湖南省长沙市湖南师大附中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚；
2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示；
4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；
5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本试卷时量120分钟，满分120分．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方的数大于等于0列式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，点为的中点，
，
故选：A．
4. 如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，由矩形的性质得出，由勾股定理求出，再由，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
，
故选：B．
5. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
6. 下列说法错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 菱形的对角线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定和性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意；
B、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，原说法正确，不符合题意；
故选B．
7. 在中，，分别是、，的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A.
B. ，，
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A．设，，，则，故是直角三角形，不符合题意；
B．，故是直角三角形，不符合题意；
C．，，故不是直角三角形，符合题意；
D．，，，故是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
8. 四边形中，对角线与相交于点，给出四组条件：
①，； ②，； ③，； ④，．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此进行判断即可．
【详解】解：①由，，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
②由，可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
③由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
④由，可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
综上分析可知，能判定此四边形是平行四边形的有3组．
故选：C．
9. 如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义，连接，由勾股定理得出，证明四边形是菱形，，，从而得出，由勾股定理得出的长即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，在正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：
①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质即可求出三角形；过点作直线的垂线，根据三角形三边大小关系即可求出点到直线的距离；根据两角之和等于即可求出，从而求出；利用求出正方形的边长即可求出正方形的面积．
【详解】解：根据正方形的性质得，，
，
，
，
在和中，
，
∴，故①正确，符合题意；
设的交点为点F，在中，，
即是直角三角形，
故③正确，符合题意；
如图所示，过点作直线的垂线交的延长线于点，点到的垂线为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
，
，
在中，，
∴，
∴，
即点到的距离，故②正确，符合题意；
在中，，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形性质，结合图形，数据，解直角三角形的知识即可求出答案，理解和掌握正方形的性质及直角三角形的勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 化简______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：，
故答案为：2024．
12. 对于定理“对顶角相等”，它的逆命题是________命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，先把原命题题设和结论互换得到原命题的逆命题，再判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键.
【详解】解：对于定理“对顶角相等”，它的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，这是一个假命题，
故答案为：假.
13. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是______
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．依据直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离，再根据，，即可得出直线a与直线b之间的距离．
【详解】解：∵，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，
∴长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离，
∵，
∴，
即直线a与直线b之间的距离为3．
故答案为：3
15. 如图，在中，点D、E分别是的中点，以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，若，，则的值为____．

【答案】3
【解析】
【分析】根据题意证明是的中位线，求出，利用以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，可得，最后根据即可解答．
【详解】解：点D、E分别是的中点，
是的中位线，
,
以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，熟练运用该性质是解题的关键．
16. 如图，正方形的边长为4，，为上一点，则的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了利用对称性求最短距离，连接，由轴对称图形的性质可知，从而将的最小值转化为BM的长，用勾股定理求出即可．
【详解】解：根据题意，连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
当点B、N、M在同一条直线上时，有最小值．
在中
，，
根据勾股定理得，
即的最小值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，先化简绝对值，求解负整数指数幂，二次根式的乘法运算，零次幂，再合并即可．
【详解】解：原式
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先利用平方差公式、单项式乘以多项式进行化简，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：
，
把代入上式中，原式．
19. 如图，四边形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形的周长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理；
（1）根据网格的特点与勾股定理分别求得，再求和，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理，可以证明为直角三角形；为直角三角形；所以四边形的面积等于加上的面积，即可求解；
【小问1详解】
根据勾股定理得，，
，，
故四边形的周长为．
【小问2详解】
连接，
，，，，
，
同理可证，
面积为．
20. 如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线上的两点，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，，再结合可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，从而可得结论．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
，，
，
又，
【小问2详解】
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
21. 国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度；
（2）该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到0.01）．
【答案】（1）14.08米
（2）五星红旗升起的速度不小于0.26米/秒且不大于0.29米/秒
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、有理数的混合运算，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
（1）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）根据速度路程时间，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
由图2可得，在中，，即，
解得，
答：旗杆的高度为米．
【小问2详解】
解：96厘米米，
（米），
（米/秒），
（米/秒）．
答：五星红旗升起的速度不小于米/秒且不大于米/秒．
22. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由是的中点，是的中点，得，由，得，可证明，得，则四边形是平行四边形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，所以四边形是菱形；
（2）作交的延长线于点，由菱形的性质得，则和都是等边三角形，所以，则，由勾股定理和直角三角形的性质，求得，，即可根据勾股定理求得．
【小问1详解】
证明：是的中点，是的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，D是的中点，
，
四边形是菱形．
【小问2详解】
作交的延长线于点，则，
四边形是菱形，，
，，
和都是等边三角形，
，，
又，
，
，，
，
，
的长是．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
23. 如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标a，b满足．
（1）求证：四边形为正方形．
（2）若E点为正方形边上的动点，连接，过点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握基础知识是解本题的关键．
（1）根据非负数的性质先求解，可得，从而可得结论；
（2）如图，在上截取等于，连接，证明，再证明，结合，可得，再结合全等三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
证明：，，
，，
，，
点，
，
又四边形是矩形，
四边形是正方形．
【小问2详解】
恒为，理由如下：
如图，在上截取等于，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
又在正方形中，
．
24. 如图1，在长方形纸片中，．E为上一点，将长方形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点，如图2．
（1）当，时，求线段的长；
（2）设，，如果再将沿直线向右翻折，使点落在所在的直线上，记作点．若线段，请根据题意画出图形，并求出相应的值；
（3）设，，将沿直线向右翻折后交线段于点，连接．当时，求，之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查长方形的性质和折叠的性质，
（1）根据折叠求得对应边长即可求得；
（2）分两种情况：点落在线段上，或点落在线段的延长线上，由折叠的性质得，可求得和，结合题意即可求得；
（3）由折叠的性质得，，即可求得，结合题意即可求得答案．
【小问1详解】
解：由折叠的性质可得，
，
．
【小问2详解】
若点落在线段上时，如图1所示，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
解得：；
若点落在线段的延长线上时，如图2所示，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
解得：，
综上：或．
【小问3详解】
如图3所示，
由题意可知：，，
，
，，
，
整理可得：．
25. 若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，这条对角线叫做它的“筝线”．
（1）在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有______；
（2）在“筝形”中，为它的“筝线”，与对角线相交于点，且．
①如图1，若，点为对角线上一点，且为等腰三角形，求的值；
②如图2，延长至点，使得，连接，为上一点，且，，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）菱形，正方形
（2）①或；②
【解析】
【分析】（1）由“筝形”的定义结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质即可得出答案；
（2）①由“筝形”的定义得出平分与，证明，得出，求出，设，，则，求出，，，再分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案；②由①可得，，证明四边形为平行四边形，得出，连接，证明四边形为矩形，得出，由勾股定理结合题意得出，表示出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，
在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有菱形，正方形，
故答案为：菱形，正方形；
【小问2详解】
解：①为“筝形”“筝线”，
平分与，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
由，不妨设，，
在中，，
又，，
点，在的垂直平分线上，
，，
在中，，
，
在中，，
，
当时，，
，
，
；
当时，设，则，
，
在中，，
即，
解得，
，
；
当时，不合题意，
综上所述，的值为或；
②由①可得，，
，
又，即，
，
，
又，
，
又，
，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
，
连接，
由，，
四边形为平行四边形，
又，
为矩形，
，，
，
在中，，
由，
有，
即，
化简得，
又，
，
又四边形显然为直角梯形，
，
，
当时，四边形的面积最大值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．课题
测量学校旗杆的高度
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具
皮尺等
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据
测量项目
数值
图1中的长度
1米
图2中的长度
5.4米
…
…