2023-2024学年甘肃省兰州市教育局第四片区联考高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州市教育局第四片区联考高二（上）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在数列，，，，…，，…中，是它的（ ）
A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项
2．（5分）数列，，，，，……的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为小于5的偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P（A⋃B）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中前7天共分发多少升大米？（ ）
A．1170B．1440C．1785D．1772
5．（5分）已知直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），则下列各图形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）若数列{an}满足，a1＝2，则a2023＝（ ）
A．﹣1B．1C．2D．
7．（5分）在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16＝0的两个根，那么S11的值为（ ）
A．88B．﹣88C．110D．﹣55
8．（5分）已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9
二、多选题。本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）过点A（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．3x﹣2y＝0B．2x﹣3y＝0C．x+y＝5D．x﹣y＝﹣1
（多选）10．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．若{an}为等比数列，Sn是{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等比数列
B．若{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列
C．若{an}为等差数列，且m，n，p，q均是正数，则“m+n＝p+q”是“am+an＝ap+aq”的充要条件
D．满足（n∈N*且q≠0）的数列{an}为等比数列
（多选）11．（5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（ ）
A．事件A与D为对立事件B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与E为对立事件D．事件P（C∪E）＝1
（多选）12．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝﹣n2+7n，则（ ）
A．{an}是递增数列
B．a10＝﹣12
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）直线y＝2x+1的一个法向量＝ ．
14．（5分）甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响．甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为 ．
15．（5分）在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则lg2a2+2lg2a6+lg2a10＝ ．
16．（5分）已知{an}数列满足a1＝2，，则数列{an}的通项公式为 ．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n．
（1）求S4，a4；
（2）求这个数列的通项公式an．
19．（12分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）求经过A（﹣1，5）、B（2，1）两点的直线方程；
（2）求在x轴、y轴上的截距分别是﹣3、﹣1的直线方程；
（3）求经过点Q（﹣1，2）且斜率为﹣2的直线方程．
20．（12分）设数列{bn}的各项都为正数，且．
（1）证明数列为等差数列；
（2）设b1＝1，求数列{bnbn+1}的前n项和Sn．
21．（12分）直线l的方程为．
（1）证明：直线l恒经过第一象限；
（2）若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围．
22．（12分）已知等差数列{an}满足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不为﹣1的等比数列{bn}满足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，求{cn}的前n项和Sn．
2023-2024学年甘肃省兰州市教育局第四片区联考高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题。本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】根据题意，由数列的通项公式可得关于n的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，数列的通项公式为an＝，
故＝，解可得n＝9．
故选：B．
【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2．【分析】直接利用数列的通项公式的求法求出结果．
【解答】解：数列，，，，，……的一个通项公式为．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3．【分析】根据事件的运算，结合古典概型的概率计算公式加以运算，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意可知：样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3}，
则A⋃B＝{2，3，4}，可得n（Ω）＝6，n（A⋃B）＝3，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查样本空间与事件、古典概型的概率计算公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
4．【分析】建立等差数列模型，根据等差数列求和公式可求得结果．
【解答】解：由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列{an}，设公差为d，则d＝7×3＝21，
记第一天共分发大米为a1＝64×3＝192（升），
则前7天共分发大米（升）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
5．【分析】直接利用直线中m和n的取值范围判断函数的图象．
【解答】解：根据直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），
①当m＞0时，﹣m＜0，n＞0，﹣n＜0，选项A错误；
②当n＞0，﹣m＜0，则m＞0，故D正确；
③当m＞0，n＞0时，﹣m＜0，故B错误；
④由于两直线的交点在y轴上，故m＝﹣n，故m和n异号，故C错误．
故根据函数的图象只有A符合答案．
选项ABC都不对．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直线和图象的关系，主要考查学生视图能力和数学思维能力，属于基础题．
6．【分析】通过an+1＝及a1＝2计算出a2，a3，a4，••••••，进一步发现{an}的周期即可求解．
【解答】解：由题意，a1＝2，a2＝＝＝﹣1，a3＝＝＝，a4＝＝＝2＝a1，••••••，
所以{an}是以3为周期的周期数列，
所以a2023＝a3×674+1＝a1＝2．
故选：C．
【点评】本题考查数列的周期性，考查学生归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．
7．【分析】利用韦达定理得a5+a7＝﹣10，由等差数列前n项和得S11＝（a1+a11）＝（a5+a7），由此能求出结果．
【解答】解：在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a5，a7是方程x2+10x﹣16＝0的两个根，
∴a5+a7＝﹣10，
∴S11＝（a1+a11）＝（a5+a7）＝＝﹣55．
故选：D．
【点评】本题考查韦达定理、等差数列前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．
【解答】解：因为P（C）＝0.6，事件B与C对立，
所以P（B）＝0.4，又P（A）＝0.3，A与B互斥，
所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.3+0.4＝0.7，
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、多选题。本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．【分析】当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（2，3），（0，0），由此能求出直线方程为；当横截距a≠0时，纵截距b＝a，设直线方程为，把A（2，3）代入能求出直线方程．
【解答】解：当横截距a＝0时，纵截距b＝0，
此时直线过点（2，3），（0，0），直线方程为：
，整理得3x﹣2y＝0，
当横截距a≠0时，纵截距b＝a，
设直线方程为，
把A（2，3）代入得，解得a＝5，
∴直线方程为＝1，整理得x+y＝5．
故选：AC．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查两点式方程、截距式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．【分析】根据等差数列前n项和性质及等比数列定义判断，利用特例判定其余错误选项．
【解答】解：若{an}为等比数列，设公比为q，q≠0，Sn是{an}的前n项和，
设，当n＝2时，S2＝0，S4﹣S2＝0，S6﹣S4＝0，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n不是等比数列，所以A选项错误；
若{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，设公差为d，
则Sn＝a1+a2+⋅⋅⋅+an，
所以，，
所以Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列，所以B选项正确；
{an}为等差数列，考虑an＝1，a1+a2＝a3+a4，1+2≠3+4，所以C选项错误；
根据等比数列定义，数列{an}，（n∈N*且q≠0）的数列{an}为等比数列，所以D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，属于中档题．
11．【分析】由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可．
【解答】解：∵事件A＝“取出的两球同色”，D＝“取出的两球不同色”，∴件A与D为对立事件，故A对，
事件BC＝“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B与C不是互斥事件，故B错，
事件CE＝“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C与E不是对立事件，故C错，
事件C∪E为必然事件，故P（C∪E）＝1，故D对，
故选：AD．
【点评】本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题．
12．【分析】推导出an＝﹣2n+8，再由Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，由此能求出结果．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝﹣n2+7n，
∴a1＝S1＝﹣1+7＝6，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+7n）﹣[﹣（n﹣1）2+7（n﹣1）]＝﹣2n+8，
当n＝1时，﹣2n+8＝6＝a1，
∴an＝﹣2n+8，
∴{an}是递减数列，故A错误；
a10＝﹣2×10+8＝﹣12，故B正确；
当n＞4时，an＝﹣2n+8＜0，故C正确；
∵Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝3或4时，Sn取得最大值12，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答．
【解答】解：直线y＝2x+1 的方向向量为，而，
所以直线y＝2x+1 的一个法向量．
故答案为：（﹣2，1）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了直线的方向向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．【分析】由已知结合相互独立事件及互斥事件的概率公式可求．
【解答】解：设甲投篮命中的为事件A，乙投篮命中的为事件B，
则P（A）＝，P（B）＝，A，B相互独立，
甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为P＝P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了互斥事件及相互独立事件的概率公式，属于基础题．
15．【分析】根据等比数列的性质，得到，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：在正项等比数列{an}中，因为a4a8＝2，可得，
则．
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．【分析】将条件式两边同时除以2n+1得数列{}是等差数列，从而求出数列{an}的通项公式．
【解答】解：∵，
∴两边同时除以2n+1得：，
又∵，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查已知数列的递推式求通项公式和等差数列的定义，还考查了计算能力和转化思想，属中档题．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【分析】设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，列出方程组，能求出取得黑球、黄球、绿球的概率．
【解答】解：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，
设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，
∵得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，
∴，
解得P（B）＝P（D）＝，P（C）＝，
∴取得黑球、黄球、绿球的概率分别为．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．【分析】（1）n＝4代入可得S4，由a4＝S4﹣S3可得a4；
（2）由an与Sn的关系可得数列通项公式．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n，
所以S4＝16+2＝18，a4＝S4﹣S3＝18﹣（9+）＝；
（2）当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝2n﹣，
当n＝1时，上式也满足，
故数列的通项公式an＝2n﹣．
【点评】本题考查了已知Sn求an的求通项的方法，属于基础题．
19．【分析】（1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案；
（2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案；
（3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．
【解答】解：（1）由两点式方程，可知所求直线的方程为，
化为一般式方程为4x+3y﹣11＝0．
（2）由截距式方程，可知所求直线的方程为，
化为一般式方程为x+3y+3＝0．
（3）因为经过点Q（﹣1，2），由点斜式方程可得：y﹣2＝﹣2（x+1），
化为一般式方程为2x+y＝0．
【点评】本题考查了直线方程的几种形式，是基础题．
20．【分析】（1）对已知等式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）由等差数列的通项公式可得，所以，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．
【解答】解：（1）证明：数列{bn}的各项都为正数，且，
两边取倒数得，
故数列为等差数列，其公差为1，首项为；
（2）由（1）得，，，
故，所以，
因此．
【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
21．【分析】（1）根据题意，可利用直线经过的定点进行说明；
（2）结合（1）的结论，只要直线的y轴上的截距大于0即可．
【解答】解：（1）由于，即直线一定过定点，该点在第一象限，
于是直线l一定经过第一象限．
（2）由于直线经过第一象限的定点，要使直线l一定经过第二象限，
只要该直线在y轴上的截距大于0即可．
而经过y轴上的点，则，解得a＜3．
故a的取值范围为（﹣∞，3）．
【点评】本题主要考查直线经过定点问题，确定直线位置关系的要素，属于基础题．
22．【分析】（1）根据已知条件列出方程组，分别求出等差数列和等比数列的首项、公差或公比，根据定义写出通项公式即可；
（2）由错位相减法结合等比数列求和公式进行运算即可求解．
【解答】解：（1）由题意，不妨设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
∴，解得，
，注意到b1≠0，q≠﹣1，解得，
因此{an}的通项公式为an＝3n﹣2，{bn}的通项公式为；
（2）由（1）可知，an＝3n﹣2，，
由题意有，
当n≥2，n∈N*时，有，
∴有，
以上两式作差得
＝＝﹣1+6﹣3×2n+（3n﹣2）2n
＝5+（3n﹣5）2n，
当n＝1时，有S1＝5+（﹣2）×2＝1＝1×1＝a1b1＝c1，
综上所述：{cn}的前n项和为．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和，训练了错位相减法的应用，是中档题．