2022年河南省安阳市高考数学二模试卷（理科）（含答案解析）

2022年河南省安阳市高考数学二模试卷（理科）

1. 复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

3. 已知，则x的值可以是

A. 0 B.  C.  D.

4. 某市一次高三模拟考试一共有万名考生参加，他们的总分服从正态分布，若，则总分高于530分的考生人数为

A. 2400 B. 3520 C. 8520 D. 12480

5. 在边长为2的正六边形ABCDEF中，

A.  B.  C.  D. 6

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
    

A. 18
B. 24
C. 48
D. 60
 

7. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为

A. 1 B. 4 C. 7 D. 11

8. 某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为，，，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为，，，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 已知双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线的右支、渐近线分别交于点A，B，且为坐标原点，，则双曲线的离心率

A.  B.  C.  D. 4

11. 在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为，若该正四棱锥的外接球的体积为，则的面积为

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段AB的中点M在直线上，则的值域为

A.  B.  C.  D.

13. 一组数据1，a，4，5，8的平均数是4，则这组数据的方差为______.
14. 过抛物线C：的焦点F作斜率为k的直线l，l与C交于A，B两点，若，则______.
15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则b的最小值为______.
16. 函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是______.
17. 已知等差数列的前n项和为，，
    求的通项公式；
    令，求数列的前n项和为
    
    
    
    
    
    
     
18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，O为AC与BD的交点，点H为棱CE的中点．
    求证：平面ADEF；
    求二面角的余弦值．

19. 小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积单位：和日均客流量单位：百人的数据…，，并计算得，，，
    求y关于x的回归直线方程；
    已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？
    附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知椭圆C：的离心率，左、右顶点分别为曲线与x轴的交点．
    求椭圆C的方程；
    过C的下焦点作一条斜率为k的直线l，l与椭圆C相交于点A与B，O为坐标原点，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    若，的一个零点为，求曲线在处的切线方程；
    若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
    求C的普通方程和l的直角坐标方程；
    若l与C交于A，B两点，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
求不等式的解集；
若函数的最大值为t，正实数a，b，c满足，求证：







答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：集合，
集合，
所以
故选：
化简集合A、B，再计算
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：，
故，
根据选项：当时，关系式成立；
故选：
直接利用函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：总分服从正态分布，，
，
，
总分高于530分的考生人数为
故选：
根据已知条件，结合正态分布的对称性，考查频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，考查频率与频数的关系，属于基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：如图：边长为2的正六边形ABCDEF，
，
，，
则
故选：
画出图形，表示出向量数量积的向量，然后求解向量的数量积即可．
本题考查平面向量的数量积的计算，是对基本知识的考查．
 

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】直接利用转换关系，把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
【解答】
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为三角形的三棱锥；
如图所示：

故
故选：  

7.【答案】D
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
令，得，由图可知，当直线过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：选择周一、周二、周三的概率分别为，，，
根据天气预报，这三天下雨的概率分别为，，，且这三天是否下雨相互独立，
则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为：

故选：
利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：方程在区间上恰有5个实根，
即在区间上恰有5个实根，
因为，所以，
作出和的图象，如图：

由图象可得，解得，
即的取值范围是
故选：
根据正弦函数的图象即可求解．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：如图，

点F到渐近线的距离，
已知，，
联立，解得，
，为BF的中点，则，
代入并整理得：，即
双曲线的离心率
故选：
由题意画出图形，求解B的坐标，再由向量等式可得A为BF的中点，求得A的坐标，代入双曲线方程，即可求得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，由四棱锥外接球的体积求出外接球的半径，再由勾股定理列式求得底面边长，则答案可求．
【解答】
解：如图，

连接AC，BD，设，连接PO，则平面ABCD，
侧棱与底面所成角的正切值为，，
设，则，
设F为四棱锥外接球的其球心，连接FA，可得，
设四棱锥外接球的半径为r，则，可得，，
则，
由，得，代入上式，可得
，，
故
故选：  

12.【答案】B
 

【解析】解：当时，的定义域为R，
由为奇函数，可得，
即显然不成立；
所以，由为奇函数，可得，
即，
化为，即为，
解得，
由，即，
化为，
设，，可得，
又线段AB的中点M在直线上，可得，
即有，
解得，
则，
因为，所以，
即的值域为，
故选：
由奇函数的定义求得，由和联立，运用韦达定理和中点坐标公式，求得，再由指数函数的值域可得的值域．
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及函数与方程的关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】6
 

【解析】解：一组数据1，a，4，5，8的平均数是4，
，解得，
这组数据的方差为
故答案为：
根据已知条件，结合平均数公式和方差的公式，即可求解．
本题主要考查平均数公式和方差的公式，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设直线AB的方程为，，，
联立可得，
，，
，
解得，则，
故答案为：
由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．
本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，
，即，，
又，，即，当且仅当时，取等号．
再由余弦定理可得，
故b的最小值为，
故答案为：
由题意，利用两角和的余弦公式，余弦定理，基本不等式，求得b的最小值．
本题主要考查两角和的余弦公式，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：函数的零点个数等价于函数与的图象公共点个数，
在同一个坐标系中作出两个图象，可知它们都经过点，

且，
当时，单调递增，或单调递减，两图象仅有一个交点；
当时，两个图象在点处相切，只有一个公共点；
当时，根据指数函数与对数函数图象的形状，可知两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点；
当时，两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点；
综上：实数a的取值范围为，
故答案为：
函数的零点个数等价于函数与的图象公共点个数，在同一个坐标系中作出两个图象，结合图象可得a的取值范围．
本题考查了函数的零点问题，用到了数形结合的思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，
则，
化简，得，
即，
，，
则有，
解得，
，
由，可得，
则，
，
两式相减，
可得


，

 

【解析】先设等差数列的公差为d，然后根据题干已知条件列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可计算出等差数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和
本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

18.【答案】证明：如图所示，连接AE，因为四边形ABCD是矩形，，
所以O是AC的中点，
因为H是CE的中点，所以，
因为平面ADEF，平面ADEF，所以平面
解：由条件可知AB，AD，AF两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，

，
可得，
设平面BFH的法向量为，所以，
取，可得，，所以
设平面BCH的法向量为，所以，
取，可得，，所以，
所以，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为
 

【解析】连接AE，根据三角形的中位线，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面ADEF；
以A为坐标原点，以AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面BFH和平面BCH的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题考查二面角及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由已知可得，，，，
所以回归直线方程为
根据题意得，，
设，
令，，
则，
当，即时，取最大值，又因为k，，
所以此时Z也取最大值，
因此小李应该租的商铺．
 

【解析】根据已知条件，结合最小二乘法公式，即可求解．
根据题意得，，再结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意可知，设C的焦点为，，则，则，
曲线与x轴的交点，，即，
由，则，，
所以椭圆C的方程：；
的下焦点为，直线l的斜率存在，则，设，，
联立方程组，消去y，整理得，
则，，
所以，
所以，，
令，，则，所以，
由，在上单调递增，所以当，即时，取最小值，最小值为，
所以，
所以面积的最大值
 

【解析】根据椭圆的离心率公式可得，由题意可得，结合，即可求得a和c的值，求得椭圆方程；
设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理结合三角形的面积公式，根据对勾函数的单调性即可求得面积的最大值．
本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式，对勾函数的性质，考查转化思想，计算能力，属于难题．
 

21.【答案】解析：若，则，
由，可得或，所以，
因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为
因为当时，恒成立，
所以当时，，
即恒成立，
设，则，
设，则，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以，所以在上单调递增，
当时，恒成立，
则当时，恒成立，即恒成立，
设，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，所以，
即实数a的取值范围为
 

【解析】利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而利用直线方程的点斜式可得切线方程；
将不等式的恒成立问题，分离参数a，转化为最值问题求解．
本题考查了导数的几何意义，函数的恒成立问题，属于中档题．
 

22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；
直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
把直线的方程转换为参数式为为参数，代入，
得到：；
故；
所以
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：由题意，
不等式等价于或或
解得或或，
综上，不等式的解集为
证明：由知的最大值为5，即
所以，
所以
因为，
当且仅当时等号成立，
又因为a，b，c为正实数，所以，即
 

【解析】对函数解析式进行化简，再分别求不等式的解集即可；
由得，再利用基本不等式进行证明即可．
本题考查绝对值的不等式及基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．