广东省惠州市惠东县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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共4页．考试时间120分钟，满分120分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、=，故不是最简二次根式；
B、=，故不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、，故不是最简二次根式；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是 （ ）
A. 3，4，5B. 5，， C. 3，5，7D. 1，2，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．因此，只需要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
3. 如图，在矩形中，连接相交于点O，若，则的长为（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等可得，即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵
∴，
故选B．
【点睛】本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．
4. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BCD. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
5. 点到原点的距离为（ ）
A. 5B. 4C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标两点的距离公式，根据勾股定理即可求得．
【详解】解：∵，
∴由勾股定理可知，，
即点到原点的距离为5．
故选：A．
6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意可知，是直角三角形，
中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．
7. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理的公式算出正方形的对角线的长即可解答．
【详解】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为：，
则点A表示的数为．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查勾股定理、在数轴上表示实数等知识点，熟记勾股定理的公式是解题的关键．
8. 如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A. 12B. 16C. 25D. 38
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为．
【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，
由勾股定理得：，，
∴．
故最大正方形E的面积是．
故选：D．
9. 已知实数，满足，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 4.8D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质等知识点，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
如图：连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即的值最小；再运用勾股定理求出，然后运用等面积法求得时的的值即可解答．
【详解】解：如图所示，连接．
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得当时，线段的值最小，即的值最小，
∵，，，
∴，
∴,即，解得：
∴线段的最小值是．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
12. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】2-=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
13. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．
【答案】17m
【解析】
【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根据勾股定理即可求得AC的值，根据题意求地毯长度即求得AC+BC即可．
【详解】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，
在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边，
根据勾股定理可得AC==12m，
故地毯长度为AC+BC=12+5=17m，
故答案为：17m．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求AC+BC.
14. 如图，在菱形ABCD中，∠C＝60º，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为____________．

【答案】40
【解析】
【分析】先根据菱形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】四边形ABCD是菱形，
点E、F分别是AB、AD的中点
又
是等边三角形
则菱形ABCD的周长为
故答案为：40．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
15. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长，______尺．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：．
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 计算：．
【答案】7﹣4
【解析】
【分析】分别化简二次根式，然后先算乘方，再算乘法，最后合并同类二次根式．
【详解】解：原式＝
＝
＝7﹣4．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握利用二次根式的性质进行化简及二次根式混合运算的计算法则是解题关键．
17. 如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据分别得到，，根据平行四边形的定义即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义是解题的关键．
18. 如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键．
根据题意直接运用勾股定理进行解答即可．
【详解】解：在中，.
根据勾股定理得：．
答：A,B两点间的距离为．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）20 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式的混合运算、运用乘法公式进行因式分解等知识点，灵活掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先求出，然后对原式进行因式分解后代入计算即可；
（2）先求出、，然后对原式进行因式分解后代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴．
20. 如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．

（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明得，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，设，则，然后在和中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小明想到借助正方形网格解决问愿．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．

（1）操作发现：小明在图1中两出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他借助此图求出了的面积．
在图1中，小明所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______．
（2）解决问题：已知中，，，，请你根据小明的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积．
【答案】（1）5，，，
（2）画图见解析，10
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据进行计算即可得到答案；
（2）结合勾股定理画出，再用割补法求出面积即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得：
，，，
，
故答案：5，，，；
【小问2详解】
解：作如图所示：
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，利用网格图求三角形面积，熟练掌握勾股定理以及利用网格求三角形面积的求法是解题的关键．
五、解答题（二）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程．
【答案】（1）见解析，
（2），
（3），过程见解析．
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设，则，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果．
【小问1详解】
解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
【小问2详解】
解：设，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
【小问3详解】
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．
．
23. 如图，在四边形中，，，，动点P从A开始沿边向D以的速度运动；Q从点C开始沿边向B以的速度运动 P 、Q分别从点A 、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长： ， ；
（2）当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？
（3）四边形有可能是正方形吗？若可能，求出此时点P的运动时长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）t ；；
（2）当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形；
（3）可能，当运动时间为8秒时，四边形为正方形．
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及正方形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）根据题意可直接得出；
（2）由在梯形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（3）由在梯形中，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵动点P从A开始沿边向D 以的速度运动，
，
∵ Q从点C开始沿边向B以的速度运动，，
∴，
故答案为：t, ；
【小问2详解】
解：由题意可得：，
，
，
设当运动时间为t秒时,
，
此时四边形为平行四边形．
由得，，
解得，
∴当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形．
【小问3详解】
解：四边形有可能是正方形，
，
，
设当运动时间t秒时，
四边形平行四边形．
由得：，
解得：，即，
，
∴平行四边形为菱形，
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴平行四边形为正方形，
∴当运动时间为8秒时，四边形为正方形．