专题06 有理数的乘方及混合运算(含科学记数法)之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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专题06 有理数的乘方及混合运算(含科学记数法)之六大考点【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18588" 【典型例题】  PAGEREF _Toc18588 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc32737" 【考点一 有理数幂的概念理解】  PAGEREF _Toc32737 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13690" 【考点二 有理数的乘方运算】  PAGEREF _Toc13690 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc8165" 【考点三 程序流程图与有理数计算】  PAGEREF _Toc8165 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9906" 【考点四 含乘方的有理数混合运算】  PAGEREF _Toc9906 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18706" 【考点五 乘方的应用】  PAGEREF _Toc18706 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25291" 【考点六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】  PAGEREF _Toc25291 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc25477" 【过关检测】  PAGEREF _Toc25477 \h 8【典型例题】【考点一 有理数幂的概念理解】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（    ）A． B． C． D．n2【答案】C【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.【详解】解：代数式可以表示为；故选：C.【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.【变式训练】1.（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）表示的意义是(    )A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加【答案】C【分析】根据幂的意义分析即可求解．【详解】解：表示的意义是个相乘，故选：C．【点睛】本题考查了幂的意义，掌握幂的意义是解题的关键．2.（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）在中，底数是 ，指数是 ；【答案】 4【分析】根据幂的相关概念解答即可．【详解】解：在中，底数是，指数是4，故答案为：，4．【点睛】本题考查了幂的概念，,一般地中a叫做底数，n叫做指数，正确理解定义是解题的关键．【考点二 有理数的乘方运算】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)； (2)； (3)【答案】(1)8(2)(3)【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可；（2）根据乘方法则计算；（3）根据乘方法则计算．【详解】（1）解：；（2）；（3）．【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用．【变式训练】1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)．【答案】(1)625(2)(3)0.027【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案；（2）先计算2的立方，即可得出答案；（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．【详解】（1）；（2）；（3）．【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键．2.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．【答案】(1)(2)2.25(3)(4)(5)8【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）（5）．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．【考点三 程序流程图与有理数计算】例题：（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ．【答案】0【分析】按照程序流程图，把代入求解即可．【详解】解：由题意得，，故答案为：0．【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．【变式训练】1.（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ．【答案】4【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可．【详解】解：输入的值为1时，由图可得：；输入可得：；∴输出的值应为4；故答案为：4．【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键．2.（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ．【答案】5【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可．【详解】解：把代入得：，由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将输入，得：，满足大于3的要求；则输出结果是5，故答案为：5．【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．【考点四 含乘方的有理数混合运算】例题：（2022秋·陕西西安·七年级西安市东方中学校考期末）计算：【答案】【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算：【答案】【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．2.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：．【答案】【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．【详解】原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．3.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：(1)． (2)．【答案】(1)7(2)【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；（2）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用．【考点五 乘方的应用】例题：（2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？  【答案】第次后可拉出根面条．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：，答：这样捏合到第6次后可拉出根面条．【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．【变式训练】1.（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：  (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？【答案】(1)16(2)3【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；（2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞，经过2小时后，可分裂成16个细胞；（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞；第2个30分钟分裂成4个，即个；…依此类推，第个30分钟分裂为个细胞；，解得，经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．【考点六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式训练】1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：,故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．2.（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：亿，故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．【过关检测】一、单选题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）下列各组数中，数值相等的是（    ）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题．【详解】解：A、因为，，所以和不相等，故A不符合题意；B、因为，，所以和相等，故B符合题意．C、因为，，所以和不相等，故C不符合题意．D、因为，，所以和不相等，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键．2．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：万．故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．3．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（    ）甲：                  乙：丙：     丁：A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁【答案】C【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可．【详解】解：，故甲的做法是错误的；，故乙的做法是错误的；，故丙的做法正确；，故丁的做法错误．故选：C．【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．4．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列数或式子：，，，0，在数轴上所对应的点一定在原点右边的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】在原点右边的数即正数，所以先根据有理数乘方的定义化简各数，继而可得答案．【详解】解：，，，0，，∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，故选：B．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正确理解题意，依据数轴上原点右边的数表示正数，左边的数表示负数及有理数的乘方运算法则即可解决．5．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）  A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时【答案】B【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可．【详解】解：第一次：30分钟变成2个；第二次：1小时变成个；第三次：1.5小时变成个；第四次：2小时变成个；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点．二、填空题6．（2022秋·七年级单元测试）计算： ， ．【答案】 【分析】直接根据乘方运算法则求解即可．【详解】解：；；故答案为：；．【点睛】本题考查有理数的乘方运算，掌握基本的运算法则是解题关键．7．（2023春·福建福州·八年级统考期末）数据用科学记数法表示为 ．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．8．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 .【答案】4【分析】把代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值．【详解】解：由题意得：，∴，∴输出y的值为4．故答案为：4【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义．9．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）我们常用十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如表示的数为），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 ． 【答案】67【分析】根据七进制列式计算即可得．【详解】解：因为七进制是满七进一，所以孩子自出生后的天数是，故答案为：67．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解七进制是解题关键．10．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算：①    ②    ③    ④其中一定成立的有 （把你认为正确的序号都填上）．【答案】①②/②①【分析】根据幂的意义，绝对值的意义分别判断即可．【详解】解：①，故正确；②，故正确；③，故错误；④当时，；当时，，故错误；故答案为：①②．【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，体现了分类讨论的思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．三、解答题11．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)； (4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键．12．（2023春·上海嘉定·六年级统考期末）计算：【答案】【分析】先根据平方运算、绝对值运算、计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)； (2)．(3)； (4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解；（2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解；（3）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解；（4）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键．14．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：，，，，【答案】数轴见解析，【分析】首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用小于号连接即可．【详解】解：，，，，如图所示：∴．【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小以及绝对值化简和乘方运算，关键是掌握在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．15．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题(1)计算：(2)认真阅读材料，解决问题：计算：分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；解：原式的倒数是：故原式．请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：【答案】(1)5；(2)【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值；（2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：原式的倒数是：，故原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算律是解题关键．16．（2023·浙江·七年级假期作业）规定:.(1)求的值；(2)若，求x的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据原式将、代入即可求解；（2）将，代入等式，即可求解x的值．【详解】（1）原式；（2），，，．【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．17．（2023·浙江·七年级假期作业）已知与互为相反数，与互为倒数．(1) ； ．(2)当时，求的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据相反数、倒数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数，相乘等于1的两个数互为倒数；（2）根据绝对值以及平方的非负性，求得的值，进而根据有理数的乘方进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数．∴故答案为：；．（2）由题（1）可知，          由绝对值的非负性、平方数的非负性得：    解得：          将和的值代入得：，【点睛】本题考查了相反数、倒数的定义，非负性以及有理数的乘方运算．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与；（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；（2）根据（1）的结果即可得到答案；（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）①，；②，；（2）；（3），理由如下：；（4）．【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．