河南省安阳市2019届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题

河南省安阳市2019届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合则为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题，先分别求得集合A、B，再求其交集即可.

【详解】由题，因为集合

集合

所以为

故选C

【点睛】本题考查的集合的交集，属于基础题.

2. 已知复数：，则z在复平面内对应的点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．

【详解】，

故z在复平面内对应的点位于第二象限，

故选B．

【点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．

3. 已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（　　）

A. 85 B. 84 C. 83 D. 81

【答案】A

【解析】

【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．

【详解】由一组数据的茎叶图得：

该组数据的平均数为：

．

故选A．

【点睛】本题考查平均数求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4. 已知向量，，，则＝（　　）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】将两边平方可得．

【详解】∵，∴，∴，

∴

故选B．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．

5. 已知抛物线的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出M坐标，得到p，然后求解|MF|．

【详解】抛物线的焦点为，

线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于，两点，

若，可得：，可得，

所以，

故选C．

【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

6. 设，，,则a，b，c的大小关系是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论．

【详解】因为在上是为增函数，且，

所以，即．

，而．

所以．

故选B．

【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．

7. 的最小值为（　　）

A. 18 B. 16 C. 8 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用三角函数关系式变换和基本不等式的应用求出结果．

【详解】

，

故选B．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

8. 在的展开式中，x的系数为（　　）

A. 32 B. ﹣40 C. ﹣80 D. 80

【答案】C

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．

【详解】的展开式的通项为

，

令，得r＝1．

∴x的系数为，

故选C．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．

9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列区间使函数单调递减的是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可．

【详解】通过图象可知， 即

所以

由图象可知，当时，

解得

所以

令

解得

当k=0时，函数单调递减区间为，即

所以选D

【点睛】本题考查了正弦函数图象与性质的综合应用，根据部分函数图象求解析式，运用整体法求单调区间，属于基础题．

10. 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则h＝（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且底面是等腰直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，画出其直观图，将其补成直棱柱，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h.

【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：

∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，知棱和底面垂直，

可以将该棱锥补成直三棱柱，如图所示：

可知其球心在上下底面外心连线的中点处，

因为底面为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，所以GH的中点即为其外接球的球心，

因为该几何体的外接球体积为，

所以外接球的体积,，

所以有，

解得．

故选C．

【点睛】本题考查了由三视图求几何体外接球的问题，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状，根据有一条侧棱和底面垂直，将棱锥补成直棱柱来求解，根据题中所给的体积，求得外接球的半径，构造直角三角形，从而求得棱锥的高.

11. 若函数仅在处有极值，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号．

【详解】由题意，

要保证函数仅在x＝0处有极值，必须满足在x＝0两侧异号，

所以要恒成立，

由判别式有：，∴

∴，

∴a的取值范围是

故选A．

【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

12. 已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（　　）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】求得圆心可得焦点，，由渐近线方程，可得a，b的方程，解得，设，运用双曲线的定义，化简所求式子，利用基本不等式的性质即可得出最小值时所求值．

【详解】由圆Ω：的圆心（2，0），可得焦点，，

双曲线C的渐近线方程为，可得，

且，

解得，，

设，可得，

，当且仅当时取等号，

可得．

故选B．

【点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 在区间上随机取一个数x，则的概率为_____．

【答案】

【解析】

【分析】由条件知，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论．

【详解】在区间之间随机抽取一个数x，则，

由得，

∴根据几何概型的概率公式可知满足的概率为，

故答案为．

【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本题的关键，比较基础．

14. 已知x，y满足约束条件则的最小值是_____．

【答案】-7

【解析】

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求z的最小值．

【详解】作出x，y满足约束条件

对应的平面区域如图：

，得，

平移直线，由图象可知当直线经过点A时，

直线的截距最大，此时z最小．

由解得，

此时z的最小值为．

故答案为﹣7．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．

15. 在正方体中，O是BD的中点，点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），异面直线与所成的角为，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为2，

则A1（2，0，2），D（0，0，0），设P（a，a，0），，C1（0，2，2），

，，

∵异面直线A1D与C1P所成的角为θ，

∴

，

∵，∴，，，

所以，

∴，

故答案为．

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

16. 如图，平面四边形MNPQ中，，，，，则NP的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】设，，由正弦定理可得，在中，设，由余弦定理得，根据二次函数的性质即可求出最小值．

【详解】设，，

则在中，,，

由正弦定理可得，则．

在中，设，，

由余弦定理得

，

当时，NP最小，则

故答案为

【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于中档题．

三、解答题：共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知数列为等差数列，，且满足，数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

【答案】（I）； （Ⅱ）.

【解析】

【分析】（I）由等差数列的性质可得：，解得．利用等比数列的通项公式即可得出．

（Ⅱ），利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

【详解】（I）由等差数列的性质可得：，

解得．

数列满足，

可得：数列是等比数列，公比为2．

∵．∴，解得．

∴．

（Ⅱ）若，

∴数列的前n项和，

，

∴，

可得．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，侧面是菱形，，点D，E分别为，AC的中点．

（1）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（I）见解析； （Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）取的中点F，证得AEFD为平行四边形，进而得AD，EF平行，得证；

（Ⅱ）利用平行把转化为，只需作于M，可证得平面，从而确定为所求角，结合正弦，余弦定理不难求解．

【详解】（1）证明：取的中点F，连接FD，FE，

∵D为的中点，∴，

又E为AC中点，∴，∴，，

∴四边形AEFD为平行四边形，∴，

又AD⊄平面，EF⊂平面，∴AD∥平面；

（2）在三棱柱中，，∴只需求与平面所成角，

在平面内作于M，

∵平面平面ABC，，∴平面ACC1A1，∴，

∵，∴，∴平面，∴即为与平面所成角，

∵，，∴，

∵侧面是菱形，，∴，CE＝，∠ECC1＝120°，

由余弦定理可得，

再由正弦定理得，得．

故直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

此题考查了线面平行，直线与平面所成角等，难度适中．

19. 为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城市准备出台新的交通限行政策，为了了解市民对“汽车限行”的态度，在当地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如表：

（Ⅰ）求出表格中n的值，并完成参与调查的市民年龄的频率分布直方图；

（Ⅱ）从这100人中任选1人，若这个人赞成汽车限行，求其年龄在[35，45）的概率；

（Ⅲ）若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成汽车限行进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取3人参加座谈会，记这3人中赞成汽车限行的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

【答案】（I）见解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）由样本容量求出n的值，填写频率分布表，画出频率分布直方图；

（Ⅱ）利用条件概率公式计算所求的概率值；

（Ⅲ）利用分层抽样求出抽取的人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值．

【详解】（Ⅰ）由题意知，，填写频率分布表如下；

画出频率分布直方图如下

（Ⅱ）从这100人中任选1人，则这个人赞成汽车限行，且年龄在的概率为；

（Ⅲ）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取（人），不赞成的抽取4人，

再从这10人中随机抽取3人，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3；

计算，，

，；

∴X的分布列为：

数学期望值为．

【点睛】本题考查了频率分布直方图与分层抽样应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．

20. 设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值．

【答案】（I）； （Ⅱ）2.

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）对直线PQ与直线MN的斜率是否都存在分两种情况讨论．

①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积；

②当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围．结合①②得出四边形PMQN面积的最大值．

【详解】（Ⅰ）设椭圆E的焦距为，则有，解得，∴，

因此，椭圆E的方程为；

（Ⅱ）如下图所示，椭圆E的上焦点为．

①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，，

此时，四边形PMQN的面积为；

②当直线PQ、MN斜率都存在时，设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为，设点、，

将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得，

，由韦达定理可得，，

∴

，

同理可得，

所以，四边形PMQN的面积为 ，

令，则，

所以，

∵，所以，，由二次函数的基本性质可知，当，

所以，．

综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2．

【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题．

21. 已知函数．

（Ⅰ）若函数在点处的切线斜率为，求a的值；

（Ⅱ）若函数，且在上单调递增，求a的取值范围；

（Ⅲ）若，且，求证：．

【答案】（I）； （Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据，求出a的值即可；

（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可；

（Ⅲ）问题转化为证明，设，根据函数的单调性证明即可．

【详解】（Ⅰ），

故，解得：；

（Ⅱ），，

由函数在递增，得在恒成立，

即，，故，

由，当且仅当时取最小值2，

故，解得：，

即；

（Ⅲ）要证明，

只需证明，即证，

设，

由（Ⅱ）得，在（递增，而，

故，即，

故．

【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，的极坐标为.

（1）写出曲线的直角坐标方程及的直角坐标；

（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.

【答案】（1），；（2）3

【解析】

【详解】分析：（1）由可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程及点M的直角坐标．

（2）由于M点在直线，因此可知过M点的的标准参数方程（为参数），代入曲线C的直角坐标方程，利用可得结论．

详解：（1）曲线的极坐标方程为，

将代入可得直角坐标方程.

的直角坐标为.

（2）联立方程与，可得

即，

所以

23. 已知函数.

（1）解不等式；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】分析：（1）利用绝对值的定义分类去绝对值符号后，解不等式，最后求并集可得原不等式的解集．

（2）可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，再解对应的不等式得的取值范围．

详解：（1），

解或或得，所以解集为.

（2）由（1）知在时取得最小值，

所以，解之得

所以的取值范围是.

点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为为含绝对值的不等式，分类求解．