湖北省武汉市武昌区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴a+2≥0，
∴a≥−2，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意，
B、是最简二次根式，符合题意，
C、，不是最简二次根式，不符合题意，
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、与不是同类二次根式不能合并，故本选项错误；
B、，本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误.
故选B.
4. 用下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A. 9，16，25B. 5，4，3C. 0.6，0.8，1D. 5，13，12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解答．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：A．
5. 如图，一根长为8米的竖直木杆在离地面3米的处折断，则木杆顶点落在地面离木杆底端处的距离的长为（ ）
A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理解直角三角形，正确理解题意进行计算是解题关键．
【详解】解：由题意可知，米，米，
则米，
在中，米，
故选：C．
6. 如图，在中，已知，，若平分交边于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得，根据、的值，求出的长．在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质求解是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7. 已知，菱形的周长为，其中一条对角线长为，则菱形的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，可求，，由菱形的面积为对角线乘积的一半，即可求解．掌握性质及面积求法是解题的关键．
【详解】解：如图，
四边形是菱形，且周长是，，
，，，，
在中，，
，
菱形的面积：，
故选：D．
8. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及等边三角形的判定及性质，过点作于点，可知在中，，取中点，连接，可证得为等边三角形，可知，则．熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底，
∴平行四边形的高是矩形宽的一半．
在中，，
取中点，连接，则，
∴，则为等边三角形，
∴，则．
故选：A．
9. 如图，点为中边中点，为中点，交于，若，，，则的长为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点D作交于点G，证明，得到，证明，由相似三角形的性质得到，，延长到点H，令，证明四边形是平行四边形，得到，，过点H作于点M，根据勾股定理得到，过点A作于点N，证明，得到，由三线合一得到是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作交于点G，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
延长到点H，令，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
过点H作于点M，
则，，
∴，
解得：
过点A作于点N，
则，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查中线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，综合性较强，注意在有中线的题目里，倍长中线是常见的辅助线作法．
10. 已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理可得，即可证得，延长至，使得，连接，，过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，可证，得，则，则，由，知，可知，则，得，可证，在上取，可知，得，，则，过点作交于，则为等腰直角三角形，易证，再结合，，得，可证得，可得，类比此法，在取，则为等腰直角三角形，可证得，进而可得．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，则，故①正确；
延长至，使得，连接，，
过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，
∴，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，则，
∴为等腰直角三角，则，
又∵，
∴，
∴，则，
即：，
∴，故③正确；
由上可知，则，
上取，可知，
∴，，则，
过点作交于，则为等腰直角三角形，
∴，，则，
又∵，，
∴，
∴，则，
∴，故②正确；
在取，则为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：__________，__________，__________.
【答案】 ①. ②. ③. ##
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的化简求值， 根据二次根式的性质和分母有理化法则分别计算即可.
【详解】解：，，
故答案为：，，
12. 已知是正整数，是整数，请写一个符合题意的的值__________.
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式．根据二次根式的意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可．
【详解】解：∵是整数，
∴符合题意，
故答案是：2（答案不唯一）．
13. 如图，在正方形外侧作等边，连接，，则为__________度．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质及等边三角形的性质，由正方形的性质可得，，，由等边三角形的性质得，，进而求得，的度数即可．掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，，
则，
在等边中，，，
则，，
∴，
∴，
故答案为：30．
14. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，米，米，则，两点的距离是__________米.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线．过点作于点，先求出，再求出的长度，最后根据勾股定理分别求出，即可求解．
详解】如图所示：过点作于点，则，
，
，
∵米，
米，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴米．
故答案为：．
15. 已知，则代数式的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算和求代数式的值，代数式变形后，代入字母的值，按照二次根式的运算法则和顺序进行计算即可.
【详解】解：当时，
故答案为：
16. 如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，若，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解，
本题考查了，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间，线段最短，解题的关键是：构造全等三角形得到．
【详解】解：延长到点，使，延长到点，使，延长到点，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴的最小值为的长度，
在中，，，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算．
（1）先化简各式，再进行计算即可；
（2）利用除法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
18. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘法计算法则求解即可；
（3）根据（1）（2）所求，利用整体代入法求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴．
19. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请你添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，熟练掌握相关图形的性质及判定方法是解决问题的关键．
（1）连接交于，根据平行四边形的性质可得，，进而可得，即可证明结论；
（2）添加条件为：，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解．
【小问1详解】
证明：连接交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，即：，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
添加条件为：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形为菱形．
20. 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的）
（1）此时，牵狗绳的长为_________米；
（2）子涵将手上的小球扔至3.2米远的处，若她站着不动，将牵狗绳放长至3.5米，则小狗能否将小球捡回来?请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来）
【答案】（1）2.6 （2）小狗能将小球捡回来，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的判定及性质，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．
（1）过点作，由题意可知四边形是矩形，得米，米，则米，在中，由勾股定理即可求解；
（2）当小狗跑至时，米，过点作，由题意可知四边形是矩形，得米，米，则米，在 Rt△BNF 中， BN=√11.24 米，比较于3.5的大小即可．
【小问1详解】
解：过点作，由题意可知四边形是矩形，
∴米，米，则米，
在中，米，
故答案为：2.6；
【小问2详解】
小狗能将小球捡回来，理由如下：
当小狗跑至时，米，过点作，由题意可知四边形是矩形，
∴米，米，则米，
在中，米，
而，
∵
∴小狗能将小球捡回来．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，，，都是格点，是上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

（1）如图1，请你在内部作出格点，使，延长与正方形的一边交于点，请在上找点，使值最小；
（2）如图2，先画点，使四边形为平行四边形，再画出的中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取格点，延长与正方形的一边交于点，由正方形的对称性，取格点，连接，交于，即为所求；
（2）取格点，连接，取格点，可知点为的中点，连接交于，连接，交于点，连接并延长交于，即为所求．
【小问1详解】
解：取格点，由勾股定理可知，，
延长与正方形的一边交于点，
由正方形的对称性，取格点，连接，交于，
则，
∴，
如图，即为所求；
【小问2详解】
取格点，可知，，且，
∴四边形为平行四边形，
连接，取格点，可知点为的中点，连接交于，连接，交于点，连接并延长交于，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
又∵点为的中点，则，
∴，则，
∴，则：点为的中点，
∴为三条中线的交点，
∴是中边上的中线，
∴为的中点，
如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中线的性质，格点作图，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
22. 如图，已知，，，，动点从点出发，在线段上，以每秒1个单位的速度向点运动：动点从点出发，在线段上，以每秒2个单位的速度向点运动，点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为（秒）．
（1）当________秒时，；
（2）当________秒时，；
（3）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【答案】（1）3 （2）
（3）或7
【解析】
【分析】本题考查平行四边形判定与性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质定理．
（1）由题意可知，，，，则，若，则四边形是平行四边形，可知，由此列出方程即可求解；
（2）由题意可知，，，则为等腰直角三角形，作，则为等腰直角三角形，可知，即：，若，则，可知四边形是平行四边形，得，由此列出方程即可求解；
（3）由题意可知，，则，当时，，若，则四边形是平行四边形，当时，，若，则四边形是平行四边形，分别列出方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，，
∴，，，则，
若，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，，则，
∴，解得：，
即：当秒时，；
故答案为：3；
【小问2详解】
∵，，，
∴，，则为等腰直角三角形，
∴，
作，则等腰直角三角形，
∴，则，即：，
若，则，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，则，
∴，解得：，
即：当秒时，；
故答案为：；
【小问3详解】
∵，，，，
∴，，，，则，
∵，，则，
当时，，
若，则四边形是平行四边形，
即：，解得：；
当时，，
若，则四边形是平行四边形，
即：，解得：；
综上，当或7时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
23. 问题发现：梓航在学完勾股定理后，翻阅资料，发现《几何原本》中有一种很好的勾股定理的证法：如图1，作于点，交于点，通过证明，的方法来证明勾股定理.
爱思考的梓航发现一个结论，如图2，若以的直角边，为边向外任意作，，斜边上的，延长，交于点，直线被所截线段为，当时，此时成立.请你帮他完成证明.

问题证明：
（1）先将问题特殊化，如图3，当四边形，四边形，四边形均为矩形，且时，求证：，（按梓航的分析，完成填空）
分析：过作交直线，于，，过作交，于，；
可证；同理可证；
另外易得________________
可得成立.
（2）再探究一般情形，如图2，当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时，求证：.
问题探索：
（3）将图2特殊化，如图4，若，，，，且，请你直接写出的值_______________（用含，的式子表示）.
【答案】（1）；（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知得出，，，直接可得；
（2）过分别作的垂线，将问题转为矩形的面积和，根据（1）的结论，即可求解；
（3）连接，取中点，连接，得过点作于点，则，得出，过点作，则四边是平行四边形，过点作于点，得出，，则，根据，即可求解．
【详解】（1）根据题意可得，，
∴，
故答案为：．
（2）如图所示，过分别作的垂线，
∵，，
∴
∴，
同理可得
由（1）可得
∴
（3）如图所示，连接，取中点，连接，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
过点作于点，则
∴
∴
∴
∵，，四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
又
∴
如图所示，过点作，则四边是平行四边形，
∴
过点作于点，
∵
∴
又∵
∴，则
∴，，
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，为矩形的边的中点，点在第一象限，为边上一点．
（1）如图，当时．
分别求出，的值；
连接，将沿翻折，点恰好落在上的点，与轴交于点，连接，，求出的度数；
（2）如图，在上取点，使，若，，，则请直接写出的值____________．
【答案】（1），；；
（2）．
【解析】
【分析】（）由得，再根据，，则，从而求出的值即可；
过作于点，根据折叠和矩形的性质证明是的平分线，再证明和即可求解；
（）延长交的延长线分别于点，作，，过作交的延长线于点，再根据全等三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解．
【小问1详解】
由，要使有意义则，
∵，，
则，
∴，解得，
∴；
如图，过作于点，
由折叠性质可知：，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，延长交的延长线分别于点，作，，过作交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，，
∴，，
在和中，由勾股定理得：，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式非负性，全等三角形的判定与性质，矩形与折叠的性质，角平分线的性质和角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．