还剩15页未读，
继续阅读
2022-2023学年河南省安阳市高一（上）期末数学试卷
展开
这是一份2022-2023学年河南省安阳市高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2≤x＜3}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}
2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，+∞），sinx＝l+xB．∀x∈（0，+∞），sinx≠1+x
C．∃x∉（0，+∞），sinx＝1+xD．∃x∈（0，+∞），sinx≠l+x
3．（5分）为了得到函数的图像，只需将y＝sin3x的图像（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
5．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（3，+∞）
6．（5分）若，且，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数f（x）＝ax是指数函数，函数g（x）＝x2﹣2ax，则f（x）与g（x）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．（0，+∞）C．D．（0，2]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列判断正确的是（ ）
A．“x为偶数”是“x为整数”的充分条件
B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C．“m＞n＞0”是“ln0.2m＜ln0.2n”的充分条件
D．“a＝b”是“a3﹣b3＝eb﹣ea”的充要条件
（多选）10．（5分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．cs（﹣α）B．sin（α）
C．cs2αD．2
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝﹣2sin2ωx+sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，则（ ）
A．f（x）的图像关于直线对称
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在内有4个零点
D．f（x）在上的值域为
12．（5分）已知函数，其中a＞0，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则当a的值变化时（ ）
A．M+N为定值B．M﹣N为定值C．M+N≥4D．M﹣N＜ln2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知函数f（x），则f（lg26）＝ ．
14．（5分）已知函数，若f（a）+f（a﹣4）＝0，则实数a＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ中（φ＞0）的最大值是2，则φ的最小值为 ．
16．（5分）若当x∈[a，b]（a＜b）时，函数f（x）是单调函数，且值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“域同区间”若函数f（x）x2+m存在域同区间，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：共70分解答应写出文字说明.证胡过程或演算步骤
17．（10分）已知．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sinαcsα﹣sin2α的值．
18．（12分）已知1与2是三次函数f（x）＝x3+ax+b（a，b∈R）的两个零点．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式ax2﹣bx+1＞0的解集．
19．（12分）已知函数f（x）．
（Ⅰ）指出f（x）在（0，+∞））上的单调性，并根据单调性的定义证明；
（Ⅱ）设a＝f（），b＝f（lg3），c＝f（lg310），d＝2f（﹣1），试比较a，b，c，d四个数的大小，并说明理由．
20．（12分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式以及单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝a在[]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
21．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m，转轮的直径为80m，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要40min．
（1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数H（t）的解析式；
（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度．
参考数据：sin．
22．（12分）已知函数f（x）对于任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＜0，f（1）＝3．
（1）求f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值；
（2）若在区间[1，3]上不存在实数x，满足f（x2）＞f（ax）﹣3，求实数a的取值范围．
2022-2023学年河南省安阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2≤x＜3}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}
【分析】先求出B的补集，然后结合集合交集运算可求．
【解答】解：由题意可得∁RB＝{x|x＜2或x≥3}，
则A∩∁RB＝{x|﹣1≤x＜2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，+∞），sinx＝l+xB．∀x∈（0，+∞），sinx≠1+x
C．∃x∉（0，+∞），sinx＝1+xD．∃x∈（0，+∞），sinx≠l+x
【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可判断求解．
【解答】解：因为命题∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x为特称命题，
其否定为全称命题，∀x∈（0，+∞），sinx≠x+1，
故选：B．
【点评】本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3．（5分）为了得到函数的图像，只需将y＝sin3x的图像（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位即可得解．
【解答】解：因为，
所以只需将y＝sin3x的图像上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图像．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象变换，属基础题．
4．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【分析】由a+b＝4，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
【解答】解：因为a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝2，b＝2时，等号成立，故的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（3，+∞）
【分析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣2x﹣3＞0，即x＞3或x＜﹣1．
设t＝x2﹣2x﹣3，则当x＞3时，函数t＝x2﹣2x﹣3单调递增，
当x＜﹣1时，函数t＝x2﹣2x﹣3单调递减．
∵函数y＝lnt，在定义域上为单调递增函数，
∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，
当x＞3时，函数f（x）单调递增，
即函数f（x）的递增区间为（3，+∞）．
当x＜﹣1时，函数f（x）单调递减，
即函数f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的判断，利用复合函数同增异减的原则进行判断即可，注意要先求出函数的定义域．
6．（5分）若，且，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角函数的定义和倍角公式求出结果．
【解答】解：，
由于，所以，
所以，
故．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义，倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
7．（5分）已知函数f（x）＝ax是指数函数，函数g（x）＝x2﹣2ax，则f（x）与g（x）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据指数函数的性质，分a＞1和0＜a＜1两种情况对选项一一判断即可得出结论．
【解答】解：当0＜a＜1时，指数函数f（x）＝ax在R上单调递减，
即选项B、D情况，此时函数g（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，对称轴为x＝a（0＜a＜1），排除B、D选项，
当a＞1时，指数函数f（x）＝ax在R上单调递增，
即选项A、C情况，此时函数g（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，对称轴为x＝a（a＞1），排除A选项，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的图象，二次函数、指数函数的性质，属于中档题．
8．（5分）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．（0，+∞）C．D．（0，2]
【分析】作函数f（x）的大致图像（实线），平移直线y＝k﹣x，数形结合得出实数k的取值范围．
【解答】解：如图，作函数f（x）的大致图像（实线），
平移直线y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，
，
故当时，直线与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）相切；
当k＝0时，直线y＝﹣x经过点（0，0），且与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）有2个不同的交点；
当k＝2时，直线y＝2﹣x经过点（0，2），且与f（x）的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当k∈（0，2]时，f（x）的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列判断正确的是（ ）
A．“x为偶数”是“x为整数”的充分条件
B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C．“m＞n＞0”是“ln0.2m＜ln0.2n”的充分条件
D．“a＝b”是“a3﹣b3＝eb﹣ea”的充要条件
【分析】对于A，“x为偶数”⇒“x为整数；对于B，取a＝1，b＝﹣2，得a＞b，a2＜b2；对于C，“m＞n＞0”⇒“ln0.2m＞ln0.2n”；对于D，“a＝b”⇒“a3﹣b3＝eb﹣ea”，当eb﹣ea＝b﹣a时，设f（x）＝ex﹣x，则问题等价于求与x轴平行的直线y＝t与函数f（x）的图象的交点个数，推导出必要性不成立．
【解答】解：对于A，“x为偶数”⇒“x为整数”，∴“x为偶数”是“x为整数”的充分条件，故A正确；
对于B，取a＝1，b＝﹣2，得a＞b，a2＜b2，
∴“a2＞b2”不是“a＞b”的必要条件，故B错误；
对于C，m＞n＞0，∵y＝ln0.2＜0，∴mln0.2＜nln0.2，
∴“m＞n＞0”⇒“ln0.2m＜ln0.2n”，故C正确；
对于D，a3﹣b3＝eb﹣ea等价于a3+ea＝b3+eb，
∵y＝x3+ex在R上是增函数，∴a＝b时，有f（a）＝f（b），
∴a3﹣b3＝eb﹣ea；
反过来，若a3﹣b3＝eb﹣ea，则f（a）＝f（b），e＝b，
∴“a＝b”是“a3﹣b3＝eb﹣ea”的充要条件，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．cs（﹣α）B．sin（α）
C．cs2αD．2
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求csα的值，进而利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
则csα，
故cs（﹣α）＝csα，故A错误；
sin（α）＝﹣csα，故B正确；
cs2α＝2cs2α﹣1＝2×（）2﹣1，故C错误；
tanα2，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝﹣2sin2ωx+sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，则（ ）
A．f（x）的图像关于直线对称
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在内有4个零点
D．f（x）在上的值域为
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题．
【解答】解：，
因为f（x）的最小正周期为π，
所以ω＝1，
故，
对于A，令，
则函数对称轴方程为，
当k＝3时，，故A正确；
对于B，令，解得，k∈Z，
则函数单调递增区间为，
所以f（x）在上单调递增，又，故B错误；
对于C，令f（x）＝0，得，得，
若，则x可取，，，即此时函数有3个零点，故C错误；
对于D，由，得，，
所以，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性，考查转化能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数，其中a＞0，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则当a的值变化时（ ）
A．M+N为定值B．M﹣N为定值C．M+N≥4D．M﹣N＜ln2
【分析】由题意可得f（x）＝a，x∈R，令g（x），x∈R，则有g（x）为奇函数，从而可得M+N＝2（a），再由基本不等式求解即可．
【解答】解：因为a，x∈R，
令g（x），x∈R，
所以g（﹣x）g（x），
所以g（x）为R上的奇函数，
设g（x）max＝K，则g（x）min＝﹣K，
所以M＝f（x）max+g（x）max＝K+a，
N＝f（x）min+g（x）min＝﹣K+a，
所以M+N＝2（a），
又因为a＞0，
所以2（a）≥2×24，当且仅当a＝1时，等号成立．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知函数f（x），则f（lg26）＝ 6 ．
【分析】由lg26≥2，得到f（lg26），由此能求出结果．
【解答】解：函数f（x），
由lg26≥2，则f（lg26）6．
故答案为：6．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知函数，若f（a）+f（a﹣4）＝0，则实数a＝ 2 ．
【分析】根据奇函数定义以及函数的单调性得到方程，求出a＝2．
【解答】解：易知f（x）为奇函数，且在R上单调递增，
由f（a）+f（a﹣4）＝0，可得f（a﹣4）＝﹣f（a）＝f（﹣a），
所以a﹣4＝﹣a，解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在函数求值中的应用，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ中（φ＞0）的最大值是2，则φ的最小值为 ．
【分析】利用两角和差的正弦公式将函数解析式化简变形可得f（x），由题意得22，求解即可得出答案．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ，
＝2sinxcsφ﹣2csxsinφ+4sinxcsφ＝6sinxcsφ﹣2csxsinφ，
，
，
，
其中tanθ，
又函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ中（φ＞0）的最大值是2，即f（x）max＝2，
∴22，解得csφ＝±，
∵φ＞0，∴φ的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的性质和两角和差公式的运用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（5分）若当x∈[a，b]（a＜b）时，函数f（x）是单调函数，且值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“域同区间”若函数f（x）x2+m存在域同区间，则实数m的取值范围为 [﹣2，）∪[0，） ．
【分析】根据已知“域同区间”的定义，我们分函数f（x）x2+m在区间[a，b]上单调递减，单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案．
【解答】解：若a＜b≤0，则f（x）在[a，b]上单调递减，所以，所以，所以（a2﹣b2）＝b﹣a（a﹣b）（a+b），所以a+b＝﹣2，b＝﹣2﹣a，
所以ma2﹣a﹣2（a+1）2，又因为a＜b≤0，
所以a＜﹣2﹣a≤0，所以a∈（﹣2，﹣1），所以m∈[﹣2，），
当0≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调递增，所以，
所以，则关于x的方程了x2﹣x+m＝0有两个不同的非负根，所以，
解得m∈[0，），综上可知，m∈[﹣2，）∪[0，）．
【点评】本题考查函数的单调性和应用，根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）是解答本题的关键，属于中档题．
四、解答题：共70分解答应写出文字说明.证胡过程或演算步骤
17．（10分）已知．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sinαcsα﹣sin2α的值．
【分析】（Ⅰ）由两角差的正切公式求解即可；
（Ⅱ）由同角三角函数的关系求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）已知，
则，
即；
（Ⅱ）sinαcsα﹣sin2α
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题．
18．（12分）已知1与2是三次函数f（x）＝x3+ax+b（a，b∈R）的两个零点．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式ax2﹣bx+1＞0的解集．
【分析】（1）根据题意，由函数的零点可得f（x）＝0的两个根为1、2，则有，解可得a、b的值；
（2）由（1）的结论，代入a，b值，解一元二次不等式即可．
【解答】解：（1）由函数的零点可得f（x）＝0的两个根为1、2，则有，
解得．
（2）由（1）知a＝﹣7，b＝6，代入不等式ax2﹣bx+1＞0，
得﹣7x2﹣6x+1＞0⇒7x2+6x﹣1＜0⇒（7x﹣1）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x．
故不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为（﹣1，）．
【点评】本题考查了函数的零点问题，一元二次不等式的解法，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）．
（Ⅰ）指出f（x）在（0，+∞））上的单调性，并根据单调性的定义证明；
（Ⅱ）设a＝f（），b＝f（lg3），c＝f（lg310），d＝2f（﹣1），试比较a，b，c，d四个数的大小，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用单调性的定义结合指数函数的性质判断即可；
（Ⅱ）结合（1）的结论判断a，c的大小，且a，c都大于1，显然b＜0，然后d是大于零小于1的，据此结论可得．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）（x≠0），
当x＞0时，任取0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
因为0＜x1＜x2，故，0，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）显然lg310，且x＞0时，ex﹣1＞0，
结合（1）可知：f（）＞f（lg310）＞1，即a＞c＞1，
令t0，则et∈（0，1），故，即b＜0，
因为f（﹣1）0，故0＜2f（﹣1）＜20＝1，即0＜d＜1，
故b＜d＜c＜a．
【点评】本题考查利用单调性的定义证明函数的单调性，以及利用单调性、引入中间量的方法比较数的大小，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式以及单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝a在[]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据图象得到函数中A＝2，最小正周期，进而求出，再代入特殊点的坐标求出，得到解析式及递增区间；
（2）求出平移后的解析式g（x）＝2cs（x），转化为y＝a与y＝g（x）的图象上有两个不同的交点，结合g（x）的单调性及g（）＝g（），g（）＝﹣2，得到a的取值范围．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，
由题图得A＝2，T＝2×（）＝4，
∵ω＞0，∴4，解得ω，
∴f（x）＝2cs（x+φ），
将（，﹣2），即（）代入解析式，得f（）＝2cs（φ）＝﹣2，
结合图象得φ＝π+2kπ，k∈Z，
，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ，
∴f（x）＝2cs（），
令2kπ，k∈Z，解得4k，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[4k，4k]，k∈Z．
（2）将f（x）的图象向右平移单位长度，得到y＝2cs[[x）]＝2cs（）的图象，
再将y＝2cs（）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）＝2cs（x）的图象，
∵方程g（x）＝a在[]上有两个不等实根，∴y＝a与y＝g（x）的图象在[]上有两个不同的交点，
∵函数g（x）在[，）单调递减，在[，]上单调递增，
且g（）＝g（），g（）＝﹣2，
∴﹣2＜a，
∴a的取值范围是（﹣2，]．
【点评】本题考查三角函数恒等变换、最小正周期、单调区间等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m，转轮的直径为80m，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要40min．
（1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数H（t）的解析式；
（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度．
参考数据：sin．
【分析】（1）设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，其中0≤t≤40，A＞0，ω＞0，|φ|，根据已知条件，可得A+B＝85，A＝40，再由ω，求得ω的值，然后由H（0）＝5，求出φ的值，即可；
（2）根据已知条件，推得甲从最低点转到点A需要的时间为6min，从而知甲进入座舱的时刻，再计算H（6）的值，得解．
【解答】解：（1）设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，其中0≤t≤40，A＞0，ω＞0，|φ|，
因为摩天轮最高点距离地面85m，所以A+B＝85，
又转轮的直径为80m，即转轮的半径为40m，所以A＝40，B＝45，
因为转一周需要40min，所以ω，
由游客在座舱转到最低点时进入座舱，知H（0）＝85﹣80＝5，所以40sinφ+45＝5，即sinφ＝﹣1，
因为|φ|，所以φ，
所以H（t）＝40sin（t）+45，0≤t≤40．
（2）由题意知，甲从点A转到点C经过的时间为28min，
所以点A转到点B需要的时间为14min，
由转一周需要40min，知甲从最低点转到最高点需要的时间为20min，
所以甲从最低点转到点A需要的时间为20﹣14＝6min，
故甲进入座舱的时刻为10：08，
所以楼房的高度为H（6）＝40sin（•6）+45＝﹣40cs45，
由sin，知cs，
所以H（6）≈﹣4045＝21m．
【点评】本题考查三角函数的实际应用，理解y＝Asin（ωt+φ）+B中各参数的几何意义与实际意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）对于任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＜0，f（1）＝3．
（1）求f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值；
（2）若在区间[1，3]上不存在实数x，满足f（x2）＞f（ax）﹣3，求实数a的取值范围．
【分析】（1）通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值；
（2）利用（1）中的结论，不等式f（x2）＞f（ax）﹣3等价于x2﹣ax+1＞0，在区间[1，3]上无解，即x2﹣ax+1≤0在区间[1，3]上恒成立，利用二次函数性质求解．
【解答】解：（1）由题可知函数f（x）的定义域为R，令x＝y＝0，得f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，
令y＝﹣x，得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，
因为当x＜0时，f（x）＜0，所以f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）+f（﹣x2）＜0，
因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x2）＝﹣f（x2），则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增，
所以f（x）在[﹣4，2]上的最大值为f（2），最小值为f（﹣4），
因为f（1）＝3，令x＝y＝1，得f（2）＝f（1）+f（1）＝6，
因为f（x）为奇函数，所以f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣f（2+2）＝﹣[f（2）+f（2）]＝﹣12，
所以f（x）在[﹣4，2]上的最大值为6，最小值为﹣12．
（2）由（1）知f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，
由f（x2）＞f（ax）﹣3得f（x2）＞f（ax）+f（﹣1），即f（x2）＞f（ax﹣1），
又f（x）在R上单调递增，所以x2＞ax﹣1，即x2﹣ax+1＞0，
因为不存在x∈[1，3]，使得f（x2）＞f（ax）﹣3，所以∀x∈[1，3]，x2﹣ax+1≤0，
因为抛物线y＝x2﹣ax+1开口向上，所以，解得，
所以a的取值范围是．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/4 9:24:13；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2≤x＜3}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}
2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，+∞），sinx＝l+xB．∀x∈（0，+∞），sinx≠1+x
C．∃x∉（0，+∞），sinx＝1+xD．∃x∈（0，+∞），sinx≠l+x
3．（5分）为了得到函数的图像，只需将y＝sin3x的图像（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
5．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（3，+∞）
6．（5分）若，且，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数f（x）＝ax是指数函数，函数g（x）＝x2﹣2ax，则f（x）与g（x）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．（0，+∞）C．D．（0，2]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列判断正确的是（ ）
A．“x为偶数”是“x为整数”的充分条件
B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C．“m＞n＞0”是“ln0.2m＜ln0.2n”的充分条件
D．“a＝b”是“a3﹣b3＝eb﹣ea”的充要条件
（多选）10．（5分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．cs（﹣α）B．sin（α）
C．cs2αD．2
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝﹣2sin2ωx+sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，则（ ）
A．f（x）的图像关于直线对称
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在内有4个零点
D．f（x）在上的值域为
12．（5分）已知函数，其中a＞0，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则当a的值变化时（ ）
A．M+N为定值B．M﹣N为定值C．M+N≥4D．M﹣N＜ln2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知函数f（x），则f（lg26）＝ ．
14．（5分）已知函数，若f（a）+f（a﹣4）＝0，则实数a＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ中（φ＞0）的最大值是2，则φ的最小值为 ．
16．（5分）若当x∈[a，b]（a＜b）时，函数f（x）是单调函数，且值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“域同区间”若函数f（x）x2+m存在域同区间，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：共70分解答应写出文字说明.证胡过程或演算步骤
17．（10分）已知．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sinαcsα﹣sin2α的值．
18．（12分）已知1与2是三次函数f（x）＝x3+ax+b（a，b∈R）的两个零点．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式ax2﹣bx+1＞0的解集．
19．（12分）已知函数f（x）．
（Ⅰ）指出f（x）在（0，+∞））上的单调性，并根据单调性的定义证明；
（Ⅱ）设a＝f（），b＝f（lg3），c＝f（lg310），d＝2f（﹣1），试比较a，b，c，d四个数的大小，并说明理由．
20．（12分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式以及单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝a在[]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
21．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m，转轮的直径为80m，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要40min．
（1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数H（t）的解析式；
（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度．
参考数据：sin．
22．（12分）已知函数f（x）对于任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＜0，f（1）＝3．
（1）求f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值；
（2）若在区间[1，3]上不存在实数x，满足f（x2）＞f（ax）﹣3，求实数a的取值范围．
2022-2023学年河南省安阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2≤x＜3}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}
【分析】先求出B的补集，然后结合集合交集运算可求．
【解答】解：由题意可得∁RB＝{x|x＜2或x≥3}，
则A∩∁RB＝{x|﹣1≤x＜2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，+∞），sinx＝l+xB．∀x∈（0，+∞），sinx≠1+x
C．∃x∉（0，+∞），sinx＝1+xD．∃x∈（0，+∞），sinx≠l+x
【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可判断求解．
【解答】解：因为命题∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x为特称命题，
其否定为全称命题，∀x∈（0，+∞），sinx≠x+1，
故选：B．
【点评】本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3．（5分）为了得到函数的图像，只需将y＝sin3x的图像（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位即可得解．
【解答】解：因为，
所以只需将y＝sin3x的图像上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图像．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象变换，属基础题．
4．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【分析】由a+b＝4，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
【解答】解：因为a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝2，b＝2时，等号成立，故的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（3，+∞）
【分析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣2x﹣3＞0，即x＞3或x＜﹣1．
设t＝x2﹣2x﹣3，则当x＞3时，函数t＝x2﹣2x﹣3单调递增，
当x＜﹣1时，函数t＝x2﹣2x﹣3单调递减．
∵函数y＝lnt，在定义域上为单调递增函数，
∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，
当x＞3时，函数f（x）单调递增，
即函数f（x）的递增区间为（3，+∞）．
当x＜﹣1时，函数f（x）单调递减，
即函数f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的判断，利用复合函数同增异减的原则进行判断即可，注意要先求出函数的定义域．
6．（5分）若，且，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角函数的定义和倍角公式求出结果．
【解答】解：，
由于，所以，
所以，
故．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义，倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
7．（5分）已知函数f（x）＝ax是指数函数，函数g（x）＝x2﹣2ax，则f（x）与g（x）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据指数函数的性质，分a＞1和0＜a＜1两种情况对选项一一判断即可得出结论．
【解答】解：当0＜a＜1时，指数函数f（x）＝ax在R上单调递减，
即选项B、D情况，此时函数g（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，对称轴为x＝a（0＜a＜1），排除B、D选项，
当a＞1时，指数函数f（x）＝ax在R上单调递增，
即选项A、C情况，此时函数g（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，对称轴为x＝a（a＞1），排除A选项，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的图象，二次函数、指数函数的性质，属于中档题．
8．（5分）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．（0，+∞）C．D．（0，2]
【分析】作函数f（x）的大致图像（实线），平移直线y＝k﹣x，数形结合得出实数k的取值范围．
【解答】解：如图，作函数f（x）的大致图像（实线），
平移直线y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，
，
故当时，直线与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）相切；
当k＝0时，直线y＝﹣x经过点（0，0），且与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）有2个不同的交点；
当k＝2时，直线y＝2﹣x经过点（0，2），且与f（x）的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当k∈（0，2]时，f（x）的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列判断正确的是（ ）
A．“x为偶数”是“x为整数”的充分条件
B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C．“m＞n＞0”是“ln0.2m＜ln0.2n”的充分条件
D．“a＝b”是“a3﹣b3＝eb﹣ea”的充要条件
【分析】对于A，“x为偶数”⇒“x为整数；对于B，取a＝1，b＝﹣2，得a＞b，a2＜b2；对于C，“m＞n＞0”⇒“ln0.2m＞ln0.2n”；对于D，“a＝b”⇒“a3﹣b3＝eb﹣ea”，当eb﹣ea＝b﹣a时，设f（x）＝ex﹣x，则问题等价于求与x轴平行的直线y＝t与函数f（x）的图象的交点个数，推导出必要性不成立．
【解答】解：对于A，“x为偶数”⇒“x为整数”，∴“x为偶数”是“x为整数”的充分条件，故A正确；
对于B，取a＝1，b＝﹣2，得a＞b，a2＜b2，
∴“a2＞b2”不是“a＞b”的必要条件，故B错误；
对于C，m＞n＞0，∵y＝ln0.2＜0，∴mln0.2＜nln0.2，
∴“m＞n＞0”⇒“ln0.2m＜ln0.2n”，故C正确；
对于D，a3﹣b3＝eb﹣ea等价于a3+ea＝b3+eb，
∵y＝x3+ex在R上是增函数，∴a＝b时，有f（a）＝f（b），
∴a3﹣b3＝eb﹣ea；
反过来，若a3﹣b3＝eb﹣ea，则f（a）＝f（b），e＝b，
∴“a＝b”是“a3﹣b3＝eb﹣ea”的充要条件，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．cs（﹣α）B．sin（α）
C．cs2αD．2
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求csα的值，进而利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
则csα，
故cs（﹣α）＝csα，故A错误；
sin（α）＝﹣csα，故B正确；
cs2α＝2cs2α﹣1＝2×（）2﹣1，故C错误；
tanα2，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝﹣2sin2ωx+sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，则（ ）
A．f（x）的图像关于直线对称
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在内有4个零点
D．f（x）在上的值域为
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题．
【解答】解：，
因为f（x）的最小正周期为π，
所以ω＝1，
故，
对于A，令，
则函数对称轴方程为，
当k＝3时，，故A正确；
对于B，令，解得，k∈Z，
则函数单调递增区间为，
所以f（x）在上单调递增，又，故B错误；
对于C，令f（x）＝0，得，得，
若，则x可取，，，即此时函数有3个零点，故C错误；
对于D，由，得，，
所以，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性，考查转化能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数，其中a＞0，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则当a的值变化时（ ）
A．M+N为定值B．M﹣N为定值C．M+N≥4D．M﹣N＜ln2
【分析】由题意可得f（x）＝a，x∈R，令g（x），x∈R，则有g（x）为奇函数，从而可得M+N＝2（a），再由基本不等式求解即可．
【解答】解：因为a，x∈R，
令g（x），x∈R，
所以g（﹣x）g（x），
所以g（x）为R上的奇函数，
设g（x）max＝K，则g（x）min＝﹣K，
所以M＝f（x）max+g（x）max＝K+a，
N＝f（x）min+g（x）min＝﹣K+a，
所以M+N＝2（a），
又因为a＞0，
所以2（a）≥2×24，当且仅当a＝1时，等号成立．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知函数f（x），则f（lg26）＝ 6 ．
【分析】由lg26≥2，得到f（lg26），由此能求出结果．
【解答】解：函数f（x），
由lg26≥2，则f（lg26）6．
故答案为：6．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知函数，若f（a）+f（a﹣4）＝0，则实数a＝ 2 ．
【分析】根据奇函数定义以及函数的单调性得到方程，求出a＝2．
【解答】解：易知f（x）为奇函数，且在R上单调递增，
由f（a）+f（a﹣4）＝0，可得f（a﹣4）＝﹣f（a）＝f（﹣a），
所以a﹣4＝﹣a，解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在函数求值中的应用，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ中（φ＞0）的最大值是2，则φ的最小值为 ．
【分析】利用两角和差的正弦公式将函数解析式化简变形可得f（x），由题意得22，求解即可得出答案．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ，
＝2sinxcsφ﹣2csxsinφ+4sinxcsφ＝6sinxcsφ﹣2csxsinφ，
，
，
，
其中tanθ，
又函数f（x）＝2sin（x﹣φ）+4sinxcsφ中（φ＞0）的最大值是2，即f（x）max＝2，
∴22，解得csφ＝±，
∵φ＞0，∴φ的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的性质和两角和差公式的运用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（5分）若当x∈[a，b]（a＜b）时，函数f（x）是单调函数，且值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“域同区间”若函数f（x）x2+m存在域同区间，则实数m的取值范围为 [﹣2，）∪[0，） ．
【分析】根据已知“域同区间”的定义，我们分函数f（x）x2+m在区间[a，b]上单调递减，单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案．
【解答】解：若a＜b≤0，则f（x）在[a，b]上单调递减，所以，所以，所以（a2﹣b2）＝b﹣a（a﹣b）（a+b），所以a+b＝﹣2，b＝﹣2﹣a，
所以ma2﹣a﹣2（a+1）2，又因为a＜b≤0，
所以a＜﹣2﹣a≤0，所以a∈（﹣2，﹣1），所以m∈[﹣2，），
当0≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调递增，所以，
所以，则关于x的方程了x2﹣x+m＝0有两个不同的非负根，所以，
解得m∈[0，），综上可知，m∈[﹣2，）∪[0，）．
【点评】本题考查函数的单调性和应用，根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）是解答本题的关键，属于中档题．
四、解答题：共70分解答应写出文字说明.证胡过程或演算步骤
17．（10分）已知．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sinαcsα﹣sin2α的值．
【分析】（Ⅰ）由两角差的正切公式求解即可；
（Ⅱ）由同角三角函数的关系求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）已知，
则，
即；
（Ⅱ）sinαcsα﹣sin2α
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题．
18．（12分）已知1与2是三次函数f（x）＝x3+ax+b（a，b∈R）的两个零点．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式ax2﹣bx+1＞0的解集．
【分析】（1）根据题意，由函数的零点可得f（x）＝0的两个根为1、2，则有，解可得a、b的值；
（2）由（1）的结论，代入a，b值，解一元二次不等式即可．
【解答】解：（1）由函数的零点可得f（x）＝0的两个根为1、2，则有，
解得．
（2）由（1）知a＝﹣7，b＝6，代入不等式ax2﹣bx+1＞0，
得﹣7x2﹣6x+1＞0⇒7x2+6x﹣1＜0⇒（7x﹣1）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x．
故不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为（﹣1，）．
【点评】本题考查了函数的零点问题，一元二次不等式的解法，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）．
（Ⅰ）指出f（x）在（0，+∞））上的单调性，并根据单调性的定义证明；
（Ⅱ）设a＝f（），b＝f（lg3），c＝f（lg310），d＝2f（﹣1），试比较a，b，c，d四个数的大小，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用单调性的定义结合指数函数的性质判断即可；
（Ⅱ）结合（1）的结论判断a，c的大小，且a，c都大于1，显然b＜0，然后d是大于零小于1的，据此结论可得．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）（x≠0），
当x＞0时，任取0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
因为0＜x1＜x2，故，0，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）显然lg310，且x＞0时，ex﹣1＞0，
结合（1）可知：f（）＞f（lg310）＞1，即a＞c＞1，
令t0，则et∈（0，1），故，即b＜0，
因为f（﹣1）0，故0＜2f（﹣1）＜20＝1，即0＜d＜1，
故b＜d＜c＜a．
【点评】本题考查利用单调性的定义证明函数的单调性，以及利用单调性、引入中间量的方法比较数的大小，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式以及单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝a在[]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据图象得到函数中A＝2，最小正周期，进而求出，再代入特殊点的坐标求出，得到解析式及递增区间；
（2）求出平移后的解析式g（x）＝2cs（x），转化为y＝a与y＝g（x）的图象上有两个不同的交点，结合g（x）的单调性及g（）＝g（），g（）＝﹣2，得到a的取值范围．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，
由题图得A＝2，T＝2×（）＝4，
∵ω＞0，∴4，解得ω，
∴f（x）＝2cs（x+φ），
将（，﹣2），即（）代入解析式，得f（）＝2cs（φ）＝﹣2，
结合图象得φ＝π+2kπ，k∈Z，
，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ，
∴f（x）＝2cs（），
令2kπ，k∈Z，解得4k，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[4k，4k]，k∈Z．
（2）将f（x）的图象向右平移单位长度，得到y＝2cs[[x）]＝2cs（）的图象，
再将y＝2cs（）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）＝2cs（x）的图象，
∵方程g（x）＝a在[]上有两个不等实根，∴y＝a与y＝g（x）的图象在[]上有两个不同的交点，
∵函数g（x）在[，）单调递减，在[，]上单调递增，
且g（）＝g（），g（）＝﹣2，
∴﹣2＜a，
∴a的取值范围是（﹣2，]．
【点评】本题考查三角函数恒等变换、最小正周期、单调区间等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m，转轮的直径为80m，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要40min．
（1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数H（t）的解析式；
（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度．
参考数据：sin．
【分析】（1）设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，其中0≤t≤40，A＞0，ω＞0，|φ|，根据已知条件，可得A+B＝85，A＝40，再由ω，求得ω的值，然后由H（0）＝5，求出φ的值，即可；
（2）根据已知条件，推得甲从最低点转到点A需要的时间为6min，从而知甲进入座舱的时刻，再计算H（6）的值，得解．
【解答】解：（1）设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，其中0≤t≤40，A＞0，ω＞0，|φ|，
因为摩天轮最高点距离地面85m，所以A+B＝85，
又转轮的直径为80m，即转轮的半径为40m，所以A＝40，B＝45，
因为转一周需要40min，所以ω，
由游客在座舱转到最低点时进入座舱，知H（0）＝85﹣80＝5，所以40sinφ+45＝5，即sinφ＝﹣1，
因为|φ|，所以φ，
所以H（t）＝40sin（t）+45，0≤t≤40．
（2）由题意知，甲从点A转到点C经过的时间为28min，
所以点A转到点B需要的时间为14min，
由转一周需要40min，知甲从最低点转到最高点需要的时间为20min，
所以甲从最低点转到点A需要的时间为20﹣14＝6min，
故甲进入座舱的时刻为10：08，
所以楼房的高度为H（6）＝40sin（•6）+45＝﹣40cs45，
由sin，知cs，
所以H（6）≈﹣4045＝21m．
【点评】本题考查三角函数的实际应用，理解y＝Asin（ωt+φ）+B中各参数的几何意义与实际意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）对于任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＜0，f（1）＝3．
（1）求f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值；
（2）若在区间[1，3]上不存在实数x，满足f（x2）＞f（ax）﹣3，求实数a的取值范围．
【分析】（1）通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值；
（2）利用（1）中的结论，不等式f（x2）＞f（ax）﹣3等价于x2﹣ax+1＞0，在区间[1，3]上无解，即x2﹣ax+1≤0在区间[1，3]上恒成立，利用二次函数性质求解．
【解答】解：（1）由题可知函数f（x）的定义域为R，令x＝y＝0，得f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，
令y＝﹣x，得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，
因为当x＜0时，f（x）＜0，所以f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）+f（﹣x2）＜0，
因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x2）＝﹣f（x2），则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增，
所以f（x）在[﹣4，2]上的最大值为f（2），最小值为f（﹣4），
因为f（1）＝3，令x＝y＝1，得f（2）＝f（1）+f（1）＝6，
因为f（x）为奇函数，所以f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣f（2+2）＝﹣[f（2）+f（2）]＝﹣12，
所以f（x）在[﹣4，2]上的最大值为6，最小值为﹣12．
（2）由（1）知f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，
由f（x2）＞f（ax）﹣3得f（x2）＞f（ax）+f（﹣1），即f（x2）＞f（ax﹣1），
又f（x）在R上单调递增，所以x2＞ax﹣1，即x2﹣ax+1＞0，
因为不存在x∈[1，3]，使得f（x2）＞f（ax）﹣3，所以∀x∈[1，3]，x2﹣ax+1≤0，
因为抛物线y＝x2﹣ax+1开口向上，所以，解得，
所以a的取值范围是．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/4 9:24:13；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231
相关试卷
2022-2023学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省安阳市2022-2023学年高一上学期阶段性测试（一）数学试卷： 这是一份河南省安阳市2022-2023学年高一上学期阶段性测试（一）数学试卷，文件包含河南省安阳市2022-2023学年高一上学期阶段性测试一数学试卷公众号一枚试卷君docx、数学高一一联简易答案公众号一枚试卷君pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共6页， 欢迎下载使用。
