湖南省郴州市嘉禾县塘村镇中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 行驶在水平路面上的汽车，若把路看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【详解】∵行驶在水平路面上的汽车，若把路看成直线，
∴此时转动的车轮与地面的位置关系是相切．
故选：B．
2. 若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的规律是解题的关键．
根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，
得到的抛物线的表达式是．
故选：C．
3. 如图，AB是的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）．
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用勾股定理得出BC的长，求出AB长，再利用三角形边之间的关系进而得出AO≤AP≤AB，即可得出答案.
【详解】如图1，连接OA，
OC⊥AB于点C， OB= 5， OC= 3，
BC= ，
AB= ，
AO≤AP≤AB，
5≤AP≤8，
AP的长度不可能是： 9
故选：D
【点睛】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AP的取值范围是解题关键，垂直于弦的直径平分这条弦．
4. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 顶点坐标为
C. 对称轴是直线D. 与y轴的交点为
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了抛物线开口方向和顶点坐标的确定，解题的关键是熟练应用二次函数的图象和性质．
根据二次函数的性质求解即可．
【详解】抛物线，，开口向上，故A选项错误，
顶点坐标为，故B选项错误，
对称轴是直线，故C选项错误，
当时，，
所以抛物线经过点，故D选项正确，
故选D．
5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
6. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次函数与x轴有两个交点即二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数与x轴有两个交点即二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
7. 关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数和反比例函数的图象分和两种情况分析即可．
【详解】解：当时，二次函数的图象开口向下，与y轴的负半轴相交，此时反比例函数的图象在一三象限，故A符合题意，D不符合题意；
当时，二次函数的图象开口向上，与y轴的负半轴相交，此时反比例函数的图象在二四象限，故B，C不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象的性质，分类讨论是解答本题的关键．
8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点E，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4π﹣8B. 8π﹣8C. 8π﹣16D. 16π﹣16
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AD⊥BC交于点D，根据图形和等腰三角形的性质，可以得到∠B、∠C的度数，AD和BD的长，再根图形可知阴影部分的面积=，然后代入数据计算即可．
【详解】过点A作AD⊥BC交于点D，如图所示，
∵∠BAC=90°，AB=AC=，
∴点D为BC中点，，∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=4，
∴= = ，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出∠B的度数，熟知扇形面积公式．
9. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
10. 如图，等腰直角三角形内接于⊙O，直径，D是圆上一动点，连接，，，且交于点G．下列结论：
①平分；
②；
③当时，四边形的周长最大．
其中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用．
证明，，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确．
【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径，
∴，，
∴，即平分；故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵为直径，
∴，
∵，
∵，
∴要使四边形的周长最大，要最大，
∴当时，四边形的周长最大，
此时，，故③正确；
综上，①②③正确．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 若是二次函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴且，
解得，
故答案为：．
12. 如图，，，是的弦，连接．若，则________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，等边三角形的性质和判定，
连接，证明出是等边三角形，得到，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 已知点和点N都在抛物线上，如果轴，则线段的长度为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程的知识，根据轴，得出，是解答本题的关键．
首先求出抛物线解析式为，根据轴，可得，令，求出，进而求解即可．
【详解】将代入抛物线中，可得：，
解得：，
即抛物线解析式为：，
∵轴，，
∴，
当时，，
解得：或，
即，
∴的长度为．
故答案为：4．
14. 如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心，为半径作与边相切于点A，若，则弦的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据等边对等角得到，，根据切线的性质得到，从而求出，得到，根据，求出半径，得到，利用勾股定理即可求出．
详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边对等角等知识，遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
15. 如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、A、C、O在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多______米（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】先求出与的长，再用的长减去的长．
【详解】设，则，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长的计算公式，解题的关键是掌握弧长的计算公式．
16. 已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；② ；③；④；⑤和时函数值相等，其中正确的结论是：___________ ．（填序号）
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】根据二次函数图像的开口、对称轴、特殊点的函数值、函数值相等时的两点的坐标特点，对5个选项逐一进行判断，即可得答案．
【详解】解：观察图像，抛物线开口向下，，，
，
故①错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为：直线，
，
故②正确，符合题意；
当时，，
，
故③错误，不符合题意；
当时，，
，
故④正确，符合题意；
和与对称轴距离相等，
和时函数值相等，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：②④⑤．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线的开口方向、与坐标轴的交点、对称轴、函数值相等时的两个点的坐标特征是解此题的关键．
三、解答题（第17～18题每题6，23题12分，第24题14分
17. 已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．
【答案】y=2（x﹣2）2+1．
【解析】
【分析】根据顶点坐标设解析式为y=a(x-2)2+1，把A点坐标代入求出a的值即可．
【详解】设该抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+1，
3=a（3﹣2）2+1，
解得，a=2，
即该抛物线解析式是y=2（x﹣2）2+1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，解析式通常可设为y=ax2+bx+c(a≠0)、y=a(x+h)2+k（a≠0）等形式，选择适当的二次函数解析式的形式是解题关键．
18. 如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．
（1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出点C的坐标；
（2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．
小问1详解】
令，则，
解得 ，，
∴，
令，则，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴图像位于x轴下方，
∴x取值范围为．
19. 如图，的直径AB为20cm，弦，的平分线交于D，求BC，AD，BD的长．
【答案】BC=16cm，AD=BD=10cm．
【解析】
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= =16（cm）；
∵CD是∠ACB的平分线，
∴，
∴AD=BD，
∴AD=BD= ×AB=10（cm）．
20. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．
（1）求的半径；
（2）求的度数．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可；
（2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可．
【小问1详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
四边形是的内接四边形，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了直径性质，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键．
21. 如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的弧长，解题的关键是确定正五边形的内角的度数，
（1）首先求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
（2）根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
∵五边形是正五边形，
∴
∵
∴；
【小问2详解】
∵正五边形的边长为6，
∴．
22. 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少.
【答案】（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【解析】
【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）w＝（x﹣30）•y
＝（﹣x+60）（x﹣30）
＝﹣x2+30x+60x﹣1800
＝﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x＝45时，w有最大值，最大值是225．
（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，
解得x1＝40，x2＝50，
∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
23. 如图，是的直径，P为半圆的中点，连接并延长至点B，使，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据是的直径，可得，再根据P为半圆的中点，得出，再推出，从而得证；
（2）利用求得阴影部分的面积．
【小问1详解】
∵是的直径，
∴，
∵P为半圆的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，,
∵P为半圆的中点，
∴AC⊥OP，
∴
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的性质以及阴影部分面积的求法，正确掌握切线的判定是解题的关键．
24. 已知拋物线经过和点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若半径为1，圆心P在抛物线上运动，在运动过程中，是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若的半径为r，圆心Q在抛物线上，当与两坐标轴都相切时，求半径．
【答案】（1）
（2）圆心的坐标，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：①与轴相切，根据切线的性质，可得关于的方程，②与轴相切，根据自变量与函数值的关系，可得答案；
（3）根据切线的性质，圆心在坐标轴的平分线上，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【小问1详解】
由题意，得；
解得；
抛物线的解式为；
【小问2详解】
①由与轴相切，得
．
当时，，方程无解；
当时，，解得，
与轴相切，圆心的坐标；
②由与轴相切，得
，
当时，，即圆心的坐标
当时，，圆心的坐标，
与轴相切，圆心的坐标，；
【小问3详解】
设圆心，
由与两坐轴都相切，得
，．
解得，
与两坐标轴都相切时，的半径为为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用相切得出横坐标于纵坐标相等或互为相反数得出关于的方程是解题关键．