湖南省株洲市攸县南西乡片2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（3×10＝30分）
1. 在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握直角坐标系象限的定义．
利用直角坐标系象限的定义判断点的位置．
【详解】解：点在第三象限．
故选：C．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
3. 下列不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 两条对角线相等D. 两条对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
C、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角线也相等，符合题意；
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；；
故选：C．
4. 在直角三角形中，两条直角边的边长分别为12和5，则斜边的中线长是（ ）
A. 26B. 13C. 30D. 6.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可．
【详解】∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边为：，
则斜边中线长是6.5，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
5. 如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出．
【详解】解：平分，于点，于点，
故选：C．
6. 如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（ ）
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝900°，然后解方程即可．
【详解】解：设所求正n边形边数为n，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故选D．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
7. 已知菱形ABCD，对角线AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为（ ）
A. 48B. 36C. 25D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，
∴菱形的面积S=AC•BD=×8×6=24．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
8. 平行四边形的一边长为，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】设平行四边形的对角线分别为：，进而可确定，即可进行判断．
【详解】解：设平行四边形的对角线分别为：
∵平行四边形的对角线互相平分
∴
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、构成三角形的条件．明确对角线的一半与平行四边形的一边构成三角形是解题关键．
9. 满足下列条件的是直角三角形的有个（ ）
①；②：：：：；③；④是上的中线，且．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形判定，勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据三角形内角和为结合角度关系即可得到是直角三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，根据等边对等角证出是直角三角形；
【详解】解：，
，
，
，
是直角三角形；
：：：：，
，
是直角三角形；
，
，
直角三角形；
是上的中线，
，
，
，
，，
，
，
是直角三角形；
故是直角三角形的有个，
故选：D．
10. 如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ）
A. B. C. 9D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点B与D关于AC对称，连接BE，设BE与AC交于点P′，即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．再利用勾股定理即可得出结果．
【详解】如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，
∴BE==．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题，找出P点位置是解题的关键．
二、填空题（3×8＝24分）
11. 中，锐角，则另一个锐角=_____．
【答案】##65度
【解析】
【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得．
【详解】解：在中，，
另一个锐角，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握理解直角三角形的两锐角互余是解题关键．
12. 在中，，，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半进行计算．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查直角三角形的性质，解题关键在于掌握30°所对的直角边是斜边的一半．
13. 如图，将ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1=________．
【答案】70°
【解析】
【详解】解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，
∴∠BCD=∠A=110°，
∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．
故答案为：70°．
14. 如图，在中，，，平分交于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等角对等边，由平行四边形的性质得，，进而得，由角平分线的性质得，得到，即得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
15. 在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度， 则点P的坐标为____．
【答案】(3，-2)
【解析】
【分析】根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案．
详解】解：∵点P位于第四象限，且距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点P的纵坐标为-2，横坐标为3，
∴点P的坐标为（3，-2），
故答案为：（3，-2）．
【点睛】此题考查点的坐标，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
16. 如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题主要考查正方形、等边三角形和等腰三角形的性质，可求得，进而即可求得答案．
【详解】解：根据题意可得
，，，
∴．
∴．
∴．
故答案为：
17. 如图，在中，，E为中点，若，则四边形的周长是________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、三角形中位线的性质，由菱形的性质和三角形中位线的性质得到是解答本题的关键．证明四边形是菱形，再由菱形的性质可得：，结合点E是边上的中点可得，再结合菱形的四边相等即可求得菱形的周长即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是菱形，
∴，，
又∵点E为的中点，，
∴，
∴菱形的周长．
故答案为：．
18. 如图，在矩形ABCD中，，，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ABF中运用勾股定理求得BF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，
在Rt△ABD中，BD＝，
∴DO＝，
由折叠可得，∠BFO＝∠DFO，
由ADBC可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠BFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x，
在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，
解得，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF＝ ，
∴FG＝2FO＝ ．
故答案为：．
【点睛】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．
三、解答题（共66分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，一个方格的边长代表1个单位长度，其中C点坐标为．
（1）写出点A、B的坐标： ， ．
（2）若三角形向左平移2个单位，恰好得到，试在该平面直角坐标系中画出．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）由图形可得点、的坐标；
（2）将三个顶点分别向左平移2个单位长度得到其对应点，继而首尾连接即可；
【小问1详解】
解：由图知，；
【小问2详解】
如图所示，即为所求．
20. 如图，在中，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理．根据含30度的直角三角形的性质求出的长是解题的关键．
先根据直角三角形的性质求出的长，再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：，在中，∵
∴
由勾股定理，得．
21. 如图，四边形ABCD中，．试判断的形状，并说明理由．
【答案】△ACD是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．
【详解】解：△ACD是直角三角形．理由是：
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴，
∴AC=5，
又∵25+144=169，=169，
∴，
∴△ACD是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的综合应用，掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．
22. 如图，在中，，，，求的面积．
【答案】的面积为
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作，E为垂足，根据直角三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出答案即可．
【详解】解：作，E为垂足，即，
∵，，
∴，
∴
答：的面积为．
23. 如图，小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为，小芳朝正前方笔直行走，此时测得塔尖的仰角为，若小芳的眼睛离地面，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗？
【答案】这个电视塔塔尖离地面的高度为米．
【解析】
【分析】判断出△ABD为等腰三角形，求出BD的长，然后在△BCD中，求出CD的长．
【详解】
解：在△ABD中，∠ADB=∠DAB=15°，
则AB=BD，
可得，BD=AB=400m，
在Rt△DBC中，DC=BD=×400=200米．
塔尖高度为200+1.6=201.6米．
答：这个电视塔塔尖离地面的高度为201.6米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，等腰三角形的性质等知识，熟悉解直角三角形是解题的关键．
24. 如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用即可证明；
（）由勾股定理得，由全等三角形的性质得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中， ，
即，
解得，
∴的长．
25. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕B点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）求证：；
（2）若连接，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）先证明，，，再证明即可；
（2）连接，过E作延长线的垂线交于点F，求解，再利用三角形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形且是等边三角形,
∴，
又由绕B点逆时针旋转得到，
则，
又∵，
∴，
在和中 ,
,
∴．
【小问2详解】
连接，过E作延长线的垂线交于点F，
在中，，，
∴，
故的面积为．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
26. 如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理：
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，可得，同理，进而得出答案；
（2）根据已知得出，进而利用勾股定理求出，即可得出的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴；
【小问2详解】
解：∵分别是的角平分线
∴，
∵，
由勾股定理得：，
在中 ，
∴；
【小问3详解】
解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形，
理由：∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形