2021-2022学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜1B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x0∈R，使得x02≥1D．存在x0∈R，使得x02＜1
2．（5分）下列选项是“a＞1”的必要条件的是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜0D．a＞0
3．（5分）下列每组函数是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝1，g（x）＝x0
B．
C．
D．
4．（5分）函数f（x）＝ln2x﹣1的零点位于区间（ ）
A．（2，3）B．（3，4）C．（0，1）D．（1，2）
5．（5分）下列大小关系正确的是（ ）
A．0.43＜30.4＜lg40.3B．0.43＜lg40.3＜30.4
C．lg40.3＜0.43＜30.4D．lg40.3＜30.4＜0.43
6．（5分）已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y＝2，那么xy的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．（5分）若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m≤﹣2或m≥2}B．{m|﹣2≤m≤2}
C．{m|m＜﹣2或m＞2}D．{m|﹣2＜m＜2}
8．（5分）设f（x）为定义于（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小顺序是（ ）
A．f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）B．f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）
C．f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）D．f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（ ）
A．A∪B＝AB．A∩B＝A
C．（∁UA）⊆（∁UB）D．A∪（∁UB）＝U
（多选）10．（5分）下列命题中真命题有 （ ）
A．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．y＝x的最小值为5
D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立
（多选）11．（5分）已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A．B．若f（m）＝9，则m≠±3
C．f（x）是奇函数D．在f（x）上R单调递减
（多选）12．（5分）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．a＞b＞0B．a＜b＜0C．0＜a＜bD．a＝b
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，16题第一空3分，第二空2分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．（5分）若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f[f（2）]＝ ．
14．（5分）命题“∀1≤x≤2，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的取值范围是 ．
15．（5分）给出下列五个论断：①b＜0；②b＞0；③a＜0；④a＞b；⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
16．（5分）函数的定义域是 ，值域是 ．
四、解答题：（本题共6小题，共计70分．17题10分，其余均为12分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）求值．
（1）；
（2）．
18．（12分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）当m＝﹣1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．
19．（12分）求下列函数的解析式．
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝2x+17，求f（x）；
（2）若函数f（）＝x﹣1，求f（x）．
20．（12分）已知二次函数y＝x2+2ax+1．若当x∈[﹣1，2]时，y的最大值为4，求实数a的值．
21．（12分）画出函数f（x）＝|lg3x|的图象，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lga（1+x）﹣lga（1﹣x），其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（）＝2，求使f（x）＞0成立的x的集合．
2021-2022学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜1B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x0∈R，使得x02≥1D．存在x0∈R，使得x02＜1
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得．
故选：D．
【点评】本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．
2．（5分）下列选项是“a＞1”的必要条件的是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜0D．a＞0
【分析】是a＞1的必要条件，集合{a|a＞1}是对应集合的子集，即可判断出答案．
【解答】解：若是a＞1的必要条件，则集合{a|a＞1}是对应集合的子集，
∵{a|a＞1}⊆{a|a＞0}，
∴a＞0是a＞1的必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查了必要条件的定义及应用，属于基础题．
3．（5分）下列每组函数是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝1，g（x）＝x0
B．
C．
D．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，f（x）＝1（x∈R），与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；
对于B，f（x）x+2（x≠2），与g（x）＝x+2（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；
对于C，f（x）＝|x﹣3|（x∈R），与g（x）|x﹣3|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，f（x）（x≤1或x≥3），与g（x）•（x≥3）的定义域不同，不是同一函数．
故选：C．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
4．（5分）函数f（x）＝ln2x﹣1的零点位于区间（ ）
A．（2，3）B．（3，4）C．（0，1）D．（1，2）
【分析】由函数的解析式可得f（1）＜0，f（2）＞0，根据函数零点的判定定理可得，可得函数f（x）的零点
所在的区间．
【解答】解：∵f（x）＝ln2x﹣1，函数是增函数，并且是连续函数，
可得f（1）＝ln2﹣1＜0，f（2）＝ln4﹣1＞0，
根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点位于区间（1，2）上，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．
5．（5分）下列大小关系正确的是（ ）
A．0.43＜30.4＜lg40.3B．0.43＜lg40.3＜30.4
C．lg40.3＜0.43＜30.4D．lg40.3＜30.4＜0.43
【分析】结合函数y＝0.4x，y＝3x，y＝lg4x的单调性判断各函数值与0和1的大小，从而比较大小．
【解答】解：∵0＜0.43＜0.40＝1，30.4＞30＝1，lg40.3＜lg0.41＝0
∴lg40.3＜0.43＜30.4
故选：C．
【点评】本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．
6．（5分）已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y＝2，那么xy的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得xy≤（）2＝1，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x＞0，y＞0，x+y＝2，
则xy≤（）2＝1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，
即xy的最大值为1．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．
7．（5分）若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m≤﹣2或m≥2}B．{m|﹣2≤m≤2}
C．{m|m＜﹣2或m＞2}D．{m|﹣2＜m＜2}
【分析】先把一元二次不等式恒成立转化为Δ＝m2﹣4≤0，再解一元二次不等式即可求解．
【解答】解：∵一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，
∴Δ＝m2﹣4≤0，∴﹣2≤m≤2，
∴实数m的取值范围是[﹣2，2]，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
8．（5分）设f（x）为定义于（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小顺序是（ ）
A．f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）B．f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）
C．f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）D．f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）
【分析】由题设条件，f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，此类函数的特征是自变量的绝对值越大，函数值越大，由此特征即可比较出三数f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序．
【解答】解：f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，
知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，此类函数的特征是自变量的绝对值越大，函数值越大，
∵2＜3＜π
∴f（2）＜f（3）＜f（π）
即f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π）
故选：A．
【点评】本题考点是函数的奇偶性，考查偶函数的图象的性质，本题在求解时综合利用函数的奇偶性与单调性得出判断策略，轻松判断出结论，方法巧妙！
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（ ）
A．A∪B＝AB．A∩B＝A
C．（∁UA）⊆（∁UB）D．A∪（∁UB）＝U
【分析】利用集合的包含关系定义，以及充要条件的定义分别判断即可．
【解答】解：对于A：当B⊆A有A∪B＝A成立，反之，若A∪B＝A成立，B⊆A成立，所以A符合；
对于A：当B⊆A，有A∩B＝B；反之，若A∩B＝A成立，A⊆B成立，所以B不符合；
对于C：若B⊆A有（∁UA）⊆（∁UB），反之若（∁UA）⊆（∁UB），则B⊆A，故C符合；
对于D：A∪∁UB＝U⇔B⊆A，故D符合；
故选：ACD．
【点评】本题考查了集合的图形语言，考查了子集与集合运算的等价关系，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列命题中真命题有 （ ）
A．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．y＝x的最小值为5
D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立
【分析】由题意结合基本不等式及其性质逐一考查所给的说法是否正确即可．
【解答】解：逐一考查所给的说法：
2＝a2+b2≥2ab⇒（a+b）2＝a2+b2+2ab≤4⇒a+b≤2，A正确，
，当且仅当a＝b＝1时等号成立，B正确，
取x＝0，则 ，C错误，
a，b均为负数时，也成立，D错误，
故选：AB．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中等题．
（多选）11．（5分）已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A．B．若f（m）＝9，则m≠±3
C．f（x）是奇函数D．在f（x）上R单调递减
【分析】通过代入计算、解方程、奇偶函数的定义以及函数的单调性性质，结合分段函数的性质逐项计算、判断即可．
【解答】解：f（）＝﹣（）2＝﹣2，故A错误；
由f（m）＝9得，或 （舍），解得m＝﹣3，故B错误；
当x＜0时，﹣x＞0，故f（x）＝x2，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝﹣f（x），
同理可知当x＞0时，也有f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0，故f（x）是奇函数，故C正确；
当x≤0时，y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，且f（0）＝0，当x＞0时，y＝﹣x2单调递减，且f（x）＜0，故f（x）在R上单调递减，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查函数的性质以及分段函数问题的处理方法，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．a＞b＞0B．a＜b＜0C．0＜a＜bD．a＝b
【分析】画出函数y和y的图象，借助图象分析等式成立时a，b的大小关系即可．
【解答】解：画出函数y和y的图象，借助图象分析a，b满足等式时a，b的大小关系，如图所示，
当a，b均为负数时，a＜b＜0，
当a，b均为正数时，a＞b＞0，
当a＝b＝0时，则1，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象，同时考查了数形结合的数学思想，是基础题．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，16题第一空3分，第二空2分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．（5分）若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f[f（2）]＝ 0 ．
【分析】函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，可得f（x）＝lg2x．再利用对数的性质即可得出．
【解答】解：∵函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，
∴f（x）＝lg2x．
∴f[f（2）]＝f（lg22）＝f（1）＝lg21＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了反函数的求法、对数的性质，属于基础题．
14．（5分）命题“∀1≤x≤2，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的取值范围是 {a|a≤1} ．
【分析】根据题意问题等价于“a≤x2在1≤x≤2上”恒成立，求出函数y＝x2在1≤x≤2上的最小值即可．
【解答】解：命题“∀1≤x≤2，使x2﹣a≥0”是真命题，
等价于a≤x2在1≤x≤2上恒成立；
设y＝x2，则函数y在1≤x≤2上的最小值为1，
所以a的取值范围是a≤1．
故答案为：{a|a≤1}．
【点评】本题考查了全称量词命题的应用问题，是基础题．
15．（5分）给出下列五个论断：①b＜0；②b＞0；③a＜0；④a＞b；⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤； ．
【分析】直接利用不等式的性质判定②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤这几个结论．
【解答】解：由②③⇒⑤，
由于b＞0，a＜0，则．
由③④⇒⑤，
由于a＜0，a＞b，则0＞a＞b，所以．
由②④⇒⑤，
由于b＞0，且a＞b，则a＞b＞0，所以．
故答案为：②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤；
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16．（5分）函数的定义域是 [﹣1，3] ，值域是 [0，2] ．
【分析】要使函数y有意义，需满足3+2x﹣x2≥0，从而解出x的范围，同时求得y的取值范围即可．
【解答】解：要使函数y有意义，则3+2x﹣x2≥0，
解得﹣1≤x≤3，
∴函数y的定义域为[﹣1，3]，
∵∈[0，2]，
∴函数y的值域为[0，2]．
故答案为：[﹣1，3]；[0，2]．
【点评】本题考查了函数定义域、值域的定义及求法，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
四、解答题：（本题共6小题，共计70分．17题10分，其余均为12分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）求值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．
（2）利用对数的运算性质求解．
【解答】解：（1）．
（2）原式．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．
18．（12分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）当m＝﹣1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据并集的定义即可求出，
（2）由题意可知，解得即可．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}．
（2）由A⊆B知，解得m≤﹣2，
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]
【点评】本题主要考查集合的之间的关系，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
19．（12分）求下列函数的解析式．
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝2x+17，求f（x）；
（2）若函数f（）＝x﹣1，求f（x）．
【分析】（1）由于函数是一次函数，故可设函数，代入题目所给已知条件，化简后可求得的值，即是求得的解析式．
（2）采用换元法，设，代入求解．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax+b（a≠0），
则3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝3ax+3a+3b﹣2ax+2a﹣2b＝ax+b+5a＝2x+17，
∴，解得a＝2，b＝7，
∴f（x）＝2x+7．
（2）设，则x＝t2﹣1，
∴f（t）＝t2﹣2，
∴f（x）＝x2﹣2（x≥0）．
【点评】本题考查求函数的解析式．主要的突破口在于已知函数为一次函数，根据这样一个条件，先假设函数的解析式，然后代入题目的已知条件，化简后对比系数，即可求得两个数的值，也即求得函数的对应的解析式．本题属于易做题．
20．（12分）已知二次函数y＝x2+2ax+1．若当x∈[﹣1，2]时，y的最大值为4，求实数a的值．
【分析】先求出二次函数y＝x2+2ax+1的对称轴为直线x＝﹣a，再分类讨论对称轴与区间的关系即可求解．
【解答】解：二次函数y＝x2+2ax+1的对称轴为直线x＝﹣a，
当﹣a≤﹣1，即a≥1时，函数在[﹣1，2]上单调递增，∴当x＝2时，y取得最大值4，∴5+4a＝4，解得（舍去），
当﹣a≥2，即a≤﹣2时，函数在[﹣1，2]上单调递减，∴当x＝﹣1时，y取得最大值4，∴2﹣2a＝4，解得a＝﹣1（舍去），
当﹣1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜1时，
①﹣1＜﹣a，即a＜1时，当x＝2时，y取得最大值4，∴5+4a＝4，解得，
②a＜2，即﹣2＜a时，当x＝﹣1时，y取得最大值4，∴2﹣2a＝4，解得a＝﹣1，
综上，实数a的值为或﹣1．
【点评】本题考查二次函数在区间上的最值问题，分类讨论是关键，属于中档题．
21．（12分）画出函数f（x）＝|lg3x|的图象，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值．
【分析】将f（x）写成分段函数的形式，画出f（x）的图象，由图象可得f（x）的值域和单调区间．求得f（）和f（6）的值，结合图象可得所求最大值．
【解答】解：因为
所以在[1，+∞）上，f（x）的图象与y＝lg3x的图象相同，
在（0，1）上的图象与y＝lg3x的图象关于x轴对称，据此可画出其图象，如图所示．
由图象可知，函数f（x）的值域为[0，+∞），单调递增区间是[1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
当时，f（x）在区间上单调递减，在区间（1，6]上单调递增．
又，f（6）＝lg36＜2，
故f（x）在区间上的最大值为2．
【点评】本题考查函数的图象和性质，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lga（1+x）﹣lga（1﹣x），其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（）＝2，求使f（x）＞0成立的x的集合．
【分析】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求f（x）的定义域；
（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）根据f（）＝2，可得：a＝2，根据对数函数的性质即可求使f（x）＞0的x的解集．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，
解得﹣1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）∵f（﹣x）＝lga（﹣x+1）﹣lga（1+x）＝﹣[lga（x+1）﹣lga（1﹣x）]＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）若f（）＝2，
∴lga（1）﹣lga（1）＝lga4＝2，
解得：a＝2，
∴f（x）＝lg2（1+x）﹣lg2（1﹣x），
若f（x）＞0，则lg2（x+1）＞lg2（1﹣x），
∴x+1＞1﹣x＞0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质．
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