湖南省长沙市周南教育集团联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试范围：16章二次根式、17章勾股定理、18章平行四边形、19章一次函数）
本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．考试说明：闭卷
一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填入答卷表格中，每小题3分，共30分）
1. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数进行求解即可．
【详解】解：根据题意可得；
解得，
∴函数中，自变量的取值范围是．
故选：D．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．
3. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4. 一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三，四象限D. 第二、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
【详解】∵﹣1＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限，
又∵﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
5. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可.
【详解】解： 故A，C，D不符合题意；
是最简二次根式，故B符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是最简二次根式的含义，掌握“最简二次根式的定义判断最简二次根式”是解本题的关键.
6. 若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（ ）
A. 96B. 48C. 24D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S＝×6×8＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的面积的计算．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
7. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A． ，故可以构成直角三角形，不符合题意；
B． ，故无法构成直角三角形，符合题意；
C． ，故可以构成直角三角形，不符合题意；
D． ，故可以构成直角三角形，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（ ）
A. 6B. 5
C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．
【详解】∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝2，
∴BC的长度是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键．
9. 利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使，过点A作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是（ ）

A. B. C. 7D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理，以及，的长度，可求出的长度，进而即可求解．
【详解】解：在中，，，
则：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理与数轴，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=60°，点E是AB的中点，连接CE、OE，若AB=2BC，下列结论：①∠ACD=30°；②当BC=4时,BD=；③CD=4OE；④S△COE=S四边形ABCD．其中正确的个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据∠ABC=60°，点E是AB的中点，且AB=2BC判断出是等边三角形，从而得出，判断①；
过点B作交DC于H，计算长度，再根据勾股定理计算判断②；
根据E，O分别为AB，BD中点利用中位线定理和AB=2BC判断③；
通过中位线定理得出相似以及线段等量关系从而得出面积的关系判断④．
【详解】∵∠ABC=60°，点E是AB的中点，且AB=2BC
∴
∴是等边三角形，
∴
∴ ,①正确；
过点B作交DC于H如图：
∵BC=4，
∴
∴ ,②正确；
∵E，O分别为AB，BD的中点
∴
又∵
∴,③正确；
∵OE为三角形ABC的中位线
∴
∴
设三角形EOM的面积为S，则三角形MOC面积为2S，三角形MBC面积为4S，三角形EMB面积为2S
∴三角形ABC面积为12S
∴平行四边形ABCD面积为24S
∴S△COE=S四边形ABCD， ④错误
故答案选：C
【点睛】本题是一道平行四边形与三角形综合题目，考查的知识点较多，有一定的难度．转化相关的线段和角度以及灵活添加辅助线是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案．正确化简二次根式是解题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 中，，两直角边分别是a和b，斜边是c，若，则_______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据勾股定理求出c的值．
【详解】解：∵中，，
∴
∴，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了勾股定理，在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
13. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为__________形．
【答案】菱
【解析】
【分析】连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解．
【详解】如图，连接、，

、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
14. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____．

【答案】3
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×6=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
15. 已知正比例函数，且随的增大而减小，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正比例函数中k＜0时， y随x的增大而减小解答即可．
【详解】解：∵正比例函数，且随的增大而减小，
<0，
∴k<-3
故答案为k<-3．
【点睛】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx（k为常数，k≠0），当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
16. 如图，一次函数y＝6﹣x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】将点A的横坐标代入y＝6﹣x可得其纵坐标的值，再将所得点A坐标代入y＝kx可得k．
【详解】解：设A（2，m）．
把A （2，m）代入y＝6﹣x得：m＝﹣2+6＝4，
把A （2，4）代入y＝kx得4＝2k，解得k＝2．
故答案是：2．
点睛】本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
三、计算题（本大题共2小题，共12分）
17. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据平方差公式和二次根式乘法法则进行运算，然后相加减即可；
（2）根据零指数幂运算法则、绝对值性质、负整数指数幂以及二次根式的性质进行运算，然后相加减即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算、运用平方差公式进行运算、负整数指数幂、零指数幂、花间绝对值等知识，熟练掌握相关公式和运算法则是解题关键．
18. 已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】（1）当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；（2）当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【解析】
【分析】（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案.
【详解】(1)根据一次函数的定义，得：
2−|m|=1，
解得：m=±1.
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得：
2−|m|=1，n+4=0，
解得：m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【点睛】此题考查一次函数的定义，正比例函数的定义，解题关键在于利用其各定义进行解答.
四、解答题（本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）12.
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得．
（2）根据勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形．
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6×=3．
在Rt△ACD中，，
∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12．
20. 已知一次函数．
（1）画出函数的图象；
（2）求图象与轴、轴的交点，的坐标；
（3）求的面积；
【答案】（1）见解析 （2），；
（3）9
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象．
（1）根据描点法，可得函数图象；
（2）根据函数值为0，可得A点坐标；根据自变量为0，可得B点坐标；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【小问1详解】
解：当时，，解得，
当时，，
如图所示．
；
【小问2详解】
解：当时，，解得，
∴，
当时，，
∴；
【小问3详解】
解：．
21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为15km，与公路上的另一停靠站的距离为20km，停靠站，之间的距离为25km，且．
（1）求修建的公路的长；
（2）若公路修通后，则一辆货车从点处经过点到点处的路程是多少？
【答案】（1）修建的公路的长为
（2）一辆货车从处经过点到处的路程为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
（1）根据勾股定理的逆定理可求，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出，进一步求得一辆货车从处经过点到处的路程．
【小问1详解】
解：，，，，
是直角三角形，且，
，
，
答：修建的公路的长为；
【小问2详解】
解：在中，
利用勾股定理可得，
，
即一辆货车从处经过点到处的路程为．
22. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）65°
【解析】
分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质可求∠CEB=70°，由三角形的外角的性质可求解．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝×90°＝45°，
在△ABE和△CBE中，
,
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°-∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
23. 如图，将矩形沿对角线对折，点的对应点为，交于点．交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，只需证明，即可证明四边形AFCE是菱形．
（2）由第一问知，在中利用勾股求解即可．
【详解】解：在矩形中，，
∴．
由题意得：
∴，
∴
∵，，
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
（2）如图所示，在矩形中，，
，
设，则．
在中，，，
由勾股定理得：，
即，
∴．
∴．
【点睛】本题考查菱形的判定、图形折叠中勾股定理的应用等相关知识点，能严格根据相关定理去找条件是解题的关键．
24. 认真阅读下列材料，然后完成解答：
【材料】
如图，已知平面直角坐标系中两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如何求A、B两点间的的距离|AB|的值？
过点A向y轴作垂线AN1、过点B向x轴作垂线BM2，垂足分别为N1（0，y1）和M2（x2，0），直线AN1和BM2相交于点Q．
在Rt△AQB中，|AB|2= |AQ|2+ |BQ|2
为了计算AQ和BQ，过点A向x轴作垂线，垂足为M1（x1，0）；过点B向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），于是有|AQ|=|M1M2|=|x3-x1|，|BQ|=|N1N2|=|y2-y1|．
所以，|AB|2=．
由此得到A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的距离公式：．
根据定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
因此，线段AB的长度计算公式为．
【问题】
（1）平面直角坐标系中有两点A（0，1）、B（2，3），求线段AB的长；
（2）表示线段MN的长，其中点M的坐标为（a，b），点N的坐标为______；
（3）如图，在x轴上有一点P（x，0），试求PA+PB的最小值．

【答案】（1）AB=；（2）(－2，0)；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用两点间的距离公式进行计算即可；
（2）由点M坐标为（a，b），可将MN变化为，可得点N坐标为(－2，0)；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，直线BA′于x轴的交点即为所求的点P，AP=A′P，A′B=A′P+BP=PA+PB，根据两点之间，线段最短，可得A′B等于PA+PB的最小值；
【详解】解：
（1）将点A（0，1）、B（2，3）代入得，
===；
∴AB的长为；
（2）由题可知，，点M坐标为（a，b），
∴，
∴点N坐标为(－2，0)；
（3）如图：作点A关于x轴的对称点A′（0，－1），连接A′B，交x轴于点P，可得，AP=A′P，A′B=A′P+BP=PA+PB，
根据两点之间，线段最短，可得A′B等于PA+PB的最小值．
===；
【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.
25. 如图，在Rt中，，，，边的垂直平分线分别与、轴、轴交于点、、．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）直接写出点的坐标，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可知，即可求出点坐标；
（2）先求出点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可；
（3）首先确定点坐标，然后根据平行四边形的性质、分类讨论即可．
【小问1详解】
解：连接，如图所示，
∵，，，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，为线段的垂直平分线，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线的解析式为；
【小问3详解】
如下图，过点作轴于点，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如下图，
∵，，，
∴当以为对角线时，可有，
当以为边时，可有，，
∴点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题解题的关键．