2023-2024学年湖南省长沙市周南教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市周南教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y= x−1中，自变量x的取值范围是( )
A. x≠−1B. x<1C. x≤1D. x≥1
2.下列计算中，正确的是( )
A. 5 7−2 7=21B. 2+ 2=2 2C. 3× 6=3 2D. 15÷ 5=3
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是
( )
A. AB/​/CD，AD/​/BCB. AD/​/BC，AB=CD
C. OA=OC，OB=ODD. AB=CD，AD=BC
4.一次函数y=−x−2的图像经过( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
5.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 12B. 6C. 8D. 9
6.若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是( )
A. 96B. 48C. 24D. 12
7.以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 2，3，4C. 5，12，13D. 1， 2， 3
8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE=2，则BC的长是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA=5，过点A作直线1垂直于OA，在1上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是( )
A. 21B. 29C. 7D. 29
10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=60°，点E是AB的中点，连接CE、OE，若AB=2BC，下列结论：
①∠ACD=30°；
②当BC=4时，BD=4 7；
③CD=4OE；
④S△COE=16S四边形ABCD，其中正确的个数有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算 (−2)2=______．
12.Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边分别是a和b，斜边是c，若a=6，b=8，则c= ．
13.顺次连接矩形四边中点所得的四边形必定是______．
14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=______．
15.已知正比例函数y=(k+3)x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是______．
16.如图，一次函数y=6−x与正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)计算：( 3+ 2)( 3− 2)+ 6× 23；
(2)计算：(2021−π)0+| 3−1|−(12)−1+ 12．
18.(本小题6分)
已知y=(m+1)x2−|m|+n+4．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)若AB=5，BC=6，求矩形ADBE的面积．
20.(本小题8分)
已知一次函数y=−2x−6．
(1)画出函数的图象；
(2)求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标；
(3)求△AOB的面积．
21.(本小题8分)
如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
(1)求修建的公路CD的长；
(2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
22.(本小题8分)
如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)若∠AEC=140°，求∠DFE的度数．
23.(本小题8分)
如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，点B的对应点为B′，B′C交AD于E点．AF//CB′交BC于F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=4，BC=8，求EC的长．
24.(本小题10分)
认真阅读下列材料，然后完成解答：
【材料】
如图，已知平面直角坐标系中两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，如何求A、B两点间的距离|AB|的值？过点A向y轴作垂线AN1、过点B向x轴作垂线BM2，垂足分别为N1(0,y1)和M2(x2,0)，直线AN1和BM2相交于点Q．
在Rt△AQB中，|AB|2=|AQ|2+|BQ|2，
为了计算AQ和BQ，过点A向x轴作垂线，垂足为M1(x1,0)；过点B向y轴作垂线，垂足为N2(0,y2)，于是有|AQ|=|M1M2|=|x2−x1|，|BQ|=|N1N2|=|y2−y1|.
所以，|AB|2=|x2−x1|2+|y2−y1|2．
由此得到A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间的距离公式：|AB|= (x2−x1)2+(y2−y1)2．
根据定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
因此，线段AB的长度计算公式为AB= (x2−x1)2+(y2−y1)2．
【问题】
(1)平面直角坐标系中有两点A(0,1)、B(2,3)，求线段AB的长；
(2)MN= (a+2)2+b2表示线段MN的长，其中点M的坐标为(a,b)，点N的坐标为______；
(3)平面直角坐标系中有两点A(0,1)、B(2,3)，在x轴上有一点P(x,0)，试求PA+PB的最小值．
25.(本小题10分)
如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=4，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D．
(1)求点E的坐标；
(2)求直线CD的解析式；
(3)直接写出点P的坐标，使得以A、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则．根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可．
【解答】
解：A.5 7−2 7=3 7，此选项计算错误；
B.2与 2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C. 3× 6= 3× 3× 2=3 2，此选项计算正确；
D. 15÷ 5= 15÷5= 3，此选项计算错误；
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】
解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
根据一次函数y=kx+b(k≠0)中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
【解答】
解：∵−1<0，
∴一次函数y=−x−2的图象一定经过第二、四象限；
又∵−2<0，
∴一次函数y=−x−2的图象与y轴交于负半轴，
∴一次函数y=−x−2的图象经过第二、三、四象限；
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：A． 12的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 6是最简二次根式，故本选项符合题意；
C. 8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 9的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题主要考查菱形的面积的求法，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S=12×6×8=24．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】
解：A.∵32+42=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C.∵52+122=132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵12+( 2)2=( 3)2，
∴以1， 2， 3为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=2，
∴BC=4，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，OB= 52+22= 29，
∴点C表示的无理数是 29．
故选：B．
利用勾股定理列式求出OB判断即可．
本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及中位线性质定理的运用．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
由四边形ABCD是平行四边形，点E是AB的中点，AB=2BC，推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，可求出BO的长，进而可求出BD=4 7，故②正确；易证OE为△ABC的中位线，可得BC=2OE，又因为AB=2BC，所以可得CD=4OE，故③正确；由③可知S△AOE=14S△ABC，进而可得S△COE=18S四边形ABCD，故④错误．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵点E是AB的中点，AB=2BC，
∴BE=BC，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠EAC=∠ECA=12∠BEC=30°，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵BC=4，
∴AB=8，
∴AC= 82−42=4 3，
∴OC=2 3，
∴BO= 16+12=2 7，
∴BD=2BO=4 7，故②正确；
∵O为AC中点，E为AB中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC=2OE，
∵AB=2BC，
∴CD=4OE，故③正确；
∵OE/​/BC，OE=12BC，
∴S△AOE=14S△ABC，
∵S△ABC=12S▱ABCD，
∴S△COE=18S四边形ABCD，故④错误．
故选C．
11.【答案】2
【解析】解： (−2)2= 22=2，
故答案为：2．
利用二次根式的性质求解即可．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
12.【答案】10
【解析】【分析】
本题考查勾股定理，解题关键是熟练利用勾股定理进行计算．
根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：根据勾股定理得：c= 62+82=10．
故答案为：10．
13.【答案】菱形
【解析】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=12AC，FG=EH=12BD(三角形的中位线等于第三边的一半)，
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．
作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=12AC，FG=EH=12BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=12AB=12×6=3．
故答案为：3．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】k<−3
【解析】解：∵正比例函数 y=(k+3)x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴k+3<0，
解得，k<−3；
故答案为：k<−3．
根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+3<0，然后解不等式即可．
本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
16.【答案】2
【解析】解：设A(2,m)．
把A (2,m)代入y=6−x得：m=−2+6=4，
把A (2,4)代入y=kx得4=2k，解得k=2．
故答案是：2．
将点A的横坐标代入y=6−x可得其纵坐标的值，再将所得点A坐标代入y=kx可得k．
本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
17.【答案】解：(1)原式=3−2+2
=3；
(2)原式=1+ 3−1−2+2 3
=3 3−2．
【解析】(1)先算乘法，再算加减；
(2)先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，化为最简二次根式，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：(1)根据一次函数的定义，得：2−|m|=1，
解得m=±1．
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得：2−|m|=1，n+4=0，
解得m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数．
【解析】(1)根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数，叫做一次函数，据此求解即可；
(2)根据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此求解即可．
本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，比较简单．一次函数解析式y=kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．正比例函数y=kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1．
19.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴平行四边形ADBE是矩形；
(2)解：∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD=DC=12BC=3，
∴AD= AB2−BD2= 52−32=4，
∴S矩形ADBE=BD⋅AD=3×4=12．
【解析】(1)由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB=90°，再由矩形的判定即可得出结论；
(2)由等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD=DC=12BC=3，再由勾股定理得AD=4，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)图象经过(0,−6)；(−3,0)．

(2)当x=0时，y=−6；
当y=0时，x=−3，
∴与x轴的交点A的坐标：(−3,0)；
与y轴的交点B的坐标：(0,−6)．
(3)△AOB的面积=|AO|×|BO|×12=3×6×12=9．
【解析】(1)列举出函数中点的坐标，再用描点法画出图象；
(2)将x=0，y=0代入函数解析式中，即可求出点A、B的坐标；
(3)用三角形面积公式进行计算．
本题考查了一次函数的性质和图象，解题的关键是求出函数与x轴和y轴的交点来进行解答．
21.【答案】解：(1)∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴CD=12AC×BC÷12÷AB=12(km)．
故修建的公路CD的长是12km；
(2)在Rt△BDC中，BD= BC2−CD2=16(km)，
一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28(km)．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理可求∠ACB=90°，再根据三角形面积公式即可求解；
(2)先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=12×90°=45°，
在△ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE(公共边)，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
(2)∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°−∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC−∠ADB=110°−45°=65°．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABE≌△CBE；
(2)由全等三角形的性质可求∠CEB=70°，由三角形的外角的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
23.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
由题意得：∠BCA=∠B′CA，
∴∠DAC=∠B′CA，
∴EA=EC，
∵AD/​/BC，AF/​/CE，
∴四边形AFCE为平行四边形．
又EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形．
(2)如图，在矩形ABCD中，∠ADC=∠AB′C=90°，AD=BC=B′C=8，AB=AB′=4，
设AE=CE=x，则EB′=(8−x)，
在Rt△AB′E中，∠AB′E=90°，AB′=4，
由勾股定理得：AB′2+B′E2=AE2，
即42+(8−x)2=x2，
∴x=5．
∴EC=5．
【解析】(1)在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，可得∠DAC=∠BCA，根据题意可得EA=EC，再由题意可得四边形AFCE为平行四边形，即可求解；
(2)设AE=CE=x，则EB′=(8−x)，根据题意应用勾股定理即可求解．
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，翻折变换的性质，熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
24.【答案】(−2,0)
【解析】解：(1)∵A(0,1)、B(2,3)，
∴AB= (0−2)2+(1−3)2=2 2；
(2)∵点M的坐标为(a,b)，MN= (a+2)2+b2，
∴N(−2,0)，
故答案为：(−2,0)；
(3)如图，作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P．
∵B(2,3)，
∴B′(2,−3)，
∴PA+PB=PA+PB′=AB′= (0−2)2+(1+3)2=2 5，
即PA+PB的最小值为2 5．
(1)利用两点间的距离公式解答即可；
(3)作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P，PA+PB的最小值就是线段AB′的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论．
此题主要考查了轴对称最短路线问题，两点之间的距离公式，根据“两点之间，线段最短”来找点P的位置是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵CD是AB的垂直平分线，
∴CD⊥AB，AC=BC，
又∵OA⊥CD，
∴OA/​/CD，
∴OE=BE，
∵OB=4，
∴OE=BE=2，
∴点E(2,0)；
(2)如图1，过点A作AH⊥OB于H，

∵∠A=90°，∠ABO=30°，OB=4，
∴OA=12OB=2，∠AOB=60°，
∵AH⊥OB，
∴∠OAH=30°，
∴OH=12OA=1，AH= 3OH= 3，
∴点A(1,− 3)，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴点C是AB的中点，
∴点C(52,− 32)，
由点C、E的坐标得，CD的解析式为y=− 3x+2 3；
(3)设点P(x,y)，
当AP为对角线时，
由中点坐标公式得：1=2+x3 3− 3=y，
解得：x=−1y= 3，
则点P(−1, 3)；
当AE或AP为对角线时，
同理可得：1+2=x− 3=y+2 3或x+1=2y− 3=2 3，
解得：x=3y=−3 3或x=1y=3 3，
则点P(3,−3 3)或(1,3 3)，
综上，点P的坐标为：(−1, 3)或(3,−3 3)或(1,3 3).
【解析】(1)由三角形中位线定理可得OE=2，可求解；
(2)先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
(3)利用平行四边形的性质，分类可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．