2022-2023学年广东省惠州市惠东县第五片区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠东县第五片区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  在平行四边形中，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在菱形中，、分别是、的中点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，且
C. ，且
D. ，

8.  如图，数轴上点表示的实数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，矩形中，，是的中点，，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知菱形的两条对角线分别为和，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  化简的结果是          ．

12.  在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．

13.  如图，在▱中，，对角线与相交于点，，则的周长为          ．

 

14.  如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于        ．

15.  如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：
；
四边形的周长为；
的最小值为；
．
其中正确结论的序号为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，▱的对角线和交于点，、分别是、上的点且求证：．

18.  本小题分
如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，，，，又已知求这块土地的面积．

19.  本小题分
已知，．
求的值；
求的值．

20.  本小题分
如图，中，，、分别为、的中点，连接，过作交的延长线于．

求证：；
若，求的长．

21.  本小题分
如图，在矩形中，是对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
求证：四边形为平行四边形；
若且，，求的长．

22.  本小题分
阅读材料：
一在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．
那么我们称这个过程为分式的分母有理化．
二如果我们能找到两个实数，使且，
这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”
例如：．
根据阅读材料解决下列问题：
化简：；
化简“和谐二次根式”．
______ ；
______ ．
已知，，求的值．

23.  本小题分
如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接过点作，交射线点，以、为邻边作矩形连接．
连接，求证：．
求证：矩形是正方形．
探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据最简二次根式的定义可知是最简二次根式，故该选项符合题意．
B.，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
C.被开方数中含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
D.，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开的尽方的因数或因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，
故符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，
故不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，
故不符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，
故不符合题意，
故选：．
利用勾股定理的逆定理逐一进行判断即可得到答案．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握运用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法：先确定最长边，分别计算最长边平方和另两边的平方和；比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】分析
根据三角形的中位线定理得出，进而利用菱形的性质解答即可．
本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的四边相等解答．
详解
解：、分别是、的中点，
，
四边形为菱形，
，
故选B．
 

7.【答案】 

【解析】解：、由，，能判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、不能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、依据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定逐个进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，难度适中．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
所以点表示的数为：，
故选：．
先根据勾股定理求出斜边，再根据向右就用加法求解．
本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
故选：．
由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，
四边形是菱形，
，，
即在上，
，
，
为中点，
为中点，
为中点，四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
故选：．
作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，连接，求出、，根据勾股定理求出长，证出，即可得出答案．
本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的位置．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：点坐标为，
点到原点的距离为，
故答案为：．
根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理，两点之间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分，属于基础题．
根据平行四边形对角线互相平分，求出的长，即可解决问题．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，
，
菱形的面积为：，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，，在中，根据勾股定理可求得的长，得出的长，最后根据菱形的面积公式计算即可．
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

正方形的边长为，是对角线上一点，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，故正确；
由同理得：是等腰直角三角形，
，

四边形为矩形，
四边形的周长，故正确；
四边形为矩形，
，
由四边形为正方形，所在直线为四边形的对称轴，可得，
，
当最小时，最小，此时，
，
的最小值等于，故错误；
延长交于，延长交于，
，，
，

平分，，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
综上所述，正确，
故答案为：．
先证是等腰直角三角形，则，即可判断；
先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断；
由四边形为正方形，所在直线为四边形的对称轴，可得，根据矩形对角线相等得，当时，垂线段最短，即可判断；
证明≌，得到，进而求解．
本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识；充分利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的乘法及二次根式的化简，再计算加减法即可．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，再判断四边形是平行四边形，即可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
 

18.【答案】解：连接，
，
，
则，
因此，
平方米，
答：这块土地的面积为平方米． 

【解析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，




；
，，
，




． 

【解析】先求出，，再根据进行求解即可；
先求出，再根据进行求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】证明：、分别是、的中点

又
四边形为平行四边形
．

，

又为中点

在中，


四边形是平行四边形，
． 

【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
得到为等边三角形，可得，在中求出，即可解决问题；
 

21.【答案】证明：在矩形中，为对角线的中点，
，．
，．
在和中，
．
≌
．
四边形为平行四边形；
解：在矩形中，，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形．

在中，根据勾股定理得，

即
解得：． 

【解析】先根据矩形的性质和平行线的性质可得，，再证出≌，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；
先根据菱形的判定可得四边形为菱形，易得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．
 

22.【答案】  

【解析】解：

；
；
；
，，
．
根据材料一中的方法进行分母有理化即可；
根据材料二中的方法进行化简即可；
先分母有理化，然后代入求解即可．
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．
 

23.【答案】证明：连接，

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
证明：过作于点，过作于点，如图所示：

正方形
，

且，
四边形为正方形
四边形是矩形，
，
，
又，
在和中，
，
≌，
，
矩形为正方形，
解：的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，

，
 是定值． 

【解析】根据正方形性质得出，，即可证明结论；
作出辅助线，得到，然后判断，得到≌，则有即可；
同的方法证出≌得到，得出即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．