河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题（含答案）

河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知的实部与虚部互为相反数，则实数（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

4．已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（    ）

A． B． C． D．1

5．小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为20，方差为50，如果按人民币计（汇率按1美元元人民币），则平均数和方差分别为（    ）

A．20，50 B．140，350 C．140，700 D．140，2450

6．以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（    ）

A．4 B． C．6 D．8

7．如图是某四棱锥的三视图，其中正视图和俯视图是边长为2的正方形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最小值为4

C．若，则的最大值为2

D．若，则的最大值为

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知四棱锥内接于以为直径的球，，且底面为矩形，则四棱锥的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过坐标原点作直线交椭圆于两点，若，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数 的最小正周期为，，且在区间内有极小值无极大值，则（    ）

A． B． C． D．2

二、填空题

13．已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.

14．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是______.

15．半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为__________.

16．已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.

三、解答题

17．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中的值；

(2)根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；

(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）

18．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

19．如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.

(1)证明：；

(2)求点到平面的距离.

20．已知函数.

(1)证明：曲线在点处的切线经过坐标原点；

(2)若，证明：有两个零点.

21．已知抛物线的焦点为，点是该抛物线上互不重合的三点，且轴，，设点的横坐标分别为.

(1)当时，求（点为坐标原点）的值；

(2)求的最小值.

22．在直角坐标系中，直线（为参数，）经过点，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；

(2)设直线与曲线交于两点，求.

23．已知函数.

(1)当时，解不等式；

(2)若函数在区间上的值域，求实数的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，

又，

所以.

故选：B

2．A

【分析】根据复数的乘法运算可得，结合题意列出方程，即可得答案.

【详解】由于,

的实部与虚部互为相反数，故，

故选：A

3．B

【分析】根据幂函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到答案.

【详解】，，

，，

，，

故选：B.

4．C

【分析】先建立平面直角坐标，分别求出向量，的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结果.

【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以

故选：C.

5．D

【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算，即可得答案.

【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的7倍，

故按人民币计，则平均数和方差分别为，

故选：D

6．C

【分析】由渐近线方程得出，，以及，联立即可求得答案.

【详解】由题意，，不妨设双曲线的渐近线方程为，

则.又，且，

联立解得，，即.

故选：C

7．A

【分析】根据三视图还原四棱锥，再利用切割法与锥体的体积公式即可得解.

【详解】根据题意，还原该四棱锥到虚线正方体中，如图，

易知该正方体的棱长为，故，，又面，

所以.

故选：A.

8．D

【分析】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若，则，展开后使用基本不等式即可判断B.

【详解】∵，∴，∴，故A正确；

若，则，

当且仅当时等号成立，故B正确；

若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；

若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.

故选：D.

9．B

【分析】利用正切的二倍角公式及和角公式，求出，再将化简变形成齐次式即可求出结果.

【详解】因为，所以，

又，解得，

所以，

故选：B.

10．D

【分析】由四棱锥内接于以为直径的球，证明平面，再表示四棱锥的体积并求其最大值.

【详解】如图，四棱锥的外接球球心为，

因为为球的直径，则，

又底面为矩形，则，又，且两直线在平面内，

所以平面，又平面，

所以，又，且两直线在平面内，

所以平面，

又，则，即，当时取等号，又，

四棱锥的体积.

则四棱锥的体积的最大值为.

故选：D.

11．B

【分析】由椭圆离心率为可得之间的关系，设，代入椭圆方程可得，由可推出，即可得，即可求得答案.

【详解】由椭圆离心率为，知，

由题意可设，则，

由可得，即，

结合可得，故，则，

所以直线的方程为，

故选：B

12．A

【分析】由求出，再根据内只有极小值没有极大值确定条件 的几何意义求出.

【详解】因为，

由题意可得：，

，

即 ，

由题意可得,

解得，

即

存在的充要条件是 ，即，

，

又，且，

则点与点关于直线对称，

.

故选：A.

13．/1.5

【分析】由的图象关于坐标原点对称得是一个奇函数，根据定义域关于原点对称及奇函数的性质求得结果.

【详解】依题意函数是一个奇函数，

又，所以，

所以定义域为，

因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.

又，所以，

所以，即，

所以，所以.

故答案为：.

14．5

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得的最大值.

【详解】

由，得，作出不等式组对应的可行域（阴影部分），

平移直线，由平移可知当直线，

经过点A时，直线的截距最大，此时z取得最大值，

由，解得，

将A的坐标代入，得，

即目标函数的最大值为5.

故答案为：5

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类问题的常用方法.

15．/

【分析】利用古典概型，找到满足题意的情况和总事件数即可得到答案.

【详解】若3个点中包含直径的两个端点，根据直径所对圆周角为直角，则此时为直角三角形，不合题意，

若3个点中，只有1个为直径的端点，此时有种情况，

若3点没有点为直径的端点，则此时只有1种情况，

综上共有7种情况满足题意，

而总数共有种，

则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为.

故答案为：.

16．

【分析】首先根据题意得到，从而得到，再分类讨论其单调性即可得到答案.

【详解】，

因为是的极小值点，所以，解得.

所以

.

当时，，

，，为减函数；，，为增函数，

所以是的极小值点，符合条件.

当时，令，解得或.

当时，，，为增函数；

，，为减函数；

，，为增函数，

所以是的极小值点，符合条件.

当，即时，，

则在R上为减函数，无极值点，舍去.

当时，即，

，，为减函数；

，，为增函数；

，，为减函数，

所以是的极大值点，舍去.

当时，即，

，，为减函数；

，，为增函数；

，，为减函数，

所以是的极小值点，符合条件.

综上，a的取值范围为.

故答案为：.

17．(1)

(2)

(3)（元）

【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，即可求得答案;

（2）确定m的范围，结合频率分布直方图列式计算，可得答案；

（3）计算出区间内的居民年用水量分别超出的吨数，结合频率分布直方图列式计算，即得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图得，

解得.

（2）在200户居民年用水量频率分布直方图中，

前5组频率之和为，

前4组频率之和为，

所以，

由，解得.

（3）由题可知区间内的居民年用水量分别取为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，

则元，

所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元.

18．(1)

(2)

【分析】(1)根据已知转化为，得出数列是等差数列，求出，继而得出答案.

(2)由(1)得出，然后利用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）由，得，且，

所以，所以.

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，

故.

（2）由题知，，

所以

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；

（2）运用等体积法求解.

【详解】（1）

在直角三角形中，因为 ，所以 ，

即在四棱锥中， ，平面PDB，平面PDB，

所以平面，从而平面，

如图，在上取一点，使得，连接，

因为，所以，所以，

又 ，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF，

在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF，

又因为 ，平面PBD，平面PBD，所以平面平面，

所以平面，故；

（2）连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，

所以三棱锥的体积，

所以，

在 中，计算可得，由余弦定理得，所以，

，

设点到平面的距离为，则，故；

综上，点M到平面PBE的距离为 .

20．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线方程，即可得解；

（2）求导，可得的单调性及最值，，，由零点存在定理知在上有一个零点．，令，利用其单调性可得，即，又，由零点存在定理知在上有一个零点，即可得证．

【详解】（1）由已知得，

所以，又因为，

由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线方程为，

即，恒过坐标原点.

（2），令，得.

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

所以.

因为，所以，

又，由零点存在定理知在上有一个零点，即在内只有一个零点.

因为，所以，

令，当时，在上单调递增，，

所以，即，

又，由零点存在定理知在上有一个零点，即在内只有一个零点，

综上，有两个零点.

21．(1)

(2)9

【分析】（1）先利用条件求出点的横坐标，再利用几何关系得到，从而求出结果；

（2）设出直线的方程，联立抛物线方程得到，再利用，得到的关系，从而得出，进而可求出结果.

【详解】（1）由题可知，又因为，解得，

过作垂直于轴于，

因为，所以，

所以.

（2）设，因为轴，所以点的横坐标为，

又点在抛物线上，所以，得到，

根据对称性，不妨设点在轴的上方，则，

设直线的方程为，点的纵坐标分别为.

由方程组，消得到，

所以，即，

又由韦达定理知，，

所以，

因为，所以，又，，

所以，

即，

所以，整理得，

所以或.

若，则直线过点，不合题意，舍去，所以，

所以，

又因为恒成立，

所以当时，的最小值为9.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）直线的参数方程与普通方程的相互转化，椭圆的的参数方程与普通方程及极坐标方程的相互转化

（2）先写出直线的参数方程，再联立方程应用韦达定理求两根积即可.

【详解】（1）由题可知直线经过点，

又因为经过点，

故，

整理得的普通方程为.

曲线的普通方程为，

化为极坐标方程为.

（2）因为，所以，

则的参数方程可写为（为参数），

代入中，整理得，

设点对应的参数为，点对应的参数为，则，

由参数的几何意义，得.

23．(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法即可求出结果；

（2）利用条件得到，再利用在区间上的值域建立不等关系，从而求出结果.

【详解】（1）当时，

由得或或

解得或，所以不等式的解集为.

（2）当时，，

因为在区间上的值域，所以，当时，，即，所以，

由，得到或，即或，

由，得到，即，

所以或.

因为，显然，

所以，所以或，解得，

故的取值范围是