2024年人教版八年级下册数学期中复习培优试卷附解析

这是一份2024年人教版八年级下册数学期中复习培优试卷附解析，共63页。

A．4B．3C．4D．2
2．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3B．2C．D．4
3．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
4．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（ ）
A．B．C．1D．
6．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A．3B．C．D．
7．下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
8．函数y＝+中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1
9．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．快车的速度为km/h
D．慢车的速度为125km/h
11．下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题）
12．实数a，b满足（2a+b）2+＝0，那么a＝ ，b＝ ．
13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是 三角形．
14．阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为 ．
15．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为 ．
17．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（3，3），点E、F分别在边BC、BA上，CE＝1，若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是 ．
18．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
19．如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上一点，以线段AG为边作正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H，则∠BHD＝ °；若，AG＝1，则EB＝ ．
20．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F．AB＝6．CF＝2，则CE＝ ．
21．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是 ．
三．解答题（共24小题）
22．若+＝，求﹣的值．
23．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
24．观察下面的式子：
S1＝1++，S2＝1++，S3＝1++…Sn＝1++
（1）计算：＝ ，＝ ；猜想＝ （用n的代数式表示）；
（2）计算：S＝+++…+（用n的代数式表示）．
25．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n．
化简：．
∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
26．阅读下列解题过程：
＝＝＝＝﹣2；
＝＝＝．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝ ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝ ；
（3）利用上面所提供的解法，请求
++++…+的值．
27．已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）＝0，求a+b的值．
28．计算：
（1）+
（2）（+1）（﹣1）+
（3）．
29．如图，实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣|c﹣b|﹣|a+c|．
30．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．
31．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
32．如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）P为BC上的中点，求证：AB2﹣AP2＝PB•PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
33．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足．试判断△ABC的形状，并说明理由．
34．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC上的高AD为12，且△ABC的周长为36，求腰长AB．
35．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，CE平分∠ACB，AB＝20，AC＝15
（1）求AD的长；
（2）求证：△AEF是等腰三角形．
36．若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定这个三角形的形状．
37．如图，在四边形ABCD中，AB＝，AD＝1，BC＝CD＝，且∠BCD＝90°，试求四边形ABCD的面积．
38．小青家有一块如图的四边形土地要流转出去，其中∠D＝∠B＝90°，∠C＝135°，用激光测距仪测得：BC＝（千米），DC＝3（千米），求这块四边形土地的面积．
39．△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，CD⊥AB于D，
（1）求AC长；
（2）求CD长．
40．【问题背景】
勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法
【定理表述】
（1）用文字语言叙述勾股定理的内容：
【定理证明】
（2）以图1中的直角三角形为基础，延长BE到点C，使CE＝a，过点C作：CD⊥CE，使CD＝b，连接DE，AD（如图2），则AE⊥DE，AD＝c，四边形ABCD是以a为底、（a+b）为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．
【定理应用】
（3）当a≠b时，利用图2，可以证明a+b＜c．
证明步骤如下：
如图3，过点A作AF⊥CD于点F，则AF＜AD，∠AFC＝90°，
∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴四边形ABCF为 ，
∴AF＝ ，
∴BC AD，
又∵BC＝a+b，AD＝c，
∴a+b＜c．
41．计算与求值．
已知a＝，求﹣的值．
42．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
43．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．则BE与DE之间的数量关系是 ．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 ．
44．阅读理解．
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．【问题背景】：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】：
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
【探索延伸】：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
45．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是多少米？
（2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
（3）小明在书店停留了多少分钟？
（4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（ ）
A．4B．3C．4D．2
【答案】C
【分析】连接QG．解直角三角形求出DF，再证明QM+QN＝DF，即可解决问题．
【解答】解：连接QG．
∵DG：GE＝1：3，
∴可以假设DG＝k，EG＝3k，
∵GF＝EG，∠D＝90°，
∴FG＝3k，DF＝＝2k，
∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2，
∴48＝16k2+8k2，
∴k＝或﹣（舍弃），
∴DF＝4，
∵S△EFG＝•EG•DF＝•EG•QM+•GF•QN，
∴QM+QN＝DF＝4，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3B．2C．D．4
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB，即可得出答案．
【解答】解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC＝OB是解此题的关键．
3．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，
∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，
∵AD∥BC，
∴∠DHP＝∠FHC，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝5，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝5，
∴PE＝＝＝，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝EP＝，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】过H点作HM⊥AC于M，由作图得CH平分∠ACD，根据角平分线得点H到CA、CD的距离相等，然后证明Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），得CD＝CM＝3，设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，利用勾股定理列方程求出t的值，进而可以解决问题．
【解答】解：过H点作HM⊥AC于M，如图，
由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
∵AB＝3，BC＝4．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，
解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
∴HM＝1.5，
，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×6＝3，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用是解题的关键．
7．下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的意义求解即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．
故选：D．
【点评】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
8．函数y＝+中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≤2且x≠1．
故选：B．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可判断．
【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
选项C中的曲线，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，
故选：C．
【点评】考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键．
10．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．快车的速度为km/h
D．慢车的速度为125km/h
【答案】C
【分析】A、根据B点的纵坐标的意义回答问题；
B、B﹣C﹣D段表示两车的车距与时间的关系；
C、快车的速度＝﹣；
D、慢车的速度＝．
【解答】解：A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误；
B、B﹣C﹣D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地故本选项错误；
C、快车的速度＝﹣＝（km/h）；故本选项正确；
D、慢车的速度＝＝（km/h）；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
11．下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；
B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；
C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
二．填空题（共10小题）
12．实数a，b满足（2a+b）2+＝0，那么a＝ ﹣4 ，b＝ 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于平方、绝对值及二次根式都具有非负性，根据非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0，得出关于a、b的方程组，再根据二次根式的性质和分式的意义，确定a的取值范围，从而求出a、b的值．
【解答】解：由题意，得，
解得．
故a＝﹣4，b＝8．
【点评】解决此题的关键：
（1）掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0；
（2）几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是 等腰直角 三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据非负数的性质求出a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，进而判断出△ABC的形状．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
∵a2+b2﹣c2＝0，
∴△ABC是直角三角形，
∵a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为等腰直角．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及非负数的性质，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断．
14．阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为 5 ．
【答案】5．
【分析】作EG⊥AC，垂足为G．根据△ABF∽△CDF，求出AF＝AC＝×8＝，FC＝，然后利用勾股定理求出BF，DF，然后求出EB，EF．根据△ABF∽△GEF，求出EG、FG，然后利用勾股定理求出AE的长．
【解答】解：作EG⊥AC，垂足为G．
∵AB∥CD
∴△ABF∽△CDF，
∴＝，
∵AB＝5，DC＝11，
∴＝，
∴AF＝AC＝×8＝；
∴FC＝8﹣2.5＝，
∴BF＝＝，
DF＝＝，
∴EB＝×（+）＝4，
∴EF＝4﹣＝．
易得，△ABF∽△GEF，
∴，，
∴，，
∴EG＝3，FG＝，
∴AG＝+＝4，
在Rt△AEG中，AE＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
15．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ 2018 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．
【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+＝m．
化简，得＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为 ．
【答案】2．
【分析】连接AC、AE、CF、CG，证△ADE≌△CDG，得AE＝CG，则d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE，故当点A、E、F、C在同一直线上时，DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：如图，连接AC、AE、CF、CG，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝CD，DE＝DG＝EF，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE，
∴当点A、E、F、C在同一直线上时（此时点F与点C重合），DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，
在Rt△ABC中，AC＝，
∴d1+d2+d3的最小值为．
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路线问题，利用转化的思想，理解当A、E、F、C四点共线时d1+d2+d3取得最小值是解题的关键．
17．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（3，3），点E、F分别在边BC、BA上，CE＝1，若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是 ．
【答案】．
【分析】延长BE到G，使CG＝AE，连接OG，EF．由△OAF≌△OCG（SAS），推出∠AOF＝∠COG，OF＝OG，由△OFE≌△OGE（SAS），推出EF＝GE＝AF+CE，设AF＝x，则EF＝1+x，BF＝3﹣x，在Rt△EBF中，根据BE2+BF2＝EF2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BE到G，使CG＝AF，连接OG，EF．
∵四边形OABC为正方形，且点B坐标为（3，3），
∴OA＝OC＝3，∠A＝∠OCG＝90°；
在△OAF与△OCG中，
，
∴△OAF≌△OCG（SAS），
∴∠AOF＝∠COG，OF＝OG，
∴∠EOG＝∠EOC+∠AOF＝90°﹣45°＝45°；
在△OFE与△OGE中，
，
∴△OFE≌△OGE（SAS），
∴EF＝GE＝CG+CE＝AF+CE，
设AF＝x，则EF＝1+x，BF＝3﹣x，
在Rt△EBF中，根据勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，
∴22+（3﹣x）2＝（1+x）2，
∴x＝，
∴AF＝，
∴F点的纵坐标是，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
18．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 9或18 ．
【答案】9或18．
【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，
△CD'E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得AC＝＝30，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
19．如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上一点，以线段AG为边作正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H，则∠BHD＝ 90 °；若，AG＝1，则EB＝ ．
【答案】90，．
【分析】首先连接BD交AC于O，由四边形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，然后利用SAS即可证得△EAB≌△GAD，则可得EB＝GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的长，继而可得EB的长．
【解答】解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB＝GD；∠AEB＝∠AGD，
∵∠EOH＝∠AOG，
∴∠EHG＝∠EAG＝∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，
∵AG＝1，
∴OG＝OA+AG＝2，
∴GD＝＝，
∴EB＝．
故答案为：90，．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
20．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F．AB＝6．CF＝2，则CE＝ 5 ．
【答案】5．
【分析】由平行四边形的性质可求得DF＝4，再利用含30°角的直角三角形的性质求解AD，BC，BE的长，进而可求解CE的长，
【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝6，∠D＝∠B＝60°，
∵CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2＝4，
∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝AD＝2DF＝8，
∵AE⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵AB＝6，
∴BE＝AB＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求解BC，CE的长是解题的关键．
21．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是 ．
【答案】．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠DCF，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCG＝∠DAG，从而得到∠ABE＝∠DAG，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAG，
∴∠ABE＝∠DAG，
∵∠BAH+∠DAG＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三．解答题（共24小题）
22．若+＝，求﹣的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】把已知条件中的等式层层变形，向所求的代数式转化．
【解答】解：因为+＝，所以（+）2＝（）2，
x++2＝5，所以x+＝3．
所以x++1＝4，x+﹣1＝2．
即＝4，＝2．
所以﹣＝﹣＝﹣＝．
【点评】二次根式的加减运算，先根据已知条件分别求出两个被开方数的值，代值计算，体现了分步计算的优势．
23．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形的边角命名修改找出a、b、c的值，代入海伦公式即可得出结论；
（2）由三角形的面积S＝底×高÷2，代入数据，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7，
∴a＝6，b＝7，c＝5，p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6．
（2）设BC边上的高为h，
则×6×h＝6，
解得h＝2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可．
24．观察下面的式子：
S1＝1++，S2＝1++，S3＝1++…Sn＝1++
（1）计算：＝ ，＝ ；猜想＝ （用n的代数式表示）；
（2）计算：S＝+++…+（用n的代数式表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出1++1++1++…+1+，再转换成n+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
即可求出答案．
【解答】（1）解：∵S1＝1++＝，
∴＝＝；
∵S2＝1++＝，
∴＝；
∵S3＝1++＝，
∴＝；
∵Sn＝1++＝，
∴＝＝，
故答案为：，，；
（2）解：S＝+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝n+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝n+1﹣，
＝．
【点评】本题考查了二次根式的化简，主要考学生的计算能力，题目比较好，但有一定的难度．
25．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n．
化简：．
∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
26．阅读下列解题过程：
＝＝＝＝﹣2；
＝＝＝．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝ ﹣ ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝ ﹣ ；
（3）利用上面所提供的解法，请求
++++…+的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先分母有理化，再求出即可．
（2）根据已知的算式的结果得出即可．
（3）先根据已知得出原式＝﹣1+﹣+﹣+﹣+…+﹣，合并后根据平方差公式求出即可．
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝﹣；
（3）++++…+
＝﹣1+﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝10﹣1
＝9．
故答案为：﹣；﹣．
【点评】本题考查了分母有理化的应用，主要考查学生的阅读能力和计算能力．
27．已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）＝0，求a+b的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件得到+（1﹣b）＝0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，据此可得．
【解答】解：∵﹣（b﹣1）＝0，
∴+（1﹣b）＝0．
∵≥0，（1﹣b）≥0，
∴1+a＝0、1﹣b＝0，
解得：a＝﹣1、b＝1，
则a+b＝﹣1+1＝0．
【点评】本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
28．计算：
（1）+
（2）（+1）（﹣1）+
（3）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，然后合并；
（2）先进行平方差公式以及二次根式的化简，然后合并；
（3）先进行二次根式的化简，然后合并．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣
＝2；
（2）原式＝5﹣1+﹣1
＝3+；
（3）原式＝+4﹣2
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、平方差公式等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
29．如图，实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣|c﹣b|﹣|a+c|．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先由数轴可得a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，然后利用二次根式与绝对值的性质，即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，
∴a+b＜0，c﹣b＞0，a+c＜0，
∴﹣|c﹣b|﹣|a+c|＝|a+b|﹣|c﹣b|﹣|a+c|＝（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）﹣（﹣a﹣c）＝﹣a﹣b﹣c+b+a+c＝0．
【点评】此题考查了数轴、二次根式与绝对值的性质．此题难度适中，注意＝|a|＝．
30．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（2）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（3）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．
【解答】解：（1）S2+S3＝S1，
由三个四边形都是正方形则：
∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（2）∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（3）∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
【点评】本题考查的是勾股定理，此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．
31．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，
在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD＝GC，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，
则DG＝2DC＝240千米，
遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
32．如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）P为BC上的中点，求证：AB2﹣AP2＝PB•PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先连接AP，由于AB＝AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB2＝BP2+AP2，即AB2﹣AP2＝BP2，而BP＝CP，易得BP•CP＝BP2，那么此题得证；
（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD＝CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB2＝AD2+BD2，同理有AP2＝AD2+DP2，易求AB2﹣AP2的差，而BP＝BD+DP，CP＝CD﹣CP＝BD﹣DP，易求BP•CP，从而可证AB2﹣AP2＝BP•CP；
（3）AP2﹣AB2＝BP•CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知
BC＝CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP2、AB2，而BP＝BD+DP，CP＝DP﹣CD＝DP﹣BD，
易求BP•CP的值，从而可证AP2﹣AB2＝BP•CP．
【解答】证明：（1）如图所示，连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
在Rt△ABP中，AB2＝BP2+AP2，
∴AB2﹣AP2＝BP2，
又∵BP＝CP，
∴BP•CP＝BP2，
∴AB2﹣AP2＝BP•CP；
（2）成立．
如图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
同理，AP2＝AD2+DP2，
∴AB2﹣AP2＝AD2+BD2﹣（AD2+DP2）＝BD2﹣DP2，
又∵BP＝BD+DP，CP＝CD﹣DP＝BD﹣DP，
∴BP•CP＝（BD+DP）（BD﹣DP）＝BD2﹣DP2，
∴AB2﹣AP2＝BP•CP；
（3）AP2﹣AB2＝BP•CP．
如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ADP中，AP2＝AD2+DP2，
∴AP2﹣AB2＝（AD2+DP2）﹣（AD2+DB2）＝PD2﹣BD2，
又∵BP＝BD+DP，CP＝DP﹣CD＝DP﹣BD，
∴BP•CP＝（BD+DP）（DP﹣BD）＝DP2﹣BD2，
∴AP2﹣AB2＝BP•CP．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．解题的关键是用BD、DP的和差来表示BP和CP．
33．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足．试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】△ABC是直角三角形，理由见解析．
【分析】根据绝对值、平方的非负性就可以求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理就可以证明△ABC是直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形．
理由：∵，，，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查绝对值、平方的非负性，二次根式的化简，勾股定理的逆定理，是常考题型．解题的关键是要利用绝对值、平方的非负性就可以求出a，b，c的值．
34．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC上的高AD为12，且△ABC的周长为36，求腰长AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，利用等腰三角形“三合一”的性质推知2x+2y＝36，结合勾股定理x2﹣y2＝36列出关于x、y的方程组，通过方程组可以求得x的值．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，AB＝AC，AD为BC上的高，
∴BD＝CD．
故设AB＝AC＝x，BD＝CD＝y．则由题意，得
，
解得，，
所以AB的长为13．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．此题是借助于二元一次方程组来求得边AB的长度．
35．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，CE平分∠ACB，AB＝20，AC＝15
（1）求AD的长；
（2）求证：△AEF是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理来求BC的长度，利用面积法来求AD的长度．
（2）先根据余角的性质、角平分线的性质、对顶角相等得到∠AEF＝∠AFE，再根据等腰三角形的判定求解即可．
【解答】（1）解：由勾股定理得：BC＝＝25，
根据三角形面积计算公式，
解得：；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DCF+∠DFC＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCF＝∠ACE，
∵∠DFC＝∠AFE（对顶角相等），
∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了等腰三角形的判定．
36．若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定这个三角形的形状．
【答案】见试题解答内容
【分析】把等式两边分解因式，左右两边同除以相同的因式，可得c2＝a2+b2，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2），
∵a+b≠0，
∴a＝b或c2＝a2+b2，
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，同时要灵活掌握分解因式．
37．如图，在四边形ABCD中，AB＝，AD＝1，BC＝CD＝，且∠BCD＝90°，试求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接BD．构建直角△ABD、直角△BCD，则四边形ABCD的面积等于图中两直角三角形的面积之和．
【解答】解：如图，连接BD，在△ACD中，∠BCD＝90°，
由勾股定理得：BD2＝CD2+BC2＝2．
在△ADB中，∵AD2+BD2＝AB2．
由勾股定理的逆定理得：∠ADB＝90°，则△ADB是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AD•AB+BC•CD＝2
即四边形ABCD的面积是2．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了勾股定理的逆定理的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．
38．小青家有一块如图的四边形土地要流转出去，其中∠D＝∠B＝90°，∠C＝135°，用激光测距仪测得：BC＝（千米），DC＝3（千米），求这块四边形土地的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AD、BC相交于E，证出△DCE和△ABE都是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积＝△ABE的面积﹣△DCE的面积，然后求出即可．
【解答】解：延长AD、BC相交于E，如图：
∵∠ADC＝∠B＝90°，∠BCD＝135°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°，∠CDE＝90°，
∴△DCE和△ABE都是等腰直角三角形，
∴DE＝DC＝3，AB＝BE，
∴CE＝DC＝6，
∴AB＝BE＝BC+CE＝+6，
∴四边形ABCD的面积＝△ABE的面积﹣△DCE的面积＝×（+6）2﹣×（3）2＝10+6（平方千米）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理，证出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．
39．△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，CD⊥AB于D，
（1）求AC长；
（2）求CD长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝＝4；
（2）∵CD⊥AB，AB＝5，由（1）知AC＝4，
∴AB•CD＝AC•BC，即CD＝＝＝．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
40．【问题背景】
勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法
【定理表述】
（1）用文字语言叙述勾股定理的内容： 如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2
【定理证明】
（2）以图1中的直角三角形为基础，延长BE到点C，使CE＝a，过点C作：CD⊥CE，使CD＝b，连接DE，AD（如图2），则AE⊥DE，AD＝c，四边形ABCD是以a为底、（a+b）为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．
【定理应用】
（3）当a≠b时，利用图2，可以证明a+b＜c．
证明步骤如下：
如图3，过点A作AF⊥CD于点F，则AF＜AD，∠AFC＝90°，
∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴四边形ABCF为 矩形 ，
∴AF＝ BC ，
∴BC ＜ AD，
又∵BC＝a+b，AD＝c，
∴a+b＜c．
【答案】【定理表述】（1）如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【定理证明】（2）证明过程见解答部分；
【定理应用】（3）矩形；BC；＜．
【分析】【定理表述】（1）由勾股定理得出结论；
【定理证明】（2）利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED＝90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a2+b2＝c2；
【定理应用】（3）根据题干中的过程及矩形的性质可直接得出结论．
【解答】【定理表述】（1）解：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
故答案为：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【定理证明】（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB＝∠EDC；
又∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°；
∴∠AED＝90°；
∴S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，
∴（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+ab+c2，
整理得a2+b2＝c2．
【定理应用】（3）如图3，过点A作AF⊥CD于点F，则AF＜AD，∠AFC＝90°，
∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴四边形ABCF为矩形，
∴AF＝BC，
∴BC＜AD，
又∵BC＝a+b，AD＝c，
∴a+b＜c．
故答案为：矩形；BC；＜．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，涉及全等三角形的判定和性质，矩形的性质，面积分割法，勾股定理等知识．熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键．
41．计算与求值．
已知a＝，求﹣的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先关键a的值求得＝2+，a﹣1＝1﹣＜0，然后把原代数式变形为a﹣1+，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵a＝，
∴a＝2﹣，
∴＝2+，a﹣1＝1﹣＜0，
∴﹣
＝+
＝a﹣1+
＝1﹣+2+
＝3．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，利用完全平方公式把代数式变形，问题简单易懂．
42．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60﹣4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
43．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．则BE与DE之间的数量关系是 BE＝DE ．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 ．
【答案】问题引入：BE＝DE，见解析；
（1）PC＝PG；见解析；
（2）．
【分析】问题引入：利用ASA证明△AEF≌△CED，可得EF＝DE，进而可以解决问题；
问题延伸（1）延长GP交CD于点M，根据正方形的性质证明△DPM≌△FPG（ASA），可得PM＝PG，GF＝DM，根据PC为Rt△MCG斜边上的中线，进而可以解决问题；
（2）根据正方形的性质设BG＝GF＝DM＝x，可得CM＝CG＝3﹣x，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：问题引入：BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
故答案为：BE＝DE；
问题延伸：（1）PC＝PG，理由如下：
如图，延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为正方形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC＝PG＝PM，
∴PC＝PG；
（2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，
∴CM＝CG＝3﹣x，
∵PC＝PG＝PM＝，
∴MG＝2，
∵MC2+CG2＝MG2，
∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（2）2，
∴x＝1，
∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2，
∴CF＝＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．
44．阅读理解．
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．【问题背景】：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】：
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF＝BE+FD；
（2）结论仍然成立，理由见解析过程；
（3）两舰艇之间的距离为210海里．
【分析】【初步探索】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到结论；
【探索延伸】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则结论可求；
【结论运用】连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到：四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝∠AOB，符合【探索延伸】具备的条件，则EF＝AE+BF．
【解答】解：【初步探索】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，如图，
在Rt△ABE和Rt△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAD＝∠EAG．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠EAG，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵GF＝GD+DF＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+FD；
【探索延伸】结论仍然成立：EF＝BE+DF．
证明：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，如图，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAD＝∠EAG．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠EAG，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵GF＝GD+DF＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
【结论运用】连接EF，延长AE、BF交于点C，如图，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°，
∴四边形OABC符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝AE+BF＝1.5×60+1.5×80＝210（海里），
∴此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点评】本题是四边形综合题，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
45．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是多少米？
（2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
（3）小明在书店停留了多少分钟？
（4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图象，观察学校与小明家的纵坐标，可得答案；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
（3）读图，对应题意找到其在书店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（4）读图，计算可得答案，注意要计算路程．
【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，
故小明在12﹣14分钟最快，速度为＝450米/分．
（3）根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，
故小明在书店停留了4分钟．
（4）读图可得：小明共行驶了1200+600+900＝2700米，共用了14分钟．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
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