2023-2024学年湖南省长沙市周南教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市周南教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数中，自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列计算中，正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是
( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4.一次函数的图像经过( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
5.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
6.若菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是( )
A. B. C. D.
7.以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
8.如图，在中，、分别是、的中点．若，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
9.利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是( )
A. B. C. D.
10.如图，平行四边形的对角线、相交于点，，点是的中点，连接、，若，下列结论：
；
当时，；
；
，其中正确的个数有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算______．
12.中，，两直角边分别是和，斜边是，若，，则 ．
13.顺次连接矩形四边中点所得的四边形必定是______．
14.如图，中，，，是的中点，则______．
15.已知正比例函数，若随的增大而减小，则的取值范围是______．
16.如图，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
计算：．
18.本小题分
已知．
当，取何值时，是的一次函数？
当，取何值时，是的正比例函数？
19.本小题分
如图，在中，，是边上的中线，四边形是平行四边形．
求证：四边形是矩形；
若，，求矩形的面积．
20.本小题分
已知一次函数．
画出函数的图象；
求图象与轴、轴的交点、的坐标；
求的面积．
21.本小题分
如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且．
求修建的公路的长；
若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？
22.本小题分
如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．
求证：≌；
若，求的度数．
23.本小题分
如图，将矩形沿对角线对折，点的对应点为，交于点．交于．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
24.本小题分
认真阅读下列材料，然后完成解答：
【材料】
如图，已知平面直角坐标系中两点、，如何求、两点间的距离的值？过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点．
在中，，
为了计算和，过点向轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，于是有，
所以，．
由此得到、两点间的距离公式：．
根据定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
因此，线段的长度计算公式为．
【问题】
平面直角坐标系中有两点、，求线段的长；
表示线段的长，其中点的坐标为，点的坐标为______；
平面直角坐标系中有两点、，在轴上有一点，试求的最小值．
25.本小题分
如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、轴、轴交于点、、．
求点的坐标；
求直线的解析式；
直接写出点的坐标，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】
解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则．根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可．
【解答】
解：，此选项计算错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误；
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】
解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质．一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．
根据一次函数中的、判定该函数图象所经过的象限．
【解答】
解：，
一次函数的图象一定经过第二、四象限；
又，
一次函数的图象与轴交于负半轴，
一次函数的图象经过第二、三、四象限；
故选D．
5.【答案】
解：．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题主要考查菱形的面积的求法，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
【解答】
解：四边形是菱形，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】
解：，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】
解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
解：由勾股定理得，，
点表示的无理数是．
故选：．
利用勾股定理列式求出判断即可．
本题考查了勾股定理，熟记定理并求出的长是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及中位线性质定理的运用．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
由四边形是平行四边形，点是的中点，，推出是等边三角形，证得，求出，故正确；由，可求出的长，进而可求出，故正确；易证为的中位线，可得，又因为，所以可得，故正确；由可知，进而可得，故错误．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，故正确；
为中点，为中点，
为的中位线，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，故错误．
故选C．
11.【答案】
解：，
故答案为：．
利用二次根式的性质求解即可．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查勾股定理，解题关键是熟练利用勾股定理进行计算．
根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：根据勾股定理得：．
故答案为：．
13.【答案】菱形
解：如图，连接、，
、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，三角形的中位线等于第三边的一半，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
14.【答案】
解：，为的中点，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】
解：正比例函数 中，的值随自变量的值增大而减小，
，
解得，；
故答案为：．
根据正比例函数图象与系数的关系列出关于的不等式，然后解不等式即可．
本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限，随的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，随的增大而减小．
16.【答案】
解：设．
把 代入得：，
把 代入得，解得．
故答案是：．
将点的横坐标代入可得其纵坐标的值，再将所得点坐标代入可得．
本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先算乘法，再算加减；
先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，化为最简二次根式，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：根据一次函数的定义，得：，
解得．
又即，
当，为任意实数时，这个函数是一次函数；
根据正比例函数的定义，得：，，
解得，，
又即，
当，时，这个函数是正比例函数．
【解析】根据一次函数的定义：一般地，形如、是常数的函数，叫做一次函数，据此求解即可；
根据正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，据此求解即可．
本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，比较简单．一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为；常数项可以为任意实数．正比例函数的解析式中，比例系数是常数，，自变量的次数为．
19.【答案】证明：，是的边上的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
解：，，是边上的中线，
，，
，
．
【解析】由等腰三角形的性质得，则，再由矩形的判定即可得出结论；
由等腰三角形的性质得，，再由勾股定理得，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：图象经过；．

当时，；
当时，，
与轴的交点的坐标：；
与轴的交点的坐标：．
的面积．
【解析】列举出函数中点的坐标，再用描点法画出图象；
将，代入函数解析式中，即可求出点、的坐标；
用三角形面积公式进行计算．
本题考查了一次函数的性质和图象，解题的关键是求出函数与轴和轴的交点来进行解答．
21.【答案】解：，，，
，
是直角三角形，，
．
故修建的公路的长是；
在中，，
一辆货车从处经过点到处的路程．
故一辆货车从处经过点到处的路程是．
【解析】根据勾股定理的逆定理可求，再根据三角形面积公式即可求解；
先根据勾股定理求出，进一步求得一辆货车从处经过点到处的路程．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌；
≌，
，
又，
，
，
，
，
．
【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可求，由三角形的外角的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
23.【答案】证明：在矩形中，，，
，
由题意得：，
，
，
，，
四边形为平行四边形．
又，
四边形是菱形．
如图，在矩形中，，，，
设，则，
在中，，，
由勾股定理得：，
即，
．
．
【解析】在矩形中，，，可得，根据题意可得，再由题意可得四边形为平行四边形，即可求解；
设，则，根据题意应用勾股定理即可求解．
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，翻折变换的性质，熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
24.【答案】
解：、，
；
点的坐标为，，
，
故答案为：；
如图，作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点．
，
，
，
即的最小值为．
利用两点间的距离公式解答即可；
作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论．
此题主要考查了轴对称最短路线问题，两点之间的距离公式，根据“两点之间，线段最短”来找点的位置是解题的关键．
25.【答案】解：是的垂直平分线，
，，
又，
，
，
，
，
点；
如图，过点作于，

，，，
，，
，
，
，，
点，
是的垂直平分线，
点是的中点，
点，
由点、的坐标得，的解析式为；
设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
则点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点或，
综上，点的坐标为：或或
【解析】由三角形中位线定理可得，可求解；
先求出点坐标，利用待定系数法可求解析式；
利用平行四边形的性质，分类可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．