2023-2024学年广东省惠州市惠东县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠东县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. 12B. 18C. 5D. 0.4
2.下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是( )
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 3，5，7D. 1，2， 3
3.如图，在矩形ABCD中，连接AC、BD相交于点O，若AC=10，则BD的长为( )
A. 5
B. 10
C. 20
D. 不确定
4.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A. OA=OC，OB=ODB. AB=CD，AO=CO
C. AB=CD，AD=BCD. ∠BAD=∠BCD，AB/​/CD
5.点P(3,−4)到原点的距离为( )
A. 5B. 4C. 3D. −3
6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5m，则小巷的宽为( )
A. 2.4mB. 2mC. 2.5mD. 2.7m
7.如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为( )
A. 2B. 1+ 2C. 2+ 2D. 3− 2
8.如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A. 12
B. 16
C. 25
D. 38
9.已知实数x，y满足 x−1+|3x+y−1|=0，则 5x+y2的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是( )
A. 3B. 4C. 4.8D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.使得二次根式 x−2在实数范围内有意义的x的取值范围是______．
12.计算： 8− 2= ______．
13.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是______．
14.如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=5，则菱形ABCD的周长为______．
15.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=4，则AC的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算： 13× 9− 27+( 3−2)2+ 12．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
18.(本小题8分)
如图，一块湿地边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A，B两点间距离.(结果保留整数)
19.(本小题9分)
已知a= 5+2，b= 5−2，求下列代数式的值．
(1)a2+b2+2ab；
(2)a2−b2．
20.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE=CF．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若DB=10，AB=13，求BE的长．
21.(本小题9分)
小欣与同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小欣想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，小欣借助此图求出△ABC的面积．
(1)在图1中，小欣所画的△ABC的三边长分别是AB=______，BC=______，AC=______，△ABC的面积为______．
(2)已知在△ABC中，AB= 10，BC=2 10,AC=5 2，请你根据小欣的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
22.(本小题12分)
著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+(a−b)2，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH=0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
(3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法.他是这样思考的，在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=10，BC=17，AB=21，设AH=x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．
23.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=32cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
(1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP= ______，BQ= ______；
(2)当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？
(3)四边形ABQP有可能是正方形吗？若可能，求出此时点P的运动时长；若不可能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 18= 9×2=3 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、 5是最简二次根式；
D、 0.4= 25= 105，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：C．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：A、32+42=52，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122=132，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、32+52≠72，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、12+( 3)2=22，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．因此，只需要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，
又∵AC=10，
∴BD=AC=10，
故选：B．
根据矩形的对角线相等可得BD=AC，即可．
本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，AO=CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD/​/BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：OP= (3−0)2+(−4−0)2=5，
即点P(3,−4)到原点的距离为5．
故选：A．
直接根据两点间的距离公式求解．
本题考查了两点间的距离公式：设有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则这两点间的距离为AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2.求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
6.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 2．42+0．72=2.5(m)，
∴A′B=AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD= A′B2−A′D2= 2．52−1．52=2(m)，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7(m)，
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为： 12+12= 2，
则点A表示的数为1+ 2．
故答案为：B．
先根据勾股定理的公式算出正方形的对角线的长即可解答．
本题主要考查勾股定理、在数轴上表示实数等知识点，熟记勾股定理的公式是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由勾股定理得正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=32+42+22+32=38．
故选：D．
由勾股定理得正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积即可．
本题主要考查了面积的计算，解题关键是勾股定理的正确应用．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得，x−1=0，3x+y−1=0，
解得x=1，y=−2，
∴ 5x+y2= 5×1+(−2)2=3，
故选：C．
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA=∠PFA=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
当AP⊥BC时，AP取得最小值，
此时，S△ABC=12BC⋅AP=12AB⋅AC，
∴BC⋅AP=AB⋅AC，
∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC= AB2+AC2= 62+82=10，
∴10AP=6×8，
∴AP=4.8，
∴EF的最小值是4.8，
故选：C．
连接AP，先证明四边形AEPF是矩形，得EF=AP，当AP⊥BC时，AP取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出AP的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】解：∵二次根式 x−2在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】 2
【解析】解： 8− 2
= 4× 2− 2
=2 2− 2
= 2，
故答案为： 2．
根据二次根式的减法法则进行计算即可．
本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13.【答案】17m
【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= 132−52=12，
因为地毯铺满楼梯时，其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17m．
故答案为：17m．
当地毯铺满楼梯时，其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
14.【答案】40
【解析】解：∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF=12BD，
∵EF=5，
∴BD=10，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC，
∵∠C=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=BD=10，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×10=40，
故答案为：40．
由三角形的中位线定理，求出BD=10；由∠C=60°，根据菱形的性质，得△ABD为等边三角形，从而求出菱形ABCD的边长，再乘以4即可得出菱形ABCD的周长．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定及菱形的周长计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15.【答案】215
【解析】解：设AC=x，
∴AB=10−x，
根据勾股定理得：x2+42=(10−x)2，
解得：x=215，
故AC的长为215，
故答案为：215．
设AC=x，直接利用已知表示出AB的长，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
16.【答案】解：原式= 33×3−3 3+3−4 3+4+2 3
= 3−3 3+7−4 3+2 3
=7−4 3．
【解析】分别化简二次根式，然后先算乘方，再算乘法，最后合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，掌握利用二次根式的性质进行化简及二次根式混合运算的计算法则是解题关键．
17.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴AB/​/CD．
∵∠3=∠4，
∴AD/​/BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】由∠1=∠2可知AB/​/CD，由∠3=∠4，可知：AD//BC，从而得出四边形ABCD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
18.【答案】解：∵CB=60m，AC=20m，∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，
∴AB= BC2−AC2= 602−202=40 2≈57(m)．
答：A，B两点间距离约为57m．
【解析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边．
19.【答案】解：(1)原式=(a+b)2
=( 5+2+ 5−2)2
=(2 5)2
=20；
(2)原式=(a+b)(a−b)
=[( 5+2)+( 5−2)][( 5+2)−( 5−2)]
=( 5+2+ 5−2)( 5+2− 5+2)
=2 5×4
=8 5．
【解析】(1)利用完全平方公式，把所求代数式进行分解因式，然后把a，b的值代入进行计算即可；
(2)利用平方差公式，把所求代数式分解因式，然后把a，b的值代入进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△CBF中，
∠A=∠CAE=CF∠AEB=∠CFB，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=13，
设AE=x，则DE=13−x，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠DEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△BDE中，
由勾股定理得：BE2=AB2−AE2=DB2−DE2，
即132−x2=102−(13−x)2，
解得：x=11913，
∴AE=11913，
∴BE= AB2−AE2= 132−(11913)2=12013，
即BE的长为12013．
【解析】(1)证△ABE≌△CBF(ASA)，得AB=CB，再由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得AD=AB=13，设AE=x，则DE=13−x，然后在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解得x=11913，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】(1)5 17 10 132
(2)10
【解析】解：(1)AB= 32+42=5，BC= 12+42= 17，AC= 12+32= 10．
S△ABC=4×4−12×3×4−12×1×4−12×3×1=132．
故答案为5， 17， 10，132
(2)△ABC如图所示，S△ABC=6×5−12×3×1−12×5×5−12×2×6=10．
(1)利用勾股定理求线段的长，利用分割法求三角形面积即可．
(2)利用数形结合的思想画出图形即可解决问题．
本题考查作图−应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，
∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2=c2；
(2)设AB=AC=x千米，
∴AH=AB−BH=(x−0.6)千米，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2=CH2+AH2，
∴x2=0.82+(x−0.6)2，
解得x≈0.83，
即CA≈0.83千米，
∴CA−CH≈0.83−0.8≈0.03(千米)，
答：新路CH比原路CA少约0.03千米；
(3)∵AH=x，
∴BH=AB−AH=21−x，
∵CH⊥AB，AC=10，BC=17，AB=21，
根据勾股定理：
在Rt△ACH中，CH2=CA2−AH2，
在Rt△BCH中，CH2=CB2−BH2，
∴CA2−AH2=CB2−BH2，
即102−x2=172−(21−x)2，
解得：x=6，
∴AH=6，
∴CH= CA2−AH2= 102−62=8．
【解析】(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
(2)设AB=AC=x千米，则AH=(x−0.6)千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
(3)在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2−AH2=CB2−BH2，列出方程求解即可得到结果．
此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
23.【答案】t 32−3t
【解析】解：(1)∵动点P从A开始沿AD边向D 以1cm/s的速度运动，
∴AP=t×1=t，
∵Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，BC=32cm，
∴BQ=BC−CQ=32−3t，
故答案为：t，32−3t；
(2)由题意可得：PD=AD−AP=24−t，QC=3t，
∵AD/​/BC，
∴PD/​/QC，
设当运动时间为t秒时，
∴PD=QC，
此时四边形PQCD为平行四边形．
由PD=QC得，24−t=3t，
解得t=6，
∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．
(3)四边形ABQP有可能是正方形，
∵AD/​/BC，
∴AP/​/BQ，
设当运动时间t秒时AP=BQ，
四边形ABQP为平行四边形．
由AP=BQ得：t=32−3t，
解得：t=8，即AP=8，
∴AB=AP，
∴平行四边形ABQP为菱形，
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABQP为矩形，
∴平行四边形ABQP为正方形，
∴当运动时间为8秒时，四边形ABQP为正方形．
(1)根据题意可直接得出；
(2)由在梯形ABCD中，AD//BC，可得当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即可得方程：24−t=3t，解此方程即可求得答案；
(3)由在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=32−3t，解此方程即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质以及正方形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．