河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共26页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则M，P之间的关系为（ ）
A. M=PB.
C. D.
2. 三个数，，的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（ ）

A. B.
C. D.
6. 已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（ ）
A. ①③B. ②③
C. ①④D. ②④
8. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A. 小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．”
B. 小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．”
C. 小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．”
D. 小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若且，则为第二象限角
B
C. 若，则（）
D. 若角的终边在第一象限，则的取值集合为
11. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ）
A. 的值可能是B. 的最小正周期可能是
C. 在区间上单调递减D. 图象的对称轴可能是
12. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B. 的图象过点
C. 函数图象关于直线对称
D. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分.）
13. 若函数，函数在区间内有零点，则实数取值范围为__________.
14. 若，则______.
15. 已知sinαcsα＝，且π<α<，则csα－sinα的值为__．
16. 已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为__________.
四．解答题（共6小题，共70分）
17. 已知为第三象限角，且．
（1）化简并求；
（2）若，求的值．
18. 已知．
（1）求的值；
（2）若，且角的终边与角关于x轴对称，求的值．
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若函数在区间上恰有5个零点，求实数的取值范围.
20. 已知函数（）的最小正周期为．
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上恰有2个零点，求的值．
21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）.
（1）写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）；
（2）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.
22. 已知函数，相邻两条对称轴的距离为．
（1）若为偶函数，设，求的单调递增区间；
（2）若过点，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
2023-2024学年高一下学期3月检测一
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则M，P之间的关系为（ ）
A. M=PB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，根据集合的关系即得.
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
2. 三个数，，的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用三角函数的几何意义判断，再利用对数函数的性质判断，即可判断选项.
【详解】如图，角的终边与单位圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点，过点作单位圆的切线，与的延长线交于点，则，，
，，
，所以，即，则
又，所以
故选：A
3. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】在中，找出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为，则为锐角，
所以，“”“锐角三角形”，
“”“为锐角三角形”，
所以，“”是“为锐角三角形”必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得函数为奇函数，排除C，由零点存在定理可知函数的图象与轴有交点，结合排除法、检验法即可得解.
【详解】因为的定义域为，又，可知函数为奇函数，故排除C选项；
当时，有，，此时，
当时，有，，此时，
所以函数的图象与轴有交点，故排除B，D选项.
而A选项满足上述条件.
故选：A.
5. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.
【详解】由已知得，
则，故扇形的面积为，
由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为．
故选：C.
6. 已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可.
【详解】由得，
解得或，
所以或，
令,,,,,
,,当,时，
取最小值，最小值为.
故选：A.
7. 在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（ ）
A. ①③B. ②③
C. ①④D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式结合对选项一一化简即可得出答案.
【详解】①因为在中，，
所以；
②因为在中，，；
③
；
④
.
故选：B.
8. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求的范围，再结合函数的对称性列式，确定，再分别代入函数的解析数，由对称性求，并验证函数的单调性后，即可求解.
【详解】因为函数在内单调递减，
所以，得，
因为是函数的一条对称轴，
所以，①
因为函数是奇函数，
所以，②，
由①②可得，，
而，所以
当时，，得，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以
当时，，得，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
所以.
故选：B
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A. 小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．”
B. 小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．”
C. 小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．”
D. 小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据任意角的概念一一计算即可；
【详解】解：经过了5 h，时针转过的角度对应的弧度数为，故A正确．
经过了40 min，分针转过的角度对应的弧度数为，故B错误．
时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为，故C正确．
分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了t min，第n次和时针重合，则，得，故，故D正确．
故选：ACD
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若且，则为第二象限角
B.
C. 若，则（）
D. 若角的终边在第一象限，则的取值集合为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数值符号判断象限角得出A选项，根据诱导公式求解B选项，特殊值法确定C选项，根据角的终边再确定半角范围确定函数值符号解决D选项.
【详解】若，则为第二或四象限角，又，则为第一或二象限角或终边为y轴非负半轴，则为第二象限角，
故A选项正确；
，B选项正确；
当时，满足，此时，不满足（），
故C选项错误；
角的终边在第一象限，则角的终边在第一或第三象限，
当角的终边在第一象限时，，
当角的终边在第三象限时，，
故则的取值集合为，D选项正确.
故选：ABD
11. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ）
A. 的值可能是B. 的最小正周期可能是
C. 在区间上单调递减D. 图象的对称轴可能是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项.
【详解】因为函数在区间上有且仅有个对称中心，
且当时，，
所以，，解得，A对；
因为，则函数的最小正周期为，且，B对；
当时，，
因为，则，
所以，函数在区间上单调递减，C对；
，所以，图象的对称轴不可能是，D错.
故选：ABC.
12. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B. 的图象过点
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正切函数所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.
【详解】A：设该函数的最小正周期为，则有，
即，由函数的图象可知：，即，
由图象可知：，
所以，因此本选项不正确；
B：，
所以本选项正确；
C：因为，
，
所以，
所以函数的图象关于直线对称，因此本选项正确；
D：
当时，，
当，
，
当函数在区间上不单调时，
则有，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分.）
13. 若函数，函数在区间内有零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出，令，将问题转化为与在区间上有交点，利用二次函数求出值域，即可得到答案.
【详解】由，则，所以，令，则，
故函数在区间内有零点等价于在区间内有解，
即，令，，则与在区间上有交点，
由，所以，，
所以实数的取值范围为
故答案为：
14. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为，所以
故答案为：
15. 已知sinαcsα＝，且π<α<，则csα－sinα的值为__．
【答案】－
【解析】
【分析】求出csα－sinα平方的值，再判断其正负，开方即得.
【详解】∵(csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝1－2×＝，且π<α<，
∴csα∴csα－sinα＝－＝－．
故答案为：－
16. 已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数单调性可知对称轴在的右侧，可解.
【详解】，
函数为开口向上，对称轴为的抛物线，
若函数在上单调递减，
则，即，又 ，
所以.
故答案为：
四．解答题（共6小题，共70分）
17. 已知为第三象限角，且．
（1）化简并求；
（2）若，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简求得，再代入求值；
（2）先根据诱导公式求得的值，然后根据同角之间的关系求出的值，即可求解.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
因为，所以，
又因为是第三象限角，所以，
所以.
18. 已知．
（1）求的值；
（2）若，且角的终边与角关于x轴对称，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合齐次式问题分析求解；
（2）根据对称性可得，结合齐次式问题分析求解.
【小问1详解】
原式
，
即.
【小问2详解】
因为，且，可知，
则，，
所以
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若函数在区间上恰有5个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解；
（2）由，得到，根据题意，结合正弦函数的性质，得出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数的图象，可得，，
则，所以．
将点代入函数解析式可得，
解得，因为，所以，所以，
令，解得，
所以函数在上的单调递增区间为，．
【小问2详解】
解：因，所以，
当无零点；
当时，有第一个零点，正弦函数周期为，每一个周期内有两个零点，
要满足有5个零点，则，解得，
所以实数的取值范围是．
20. 已知函数（）的最小正周期为．
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上恰有2个零点，求值．
【答案】（1）最大值和最小值分别为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.
（2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.
【小问1详解】
由函数的最小正周期为，得，解得，
当时，，则当，即时，，
当，即时，，
所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.
【小问2详解】
由，得，即，
由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根，
而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减，
且在上的图象关于直线对称，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线线对称，
因此，.
21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）.
（1）写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）；
（2）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.
【答案】（1），
（2）40
【解析】
【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式；
（2）根据正弦方程，求解的关系，通过分类讨论得到的最小值.
【小问1详解】
如图，过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM.
因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则.
又因为，，所以，
则.
，，
即，.
【小问2详解】
不妨设，由题意得，
故，
①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立，
②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为.
综上，的最小值为40.
【点睛】思路点睛：几何中的三角函数模型, 一般应按下面几个步骤进行：一是要认真分析题意，借助已知或画出的示意图，弄清已知量和未知量，二是找出有关的数学模型，找出直角三角形或通过添加辅助线构造有关的直角三角形，把问题转化为求直角三角形的边或角有关问题，三是选择合适的三角函数表示出相应的角或线段，建立起函数模型.
22. 已知函数，相邻两条对称轴的距离为．
（1）若为偶函数，设，求的单调递增区间；
（2）若过点，设，若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由得，进而写出解析式， 根据条件确定解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间；
（2）由题设有，设，结合二次函数性质、分类讨论研究的最值，即可求参数范围.
【小问1详解】
由题设，所以，
由题设知为偶函数，且，所以，
所以，则，
所以 ，，即，，
所以单调递增区间为；
【小问2详解】
因为过点，所以，可得，
所以，又，所以，所以，
对任意的，都有成立，
所以即，
，
由，设，
则有图象是开口向下，对称轴为的抛物线，
当时在上单调递增，，即，
解得，所以；
当时在上单调递减，，即，
解得，所以；
当时，，所以，解得，
所以，
综上所述：实数的取值范围为.