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2023届河南省安阳市林州市部分学校高考一模数学试卷
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这是一份2023届河南省安阳市林州市部分学校高考一模数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，则（ ）
A．﹣1∈MB．1∈MC．﹣2∈MD．0∈M
3．（5分）已知向是，若⊥，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知，直线，若点P满足|PF1|+|PF2|＝4，过点P作直线l的垂线，垂足为B，则|PB|的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形、现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．60πD．80π
6．（5分）若关于x的不等式ex+xlnx﹣ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e+1，+∞）B．（﹣∞，e+1]C．D．
7．（5分）已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为，高为3，则该棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，若f（1﹣x）＝g（x+1）+2，且g（0）＝0，则＝（ ）
A．﹣3036B．﹣1012C．﹣2024D．﹣4048
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日，赛龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，一个袋中装有大小一样的4个豆沙粽、2个成肉粽，现从中随机地取3个粽子，设取出的3个粽子中成肉粽的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值为0，1，2，3
B．
C．E（X）＝1
D．
（多选）10．（5分）已知10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝0，则（ ）
A．10a+lgb＝2024
B．a+10a＝b+lgb
C．的最小值为
D．a﹣lga＝lgb﹣lg（lgb）
（多选）11．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一动点．当点P运动到点（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），则（ ）
A．抛物线的方程为y2＝8x
B．|PM|+|PF|的最小值为8
C．以PF为直径的圆与y轴相切
D．若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线AB过焦点F
（多选）12．（5分）已知a＞0，b＞0，ea+lnb＝a+b，且a≠lnb，则（ ）
A．ea＞bB．a+lnb＜0C．b＞1D．a+lnb＞0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）展开式中x3的系数为60，则实数a＝ ．
14．（5分）写出一个过点A（2，5）和点B（4，﹣1）的圆的方程： ．
15．（5分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则f（x）图象的对称中心为 ．
16．（5分）在正四面体A﹣BCD中，M为线段AC上一点，且2AM＝MC，点N为线段BC的中点，则直线MN与平面BCD所成角的正切值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝121，a2＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinC＝c（1﹣csA）．
（1）求A；
（2）若D为线段BC上一点，且BD＝3CD＝3，b＝，求AD的长．
19．（12分）如图，圆锥PO的顶点为P，其母线长为3，点A，B，C，M都在底面圆O上，AM为直径，且BC＝3，∠PAB＝∠PAC，设E，F分别是母线PB，PC上靠近点B，C的三等分点．
（1）证明：AP⊥EF．
（2）当∠PAB＝60°时，求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．
20．（12分）某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下：
经计算得，，，，其中xi表示工龄为i年的年薪，i＝1，2，…，16．
（1）求年薪xi与工龄i（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若|r|＜0.25，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）．
（2）在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的相关系数，，0.2122+9.972≈99.446，15×10.02＝1506.006，9.222≈85.008．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣（a+e）x2+ax．
（1）当a＝﹣e时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有三个不同的零点，求a的取值范围．
22．（12分）如图，已知直线，，M是平面内一个动点，MA∥l2且MA与l1相交于点A（A位于第一象限），MB∥l1，且MB与l2相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点F（2，0）的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′：x＝t，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为复数z＝1﹣2i，
则＝＝＝．
故选：B．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，则（ ）
A．﹣1∈MB．1∈MC．﹣2∈MD．0∈M
【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，
则M＝{﹣2}．
故选：C．
3．（5分）已知向是，若⊥，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：向是，
∵⊥，∴＝4x+3y＝0，
则＝﹣．
故选：D．
4．（5分）已知，直线，若点P满足|PF1|+|PF2|＝4，过点P作直线l的垂线，垂足为B，则|PB|的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：|PF1|+|PF2|＝4＞|F1F2|＝，则P点轨迹为椭圆，a＝2，，
b2＝4﹣3＝1，即，设P（2csα，sinα），
所以点P到直线的距离为＝，
其中tanθ＝2，当sin（α+θ）＝﹣1取最大值为当sin（α+θ）＝1取最小值为．
则|PB|的取值范围为[，]．
故选：A．
5．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形、现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．60πD．80π
【解答】解：设圆锥的母线长为l，因为圆锥的底面圆半径为r＝4，
所以2πl＝4×2πr＝8π×4，解得l＝16，
所以该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl＝π×42+π×4×16＝80π．
故选：D．
6．（5分）若关于x的不等式ex+xlnx﹣ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e+1，+∞）B．（﹣∞，e+1]C．D．
【解答】解：由题意知，式ex+xlnx﹣ax+1≥0恒成立，即ax≤ex+xlnx+1恒成立，
当x＝0时，显然恒成立，
当x＞0时，a≤恒成立，
设f（x）＝（x＞0），
则f′（x）＝，
令g（x）＝xex﹣ex+x﹣1（x＞0），
则g′（x）＝ex+xex﹣ex+1＝xex+1，
因为x＞0，所以g′（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为g（1）＝0，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝1时，f（x）取得极小值，也是最小值，为f（1）＝e+1，
所以a≤e+1，即实数a的取值范围为（﹣∞，e+1]．
故选：B．
7．（5分）已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为，高为3，则该棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图：分别取△ABC、△A1B1C1的中心E，F，连接EF，过A作AM⊥A1F，
因为，由正弦定理得，得AE＝1，
同理可得A1F＝2，所以A1M＝1，
由已知得：EF＝AM＝3，
设正三棱台的外接球球心O，E为上底面截面圆的圆心，F为下底面截面圆的圆心，
所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线EF上，
设外接球O的半径为R，
所以OA＝OA1＝R，OA2＝AE2+OE2.，，
即R2＝12+OE2，R2＝22+OF2，
当O在EF的延长线上时，
可得，无解；
当O在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，
解得，
所以正三棱台ABC﹣A1B1C1的外接球体积为．
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，若f（1﹣x）＝g（x+1）+2，且g（0）＝0，则＝（ ）
A．﹣3036B．﹣1012C．﹣2024D．﹣4048
【解答】解：因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
f（1﹣x）＝g（x+1）+2，
所以f（﹣x）＝g（x+2）+2，①
用﹣x代替x，得f（x）＝g（2﹣x）+2，②
两式相加，得g（x+2）+g（2﹣x）+4＝0，
所以g（x+2）＝﹣g（2﹣x）﹣4，
所以g（x）关于（2，﹣2）对称，所以g（2）＝﹣2；
由g（x+2）＝﹣g（2﹣x）﹣4，
可得g（x）＝﹣g（4﹣x）﹣4，
即g（﹣x）＝﹣g（4﹣x）﹣4，
g（x）+g（4+x）＝﹣4，
所以g（x+4）+g（8+x）＝﹣4，
所以g（x+8）＝g（x），
所以g（x）为周期函数，最小正周期为8，
由g（x）+g（4+x）＝﹣4，
可知g（0）+g（4）＝﹣4，
又因为g（0）＝0，
所以g（4）＝﹣4；
又因为g（2）+g（6）＝﹣4，g（2）＝﹣2，
所以g（6）＝﹣2，
所以g（0）+g（2）+g（4）+g（6）＝﹣8；
g（8）+g（10）+g（12）+g（14）＝﹣8；
……
g（2016）+g（2018）+g（2020）+g（2022）＝﹣8；
g（2024）＝g（0）＝0，
所以＝[g（0）+g（2）+g（4）+g（6）]+…+[g（2016）+g（2018）+g（2020）+g（2022）]+g（2024）
＝[g（0）+g（2）+g（4）+g（6）]+…+[g（2016）+g（2018）+g（2020）+g（2022）]
＝﹣8×253
＝﹣2024．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日，赛龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，一个袋中装有大小一样的4个豆沙粽、2个成肉粽，现从中随机地取3个粽子，设取出的3个粽子中成肉粽的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值为0，1，2，3
B．
C．E（X）＝1
D．
【解答】解：根据题意，X的取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝，
则E（X）＝0×，
D（X）＝﹣1×．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）已知10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝0，则（ ）
A．10a+lgb＝2024
B．a+10a＝b+lgb
C．的最小值为
D．a﹣lga＝lgb﹣lg（lgb）
【解答】解：由10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝0可得10a＝2024﹣a，lgb＝2024﹣b，
则a，b可分别看作y＝10x与y＝lgx与y＝2024﹣x的交点的横坐标，
又y＝10x与y＝lgx的图象关于y＝x对称，
联立可得x＝y＝1012，
所以（a+b）＝1012，（10a+lgb）＝1012，
所以a+b＝2024，10a+lgb＝2024，A正确；
因为10a+a＝2024＝0，lgb+b＝2024，故10a+a＝lgb+b＝2024，B正确；
因为＝（）（a+b）＝（2+）≥（2+2）＝，
当且仅当a＝b时取等号，显然等号无法取得，C错误；
令g（x）＝10x+x﹣2024，则g（x）单调递增，
因为10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝lgb+10lgb﹣2024＝0，
所以g（a）＝0，g（lgb）＝0，
故a＝lgb，
所以a﹣lga＝lgb﹣lg（lgb），D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一动点．当点P运动到点（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），则（ ）
A．抛物线的方程为y2＝8x
B．|PM|+|PF|的最小值为8
C．以PF为直径的圆与y轴相切
D．若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线AB过焦点F
【解答】解：对于A：因为抛物线y2＝2px的准线为l0：x＝﹣，设点P到l1的距离为d，
则|PF|＝d＝2+＝4，解得p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x，故A正确；
可得抛物线的方程为y2＝8x的焦点F（2，0），准线l0：x＝﹣2．
对于B：若y＝1，则1＝8x，解得x＝＜4，即点M（4，1）在抛物线内，
可得|PM|+|PF|＝|PM|+d≥4+2＝6，
当且仅当点P为过点M（4，1）作l0的垂线与抛物线的交点时，等号成立，故B错误；
对于C：设PF的中点为G，过P，G作y轴的垂线，垂足为Q，H，则|GH|＝，
因为|OF|＝2，可得|GH|＝＝＝|PF|，
所以以PF为直径的圆与y轴相切，故C正确；
对于D：设直线AB：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得y2﹣8my﹣8n＝0，则Δ＝64m2+32n＞0，
所以y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，
所以|AB|＝＝4，
又x1+x2＝（my1+n）+（my2+n）＝m（y1+y2）+2n＝8m2+2n，
所以AB的中点D（4m2+n，4m），
若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
则D到准线的距离d＝|AB|＝4m2+n+2，
即2＝4m2+n+2，
化简得n2﹣4n+4＝0，所以n＝2，
此时直线AB：x＝my+2过焦点F（2，0），故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知a＞0，b＞0，ea+lnb＝a+b，且a≠lnb，则（ ）
A．ea＞bB．a+lnb＜0C．b＞1D．a+lnb＞0
【解答】解：令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
由ea+lnb＝a+b，得ea﹣a＝b﹣lnb＝elnb﹣lnb，即f（a）＝f（lnb），
又a≠lnb，a＞0，ea＞1，
∴lnb＜0，0＜b＜1，∴ea＞1＞b，故A选项正确，C选项错误；
令g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，
则g'（x）＝ex+e﹣x﹣2≥2﹣2＝0，当且仅当x＝0时等号成立，
∴g（x）在R上单调递增，g（0）＝0，∴当x＞0时，g（x）＞0，即f（x）＞f（﹣x），
∴f（a）＝f（lnb）＞f（﹣lnb），
由于﹣lnb＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞﹣lnb，
a+lnb＞0，故B选项错误，D选项正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）展开式中x3的系数为60，则实数a＝ 12 ．
【解答】解：根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6），
当r＝1时，x3的系数满足的关系式为，解得a＝12．
故答案为：12．
14．（5分）写出一个过点A（2，5）和点B（4，﹣1）的圆的方程： （x﹣3）2+（y﹣2）2＝10（答案不唯一） ．
【解答】解：点A（2，5）和点B（4，﹣1）的中点C为（3，2），且|CB|＝＝．
故所求圆的方程可以是：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝10．
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝10（答案不唯一）．
15．（5分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则f（x）图象的对称中心为 （2k，0），k∈Z ．
【解答】解：因为函数 在 上单调递增，在上单调递减，
所以，f（）＝1，
所以，k∈Z，，
又ω＞0，所以，，
所以，
故，
令＝kπ，k∈Z，
解得x＝2k，
故函数的对称中心为（2k，0）．k∈Z．
故答案为：（2k，0），k∈Z．
16．（5分）在正四面体A﹣BCD中，M为线段AC上一点，且2AM＝MC，点N为线段BC的中点，则直线MN与平面BCD所成角的正切值是 ．
【解答】解：如图，过点A作AOC垂直地面BCD，垂足为O，连接AN，ON，OC，MN，
过点M作MG⊥OC于G，连接NG，由题意可知：MG∥AO且MG＝AO，
因为AO⊥平面BCD，所以MG⊥平面BCD，
则∠MNG即为直线MN与平面BCD所成角的平面角，
因为AO⊥平面BCD，所以MG⊥平面BCD，
则∠MNG即为直线MN与平面BCD所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2，则，，
所以，则，
在△MNC 中，由余弦定理可得：，
在Rt△MNG中，，
所以，
所以直线MN与平面BCD所成角的正切值是．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝121，a2＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为等差数列{an}中，S11＝11a1+55d＝121，a2＝a1+d＝3，
解得，d＝2，a1＝1，
故an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由题意可得，＝＝（），
Tn＝（1﹣+…+）＝（1）＝．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinC＝c（1﹣csA）．
（1）求A；
（2）若D为线段BC上一点，且BD＝3CD＝3，b＝，求AD的长．
【解答】解：（1）由正弦定理及asinC＝c（1﹣csA），可得sinAsinC＝sinC（1﹣csA），
又sinC≠0，所以sinA＝﹣csA，整理得sin（A+）＝，
由A∈（0，π），可得A+，所以A+＝，即A＝；
（2）由题意，a＝4，b＝，A＝，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，即16＝+c2﹣，
整理得：3c2﹣4c﹣32＝0，解得c＝，
由题意，BD＝3，CD＝1，
在△ADB中，cs∠ADB＝，
在△ADC中，cs∠ADC＝，
因为∠ADB+∠ADC＝π，所以cs∠ADB+cs∠ADC＝0，
故+＝0，
整理得：AD2＝，解得AD＝．
19．（12分）如图，圆锥PO的顶点为P，其母线长为3，点A，B，C，M都在底面圆O上，AM为直径，且BC＝3，∠PAB＝∠PAC，设E，F分别是母线PB，PC上靠近点B，C的三等分点．
（1）证明：AP⊥EF．
（2）当∠PAB＝60°时，求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：在圆锥PO中，PO⊥面ABC⇒PO⊥BC，
，
连结AM交BC于H，则AO⊥BC，又AO，PO相交于平面APO，
所以BC⊥平面APO，因为AP⊂平面APO，
所以BC⊥AP，
又E、F分别是靠近B、C的三等分点．
（2）由∠PAB＝60°得△PAB、△PAC都为正三角形，则AB＝AC＝BC＝3，
如图以O为原点，垂直于AM所在的直线为x轴，OM所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，
∴，
∴，∴，
设平面AEF的法向量，则，整理得，解得；
设为平面BEF的法向量，则，整理得，解得，
故，
故二面角A﹣EF﹣B的余弦值为0．
20．（12分）某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下：
经计算得，，，，其中xi表示工龄为i年的年薪，i＝1，2，…，16．
（1）求年薪xi与工龄i（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若|r|＜0.25，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）．
（2）在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的相关系数，，0.2122+9.972≈99.446，15×10.02＝1506.006，9.222≈85.008．
【解答】解：（1）计算相关系数r＝＝≈﹣0.18．
因为|r|＜0.25，所以可认为年薪与工龄不具有线性相关关系．
（2）因为＝9.97，s＝0.212，所以在之内的范围是（9.334，10.606），
显然第13号员工不在此范围之内，所以需要对余下的员工进行计算，剔除离群值后，剩下的数据平均值为×（16×9.97﹣9.22）＝10.02，
＝16×0.2122+16×9.972＝1591.134，
所以剔除离群值后样本方差为×（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）＝0.008，
剔除离群值后样本标准差为≈0.09．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣（a+e）x2+ax．
（1）当a＝﹣e时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有三个不同的零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣e时，f（x）＝ex﹣ex，
f′（x）＝ex﹣e，
所以当x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）由f（x）＝ex﹣（a+e）x2+ax有三个不同零点，
所以ex﹣（a+e）x2+ax＝0有三个不同的根，
又x＝0不是方程的根，
所以＝（a+e）x﹣a有三个不同的根，
令g（x）＝，（x≠0），h（x）＝（a+e）x﹣a，
即y＝g（x）与y＝h（x）有三个不同的交点，
因为g′（x）＝，
所以g（x）在（﹣∞，0）和（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当x＜0时，g（x）∈（﹣∞，0），
当x＞0时，g（x）＞0，g（x）的极小值为g（1）＝e，
又y＝h（x）为过点（1，e）的直线，斜率为a+e，
又y＝h（x）与y＝g（x）有三个不同的交点，且g′（1）＝0，
所以直线y＝h（x）的斜率a+e＞0，
所以a＞﹣e，
所以a的取值范围为（﹣e，+∞）．
22．（12分）如图，已知直线，，M是平面内一个动点，MA∥l2且MA与l1相交于点A（A位于第一象限），MB∥l1，且MB与l2相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点F（2，0）的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′：x＝t，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），A（xA，yA），B（xB，yB），MA所在直线方程为，
联立方程得＞0，同理＞0，
，
∴四边形OAMB的面积为：
S＝|OA||OB|sin∠AOB＝4|xA||xB|
＝•＝，
∴，（x0≥1），
∴动点M的轨迹C的方程为．
（2）假设存在定直线l′：x＝t，使为定值．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点G（xG，yG），直线l方程为x＝my+2，
联立方程，（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
由，得，
，
＝，
，
设G到直线l′：x＝t的距离，
，
因为为定值，所以为定值．
由为定值，
故2﹣4t＝0即，即当时，为定值，
此时．
所以存在定直线，使为定值．工龄（年）：
1
2
3
4
5
6
7
8
年薪（万）：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
工龄（年）：
9
10
11
12
13
14
15
16
年薪（万）：
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
工龄（年）：
1
2
3
4
5
6
7
8
年薪（万）：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
工龄（年）：
9
10
11
12
13
14
15
16
年薪（万）：
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，则（ ）
A．﹣1∈MB．1∈MC．﹣2∈MD．0∈M
3．（5分）已知向是，若⊥，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知，直线，若点P满足|PF1|+|PF2|＝4，过点P作直线l的垂线，垂足为B，则|PB|的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形、现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．60πD．80π
6．（5分）若关于x的不等式ex+xlnx﹣ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e+1，+∞）B．（﹣∞，e+1]C．D．
7．（5分）已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为，高为3，则该棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，若f（1﹣x）＝g（x+1）+2，且g（0）＝0，则＝（ ）
A．﹣3036B．﹣1012C．﹣2024D．﹣4048
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日，赛龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，一个袋中装有大小一样的4个豆沙粽、2个成肉粽，现从中随机地取3个粽子，设取出的3个粽子中成肉粽的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值为0，1，2，3
B．
C．E（X）＝1
D．
（多选）10．（5分）已知10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝0，则（ ）
A．10a+lgb＝2024
B．a+10a＝b+lgb
C．的最小值为
D．a﹣lga＝lgb﹣lg（lgb）
（多选）11．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一动点．当点P运动到点（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），则（ ）
A．抛物线的方程为y2＝8x
B．|PM|+|PF|的最小值为8
C．以PF为直径的圆与y轴相切
D．若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线AB过焦点F
（多选）12．（5分）已知a＞0，b＞0，ea+lnb＝a+b，且a≠lnb，则（ ）
A．ea＞bB．a+lnb＜0C．b＞1D．a+lnb＞0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）展开式中x3的系数为60，则实数a＝ ．
14．（5分）写出一个过点A（2，5）和点B（4，﹣1）的圆的方程： ．
15．（5分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则f（x）图象的对称中心为 ．
16．（5分）在正四面体A﹣BCD中，M为线段AC上一点，且2AM＝MC，点N为线段BC的中点，则直线MN与平面BCD所成角的正切值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝121，a2＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinC＝c（1﹣csA）．
（1）求A；
（2）若D为线段BC上一点，且BD＝3CD＝3，b＝，求AD的长．
19．（12分）如图，圆锥PO的顶点为P，其母线长为3，点A，B，C，M都在底面圆O上，AM为直径，且BC＝3，∠PAB＝∠PAC，设E，F分别是母线PB，PC上靠近点B，C的三等分点．
（1）证明：AP⊥EF．
（2）当∠PAB＝60°时，求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．
20．（12分）某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下：
经计算得，，，，其中xi表示工龄为i年的年薪，i＝1，2，…，16．
（1）求年薪xi与工龄i（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若|r|＜0.25，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）．
（2）在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的相关系数，，0.2122+9.972≈99.446，15×10.02＝1506.006，9.222≈85.008．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣（a+e）x2+ax．
（1）当a＝﹣e时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有三个不同的零点，求a的取值范围．
22．（12分）如图，已知直线，，M是平面内一个动点，MA∥l2且MA与l1相交于点A（A位于第一象限），MB∥l1，且MB与l2相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点F（2，0）的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′：x＝t，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为复数z＝1﹣2i，
则＝＝＝．
故选：B．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，则（ ）
A．﹣1∈MB．1∈MC．﹣2∈MD．0∈M
【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，
则M＝{﹣2}．
故选：C．
3．（5分）已知向是，若⊥，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：向是，
∵⊥，∴＝4x+3y＝0，
则＝﹣．
故选：D．
4．（5分）已知，直线，若点P满足|PF1|+|PF2|＝4，过点P作直线l的垂线，垂足为B，则|PB|的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：|PF1|+|PF2|＝4＞|F1F2|＝，则P点轨迹为椭圆，a＝2，，
b2＝4﹣3＝1，即，设P（2csα，sinα），
所以点P到直线的距离为＝，
其中tanθ＝2，当sin（α+θ）＝﹣1取最大值为当sin（α+θ）＝1取最小值为．
则|PB|的取值范围为[，]．
故选：A．
5．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形、现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．60πD．80π
【解答】解：设圆锥的母线长为l，因为圆锥的底面圆半径为r＝4，
所以2πl＝4×2πr＝8π×4，解得l＝16，
所以该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl＝π×42+π×4×16＝80π．
故选：D．
6．（5分）若关于x的不等式ex+xlnx﹣ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e+1，+∞）B．（﹣∞，e+1]C．D．
【解答】解：由题意知，式ex+xlnx﹣ax+1≥0恒成立，即ax≤ex+xlnx+1恒成立，
当x＝0时，显然恒成立，
当x＞0时，a≤恒成立，
设f（x）＝（x＞0），
则f′（x）＝，
令g（x）＝xex﹣ex+x﹣1（x＞0），
则g′（x）＝ex+xex﹣ex+1＝xex+1，
因为x＞0，所以g′（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为g（1）＝0，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝1时，f（x）取得极小值，也是最小值，为f（1）＝e+1，
所以a≤e+1，即实数a的取值范围为（﹣∞，e+1]．
故选：B．
7．（5分）已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为，高为3，则该棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图：分别取△ABC、△A1B1C1的中心E，F，连接EF，过A作AM⊥A1F，
因为，由正弦定理得，得AE＝1，
同理可得A1F＝2，所以A1M＝1，
由已知得：EF＝AM＝3，
设正三棱台的外接球球心O，E为上底面截面圆的圆心，F为下底面截面圆的圆心，
所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线EF上，
设外接球O的半径为R，
所以OA＝OA1＝R，OA2＝AE2+OE2.，，
即R2＝12+OE2，R2＝22+OF2，
当O在EF的延长线上时，
可得，无解；
当O在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，
解得，
所以正三棱台ABC﹣A1B1C1的外接球体积为．
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，若f（1﹣x）＝g（x+1）+2，且g（0）＝0，则＝（ ）
A．﹣3036B．﹣1012C．﹣2024D．﹣4048
【解答】解：因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
f（1﹣x）＝g（x+1）+2，
所以f（﹣x）＝g（x+2）+2，①
用﹣x代替x，得f（x）＝g（2﹣x）+2，②
两式相加，得g（x+2）+g（2﹣x）+4＝0，
所以g（x+2）＝﹣g（2﹣x）﹣4，
所以g（x）关于（2，﹣2）对称，所以g（2）＝﹣2；
由g（x+2）＝﹣g（2﹣x）﹣4，
可得g（x）＝﹣g（4﹣x）﹣4，
即g（﹣x）＝﹣g（4﹣x）﹣4，
g（x）+g（4+x）＝﹣4，
所以g（x+4）+g（8+x）＝﹣4，
所以g（x+8）＝g（x），
所以g（x）为周期函数，最小正周期为8，
由g（x）+g（4+x）＝﹣4，
可知g（0）+g（4）＝﹣4，
又因为g（0）＝0，
所以g（4）＝﹣4；
又因为g（2）+g（6）＝﹣4，g（2）＝﹣2，
所以g（6）＝﹣2，
所以g（0）+g（2）+g（4）+g（6）＝﹣8；
g（8）+g（10）+g（12）+g（14）＝﹣8；
……
g（2016）+g（2018）+g（2020）+g（2022）＝﹣8；
g（2024）＝g（0）＝0，
所以＝[g（0）+g（2）+g（4）+g（6）]+…+[g（2016）+g（2018）+g（2020）+g（2022）]+g（2024）
＝[g（0）+g（2）+g（4）+g（6）]+…+[g（2016）+g（2018）+g（2020）+g（2022）]
＝﹣8×253
＝﹣2024．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日，赛龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，一个袋中装有大小一样的4个豆沙粽、2个成肉粽，现从中随机地取3个粽子，设取出的3个粽子中成肉粽的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值为0，1，2，3
B．
C．E（X）＝1
D．
【解答】解：根据题意，X的取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝，
则E（X）＝0×，
D（X）＝﹣1×．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）已知10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝0，则（ ）
A．10a+lgb＝2024
B．a+10a＝b+lgb
C．的最小值为
D．a﹣lga＝lgb﹣lg（lgb）
【解答】解：由10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝0可得10a＝2024﹣a，lgb＝2024﹣b，
则a，b可分别看作y＝10x与y＝lgx与y＝2024﹣x的交点的横坐标，
又y＝10x与y＝lgx的图象关于y＝x对称，
联立可得x＝y＝1012，
所以（a+b）＝1012，（10a+lgb）＝1012，
所以a+b＝2024，10a+lgb＝2024，A正确；
因为10a+a＝2024＝0，lgb+b＝2024，故10a+a＝lgb+b＝2024，B正确；
因为＝（）（a+b）＝（2+）≥（2+2）＝，
当且仅当a＝b时取等号，显然等号无法取得，C错误；
令g（x）＝10x+x﹣2024，则g（x）单调递增，
因为10a+a﹣2024＝0，lgb+b﹣2024＝lgb+10lgb﹣2024＝0，
所以g（a）＝0，g（lgb）＝0，
故a＝lgb，
所以a﹣lga＝lgb﹣lg（lgb），D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一动点．当点P运动到点（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），则（ ）
A．抛物线的方程为y2＝8x
B．|PM|+|PF|的最小值为8
C．以PF为直径的圆与y轴相切
D．若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线AB过焦点F
【解答】解：对于A：因为抛物线y2＝2px的准线为l0：x＝﹣，设点P到l1的距离为d，
则|PF|＝d＝2+＝4，解得p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x，故A正确；
可得抛物线的方程为y2＝8x的焦点F（2，0），准线l0：x＝﹣2．
对于B：若y＝1，则1＝8x，解得x＝＜4，即点M（4，1）在抛物线内，
可得|PM|+|PF|＝|PM|+d≥4+2＝6，
当且仅当点P为过点M（4，1）作l0的垂线与抛物线的交点时，等号成立，故B错误；
对于C：设PF的中点为G，过P，G作y轴的垂线，垂足为Q，H，则|GH|＝，
因为|OF|＝2，可得|GH|＝＝＝|PF|，
所以以PF为直径的圆与y轴相切，故C正确；
对于D：设直线AB：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得y2﹣8my﹣8n＝0，则Δ＝64m2+32n＞0，
所以y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，
所以|AB|＝＝4，
又x1+x2＝（my1+n）+（my2+n）＝m（y1+y2）+2n＝8m2+2n，
所以AB的中点D（4m2+n，4m），
若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
则D到准线的距离d＝|AB|＝4m2+n+2，
即2＝4m2+n+2，
化简得n2﹣4n+4＝0，所以n＝2，
此时直线AB：x＝my+2过焦点F（2，0），故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知a＞0，b＞0，ea+lnb＝a+b，且a≠lnb，则（ ）
A．ea＞bB．a+lnb＜0C．b＞1D．a+lnb＞0
【解答】解：令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
由ea+lnb＝a+b，得ea﹣a＝b﹣lnb＝elnb﹣lnb，即f（a）＝f（lnb），
又a≠lnb，a＞0，ea＞1，
∴lnb＜0，0＜b＜1，∴ea＞1＞b，故A选项正确，C选项错误；
令g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，
则g'（x）＝ex+e﹣x﹣2≥2﹣2＝0，当且仅当x＝0时等号成立，
∴g（x）在R上单调递增，g（0）＝0，∴当x＞0时，g（x）＞0，即f（x）＞f（﹣x），
∴f（a）＝f（lnb）＞f（﹣lnb），
由于﹣lnb＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞﹣lnb，
a+lnb＞0，故B选项错误，D选项正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）展开式中x3的系数为60，则实数a＝ 12 ．
【解答】解：根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6），
当r＝1时，x3的系数满足的关系式为，解得a＝12．
故答案为：12．
14．（5分）写出一个过点A（2，5）和点B（4，﹣1）的圆的方程： （x﹣3）2+（y﹣2）2＝10（答案不唯一） ．
【解答】解：点A（2，5）和点B（4，﹣1）的中点C为（3，2），且|CB|＝＝．
故所求圆的方程可以是：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝10．
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝10（答案不唯一）．
15．（5分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则f（x）图象的对称中心为 （2k，0），k∈Z ．
【解答】解：因为函数 在 上单调递增，在上单调递减，
所以，f（）＝1，
所以，k∈Z，，
又ω＞0，所以，，
所以，
故，
令＝kπ，k∈Z，
解得x＝2k，
故函数的对称中心为（2k，0）．k∈Z．
故答案为：（2k，0），k∈Z．
16．（5分）在正四面体A﹣BCD中，M为线段AC上一点，且2AM＝MC，点N为线段BC的中点，则直线MN与平面BCD所成角的正切值是 ．
【解答】解：如图，过点A作AOC垂直地面BCD，垂足为O，连接AN，ON，OC，MN，
过点M作MG⊥OC于G，连接NG，由题意可知：MG∥AO且MG＝AO，
因为AO⊥平面BCD，所以MG⊥平面BCD，
则∠MNG即为直线MN与平面BCD所成角的平面角，
因为AO⊥平面BCD，所以MG⊥平面BCD，
则∠MNG即为直线MN与平面BCD所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2，则，，
所以，则，
在△MNC 中，由余弦定理可得：，
在Rt△MNG中，，
所以，
所以直线MN与平面BCD所成角的正切值是．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝121，a2＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为等差数列{an}中，S11＝11a1+55d＝121，a2＝a1+d＝3，
解得，d＝2，a1＝1，
故an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由题意可得，＝＝（），
Tn＝（1﹣+…+）＝（1）＝．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinC＝c（1﹣csA）．
（1）求A；
（2）若D为线段BC上一点，且BD＝3CD＝3，b＝，求AD的长．
【解答】解：（1）由正弦定理及asinC＝c（1﹣csA），可得sinAsinC＝sinC（1﹣csA），
又sinC≠0，所以sinA＝﹣csA，整理得sin（A+）＝，
由A∈（0，π），可得A+，所以A+＝，即A＝；
（2）由题意，a＝4，b＝，A＝，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，即16＝+c2﹣，
整理得：3c2﹣4c﹣32＝0，解得c＝，
由题意，BD＝3，CD＝1，
在△ADB中，cs∠ADB＝，
在△ADC中，cs∠ADC＝，
因为∠ADB+∠ADC＝π，所以cs∠ADB+cs∠ADC＝0，
故+＝0，
整理得：AD2＝，解得AD＝．
19．（12分）如图，圆锥PO的顶点为P，其母线长为3，点A，B，C，M都在底面圆O上，AM为直径，且BC＝3，∠PAB＝∠PAC，设E，F分别是母线PB，PC上靠近点B，C的三等分点．
（1）证明：AP⊥EF．
（2）当∠PAB＝60°时，求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：在圆锥PO中，PO⊥面ABC⇒PO⊥BC，
，
连结AM交BC于H，则AO⊥BC，又AO，PO相交于平面APO，
所以BC⊥平面APO，因为AP⊂平面APO，
所以BC⊥AP，
又E、F分别是靠近B、C的三等分点．
（2）由∠PAB＝60°得△PAB、△PAC都为正三角形，则AB＝AC＝BC＝3，
如图以O为原点，垂直于AM所在的直线为x轴，OM所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，
∴，
∴，∴，
设平面AEF的法向量，则，整理得，解得；
设为平面BEF的法向量，则，整理得，解得，
故，
故二面角A﹣EF﹣B的余弦值为0．
20．（12分）某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下：
经计算得，，，，其中xi表示工龄为i年的年薪，i＝1，2，…，16．
（1）求年薪xi与工龄i（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若|r|＜0.25，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）．
（2）在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的相关系数，，0.2122+9.972≈99.446，15×10.02＝1506.006，9.222≈85.008．
【解答】解：（1）计算相关系数r＝＝≈﹣0.18．
因为|r|＜0.25，所以可认为年薪与工龄不具有线性相关关系．
（2）因为＝9.97，s＝0.212，所以在之内的范围是（9.334，10.606），
显然第13号员工不在此范围之内，所以需要对余下的员工进行计算，剔除离群值后，剩下的数据平均值为×（16×9.97﹣9.22）＝10.02，
＝16×0.2122+16×9.972＝1591.134，
所以剔除离群值后样本方差为×（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）＝0.008，
剔除离群值后样本标准差为≈0.09．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣（a+e）x2+ax．
（1）当a＝﹣e时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有三个不同的零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣e时，f（x）＝ex﹣ex，
f′（x）＝ex﹣e，
所以当x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）由f（x）＝ex﹣（a+e）x2+ax有三个不同零点，
所以ex﹣（a+e）x2+ax＝0有三个不同的根，
又x＝0不是方程的根，
所以＝（a+e）x﹣a有三个不同的根，
令g（x）＝，（x≠0），h（x）＝（a+e）x﹣a，
即y＝g（x）与y＝h（x）有三个不同的交点，
因为g′（x）＝，
所以g（x）在（﹣∞，0）和（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当x＜0时，g（x）∈（﹣∞，0），
当x＞0时，g（x）＞0，g（x）的极小值为g（1）＝e，
又y＝h（x）为过点（1，e）的直线，斜率为a+e，
又y＝h（x）与y＝g（x）有三个不同的交点，且g′（1）＝0，
所以直线y＝h（x）的斜率a+e＞0，
所以a＞﹣e，
所以a的取值范围为（﹣e，+∞）．
22．（12分）如图，已知直线，，M是平面内一个动点，MA∥l2且MA与l1相交于点A（A位于第一象限），MB∥l1，且MB与l2相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点F（2，0）的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′：x＝t，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），A（xA，yA），B（xB，yB），MA所在直线方程为，
联立方程得＞0，同理＞0，
，
∴四边形OAMB的面积为：
S＝|OA||OB|sin∠AOB＝4|xA||xB|
＝•＝，
∴，（x0≥1），
∴动点M的轨迹C的方程为．
（2）假设存在定直线l′：x＝t，使为定值．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点G（xG，yG），直线l方程为x＝my+2，
联立方程，（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
由，得，
，
＝，
，
设G到直线l′：x＝t的距离，
，
因为为定值，所以为定值．
由为定值，
故2﹣4t＝0即，即当时，为定值，
此时．
所以存在定直线，使为定值．工龄（年）：
1
2
3
4
5
6
7
8
年薪（万）：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
工龄（年）：
9
10
11
12
13
14
15
16
年薪（万）：
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
工龄（年）：
1
2
3
4
5
6
7
8
年薪（万）：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
工龄（年）：
9
10
11
12
13
14
15
16
年薪（万）：
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
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