
+
0
-
fx
2-12e2
↑
52
↓
4-12e2