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2024年人教版八年级下册数学期中复习（易错点）试卷附解析(1)
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这是一份2024年人教版八年级下册数学期中复习（易错点）试卷附解析(1)，共50页。试卷主要包含了若2＜a＜3，则等于，下列各式一定为二次根式的是，如果有意义，则x的取值范围是，下列几组数中，是勾股数的有等内容，欢迎下载使用。
1．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
2．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
3．已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．10B．12C．10D．15
4．下列各式一定为二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≤1且x≠﹣2C．x≠﹣2D．x＜1且x≠﹣2
6．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组B．2组C．3组D．4组
7．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B＝∠C
8．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
10．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠B＝∠C，∠A＝∠D
11．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）
A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．
12．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．B．3C．D．
13．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．C．2D．4
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（ ）
A．B．C．1D．
17．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．50°
18．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km．
A．4B．5C．6D．
19．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a2﹣b2＝c2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．
20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．9C．3D．3
21．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．C．D．4
22．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
23．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ）
A．3B．C．D．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A．34B．25C．20D．16
25．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
26．下列四个图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
27．下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x函数的是（ ）
A．B．C．D．
28．下列图象中，表示y是x的函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
29．函数y＝﹣（x+1）0中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x＞﹣2
C．x＞﹣2且x≠﹣1D．x≥﹣2且x≠﹣1
二．填空题（共14小题）
30．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 ．
31．若代数式有意义，则x的取值范围为 ．
32．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ．
33．将化简成最简二次根式为 ．
34．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 ．
35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为 ．
36．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
37．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
38．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
39．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．
40．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
41．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 cm2．
42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
43．函数y＝的自变量x的取值范围为 ．
三．解答题（共8小题）
44．计算：
（1）（5﹣）÷﹣×；
（2）．
45．计算：
（1）；
（2）．
46．先化简，再求值：，其中x＝．
47．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使记m2+n2＝a，并且mn＝，则将a±2，变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
因为3+2＝1+2+2＝12+（）2+2＝（1+）2
所以＝＝1+
仿照上例化简下列各式：
（1）；
（2）．
48．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
49．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
50．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
51．小明骑电动车从家出发去学校，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往学校．小明从家到学校的整个过程中，离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题．
（1）小明家到学校的距离是 米；小明在书店停留的时间是 分钟；
（2）买到书后，小明从新华书店到学校骑车的平均速度是多少？
（3）本次去学校途中，小明一共行驶了多少米？
2024年人教版八年级下册数学期中复习（易错点）试卷附解析
参考答案与试题解析
一．选择题（共29小题）
1．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【答案】C
【分析】由x得出x＜0，再利用二次根式的性质来化简求解．
【解答】解：由x可知x＜0，
所以x＝﹣＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算．从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
2．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
【答案】C
【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
3．已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．10B．12C．10D．15
【答案】D
【分析】由a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣可得a﹣c＝4，然后整体代入．
【解答】解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
∴a﹣c＝4，
∴原式＝＝＝＝15．
故选：D．
【点评】此题的关键是把原式转化为的形式，再整体代入．
4．下列各式一定为二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项所给根式进行判断即可．
【解答】解：A、当x＝0时，被开方数是﹣1＜0，所以它不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当x＜0时，它不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、被开方数大于0，所以它是二次根式，故本选项符合题意；
D、当x＜﹣1时，被开方数是x+1＜0，它不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．解题的关键是明确二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
5．如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≤1且x≠﹣2C．x≠﹣2D．x＜1且x≠﹣2
【答案】B
【分析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；此题要同时满足这两个条件．
【解答】解：由分式的分母不为0，得2+x≠0，即x≠﹣2．
又因为二次根式的被开方数不能是负数，
所以有1﹣x≥0，得x≤1，
所以x的取值范围是x≤1，且x≠﹣2．
故选：B．
【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．
6．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】勾股数是满足a2+b2＝c2 的三个正整数，据此进行判断即可．
【解答】解：∵满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，
∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
7．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B＝∠C
【答案】C
【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论．
【解答】解：A、∵52+42＝25+16＝41＝（）2，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
8．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【答案】A
【分析】根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断．
【解答】解：∵（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，是解题关键．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
10．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠B＝∠C，∠A＝∠D
【答案】C
【分析】平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
【解答】解：A、
根据AB∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．
11．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）
A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．
【答案】B
【分析】取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE．
【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，
∵∠MON＝90°，
∴OE＝AB＝2．
在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．
在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，
∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．
12．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】依据题意，连接BM，记BD与MN交于点O，先证△DMO≌△BNO，从而得DM＝BN＝2，再由线段MN垂直平分BD从而BM＝DM＝2，又在Rt△BAM中可得AM的值，从而再在Rt△BAD中可求得BD．
【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．
∵线段MN垂直平分BD，
∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，
∴△DMO≌△BNO（ASA）．
∴DM＝BN＝BM＝2．
在Rt△BAM中，
∴AB＝＝．
∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
13．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断
【答案】B
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条彩带宽度相同，
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，
∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，
∵AD∥BC，
∴∠DHP＝∠FHC，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝5，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝5，
∴PE＝＝＝，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝EP＝，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．C．2D．4
【答案】A
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，
∴AC＝2，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝，
∴OP′＝1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】过H点作HM⊥AC于M，由作图得CH平分∠ACD，根据角平分线得点H到CA、CD的距离相等，然后证明Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），得CD＝CM＝3，设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，利用勾股定理列方程求出t的值，进而可以解决问题．
【解答】解：过H点作HM⊥AC于M，如图，
由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
∵AB＝3，BC＝4．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，
解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
∴HM＝1.5，
，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．50°
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝BC，PE＝AD，进而证明PF＝PE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF＝BC，
同理可得：PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km．
A．4B．5C．6D．
【答案】C
【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA＝10﹣4＝6（km）．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．
19．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a2﹣b2＝c2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵a2﹣b2＝c2，
∴a2＝c2+b2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
C、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．9C．3D．3
【答案】C
【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
∴EF＝3．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
21．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得OD＝，然后根据矩形的性质得出CE＝OD＝．
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
23．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得到AC，CF，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，则利用勾股定理得到AF，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．
【解答】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AC＝AB＝4，CF＝CE＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝，
∵T为AF的中点，
∴CT＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质．关键是作辅助线构造直角三角形．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A．34B．25C．20D．16
【答案】B
【分析】作BE⊥x轴于E，如图，证明△ADO≌△BAE得到OD＝AE＝4，然后利用勾股定理计算出AD2，从而得到正方形ABCD的面积．
【解答】解：作BE⊥x轴于E，如图，
∵A（﹣3，0），B（1，b），
∴AE＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠BAE，
在△ADO和△BAE中，
∴△ADO≌△BAE，
∴OD＝AE＝4，
在Rt△AOD中，AD2＝32+42＝52＝25，
∴正方形ABCD的面积为25．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．
【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB＝OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD＝×16＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出BE＝DE，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．
26．下列四个图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的定义，对于给定的x的值，y都有唯一的值与其对应，进而判断得出．
【解答】解：在图象A，B，C中，每给x一个值，y都有2个值与它对应，所以A，B，C中y不是x的函数，
在D中，给x一个正值，y有一个值与之对应，所以y是x的函数．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义．利用函数定义结合图象得出是解题关键．
27．下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x函数，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
28．下列图象中，表示y是x的函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，可能有两个y值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的x的值，可能有两个y值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
29．函数y＝﹣（x+1）0中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x＞﹣2
C．x＞﹣2且x≠﹣1D．x≥﹣2且x≠﹣1
【答案】D
【分析】根据二次根式（a≥0），以及a0＝1（a≠0）可得x+2≥0且x+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x+2≥0且x+1≠0，
∴x≥﹣2且x≠﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，零指数幂，熟练掌握二次根式（a≥0），以及a0＝1（a≠0）是解题的关键．
二．填空题（共14小题）
30．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 2008 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
【解答】解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
【点评】解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．
31．若代数式有意义，则x的取值范围为 x＞3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
32．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】24＝22×6，所以要想能开平方，必须再乘一个6．
【解答】解：＝2，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能够正确把根式里的写成平方的形式是解题的关键．
33．将化简成最简二次根式为 ．
【答案】．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，能够正确化简二次根式是解题的关键．
34．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 5或 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得
32+42＝x2，所以x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得
32+x2＝42，所以x＝；
所以第三边的长为5或．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为 21 ．
【答案】21．
【分析】由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出a2+b2＝13，（b﹣a）2＝5，进而得出2ab＝8，再由完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：由题意得：a2+b2＝13，（b﹣a）2＝5，
∴b2﹣2ab+a2＝5，
∴2ab＝a2+b2﹣5＝13﹣5＝8，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+8＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系及完全平方公式是解决问题的关键．
36．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
【答案】．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
37．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 10 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：将长方体展开，连接AB′，
∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．
故答案为：10．
【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．
38．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
【答案】见试题解答内容
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为＝25（尺）．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
39．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 25 dm．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得x＝25．
故答案为25．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
40．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 20 ．
【答案】20．
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
41．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 49 cm2．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，根据正方形的面积公式等于边长的平方，四边形A的面积是a2，四边形B的面积是b2，a、b是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有a2+b2＝e2；同理，四边形C的面积是c2，四边形D的面积是d2，c、d是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有c2+d2＝f2；根据正方形的对边相等，e、f就是下面大直角三角形的直角边，根据勾股定理，得到e2+f2＝g2，g是最大的正方形边长为7cm，所以正方形A、B、C、D面积之和为7×7平方厘米．
【解答】解：
7×7＝49（平方厘米）
答：正方形A、B、C、D面积之和为49平方厘米．
故答案为：49．
【点评】此题考查勾股定理问题，灵活应用勾股定理以及正方形的性质来解决问题是关键．
42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 2.4 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5（cm），
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
即×4×3＝×5•CD，
解得CD＝2.4（cm），
∴EF＝2.4cm．
故答案为2.4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
43．函数y＝的自变量x的取值范围为 x≥﹣1且x≠3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据（a≥0）以及分母不能为0，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+1≥0且x﹣3≠0，
∴x≥﹣1且x≠3，
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握（a≥0）以及分母不能为0是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
44．计算：
（1）（5﹣）÷﹣×；
（2）．
【答案】（1）6+；
（2）5+2．
【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（5﹣）÷﹣×
＝5÷﹣÷﹣+2
＝5﹣﹣+2
＝10﹣4﹣+2
＝6+；
（2）
＝3+2+1﹣（8﹣9）
＝3+2+1+1
＝5+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
45．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）先化简绝对值，再根据二次根式的性质化简求值，即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
46．先化简，再求值：，其中x＝．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
47．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使记m2+n2＝a，并且mn＝，则将a±2，变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
因为3+2＝1+2+2＝12+（）2+2＝（1+）2
所以＝＝1+
仿照上例化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【分析】仿照例题利用完全平方根是进行化简即可．
【解答】解：（1）原式＝＝＝2+．
（2）原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查的是二次根式的化简，将被开方数变形为完全平方的形式是解题的关键．
48．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．
【解答】解：连接BD．
∵∠A＝90°，AB＝2，AD＝，
∴根据勾股定理可得BD＝3，
又∵CD＝5，BC＝4，
∴CD2＝BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．
【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
49．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【答案】【三角形中位线定理】见解析；
【应用】135°；
【拓展】见解析．
【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MH＝AC，NH∥BD且NH＝BD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NH＝BD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
50．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据正方形的性质可得AD＝AF，∠DAF＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB＝90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD＝CF，从而求出CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝BC+CD；
（3）①与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝CD﹣BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD＝135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠ABD，再求出∠FCD＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC＝DF，再根据正方形的对角线相等求出OC＝OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【解答】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD＝CF，
∵BD＝BC﹣CD，
∴CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，
所以，CF＝BC+CD；
（3）①与（1）同理可得，BD＝CF，
所以，CF＝CD﹣BC；
②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
则∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°，
∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC＝DF，
∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．
51．小明骑电动车从家出发去学校，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往学校．小明从家到学校的整个过程中，离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题．
（1）小明家到学校的距离是 4800 米；小明在书店停留的时间是 8 分钟；
（2）买到书后，小明从新华书店到学校骑车的平均速度是多少？
（3）本次去学校途中，小明一共行驶了多少米？
【答案】（1）4800；8；（2）450米/分；（3）6800米．
【分析】（1）根据图象即可直接得出小明家离学校的距离是4800米，也可得出小明在书店停留了8分钟；
（2）根据图象可求出小明从书店去学校的路程和所用时间，再利用速度＝路程÷时间求解即可；
（3）根据函数图象可知路程为3段，将其相加即可．
【解答】解：（1）根据函数图象可知小明家离学校的距离是4800米．
24﹣16＝8（分钟）
故小明在书店停留了8分钟；
故答案为：4800；8；
（2）小明从书店去学校的路程为4800﹣3000＝1800（米），
所用时间为28﹣24＝4（分钟），
小华从书店到学校骑车的平均速度是1800÷4＝450（米/分）；
（3）4000+（4000﹣3000）+（4800﹣3000）＝6800（米），
故小华一共行驶了6800米．
【点评】本题主要考查函数的图象，解题的关键在于能够正确读懂函数图象上点的坐标的意义．
1．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
2．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
3．已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．10B．12C．10D．15
4．下列各式一定为二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≤1且x≠﹣2C．x≠﹣2D．x＜1且x≠﹣2
6．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组B．2组C．3组D．4组
7．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B＝∠C
8．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
10．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠B＝∠C，∠A＝∠D
11．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）
A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．
12．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．B．3C．D．
13．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．C．2D．4
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（ ）
A．B．C．1D．
17．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．50°
18．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km．
A．4B．5C．6D．
19．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a2﹣b2＝c2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．
20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．9C．3D．3
21．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．C．D．4
22．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
23．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ）
A．3B．C．D．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A．34B．25C．20D．16
25．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
26．下列四个图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
27．下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x函数的是（ ）
A．B．C．D．
28．下列图象中，表示y是x的函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
29．函数y＝﹣（x+1）0中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x＞﹣2
C．x＞﹣2且x≠﹣1D．x≥﹣2且x≠﹣1
二．填空题（共14小题）
30．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 ．
31．若代数式有意义，则x的取值范围为 ．
32．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ．
33．将化简成最简二次根式为 ．
34．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 ．
35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为 ．
36．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
37．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
38．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
39．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．
40．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
41．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 cm2．
42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
43．函数y＝的自变量x的取值范围为 ．
三．解答题（共8小题）
44．计算：
（1）（5﹣）÷﹣×；
（2）．
45．计算：
（1）；
（2）．
46．先化简，再求值：，其中x＝．
47．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使记m2+n2＝a，并且mn＝，则将a±2，变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
因为3+2＝1+2+2＝12+（）2+2＝（1+）2
所以＝＝1+
仿照上例化简下列各式：
（1）；
（2）．
48．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
49．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
50．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
51．小明骑电动车从家出发去学校，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往学校．小明从家到学校的整个过程中，离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题．
（1）小明家到学校的距离是 米；小明在书店停留的时间是 分钟；
（2）买到书后，小明从新华书店到学校骑车的平均速度是多少？
（3）本次去学校途中，小明一共行驶了多少米？
2024年人教版八年级下册数学期中复习（易错点）试卷附解析
参考答案与试题解析
一．选择题（共29小题）
1．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【答案】C
【分析】由x得出x＜0，再利用二次根式的性质来化简求解．
【解答】解：由x可知x＜0，
所以x＝﹣＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算．从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
2．若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
【答案】C
【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
3．已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．10B．12C．10D．15
【答案】D
【分析】由a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣可得a﹣c＝4，然后整体代入．
【解答】解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
∴a﹣c＝4，
∴原式＝＝＝＝15．
故选：D．
【点评】此题的关键是把原式转化为的形式，再整体代入．
4．下列各式一定为二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项所给根式进行判断即可．
【解答】解：A、当x＝0时，被开方数是﹣1＜0，所以它不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当x＜0时，它不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、被开方数大于0，所以它是二次根式，故本选项符合题意；
D、当x＜﹣1时，被开方数是x+1＜0，它不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．解题的关键是明确二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
5．如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≤1且x≠﹣2C．x≠﹣2D．x＜1且x≠﹣2
【答案】B
【分析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；此题要同时满足这两个条件．
【解答】解：由分式的分母不为0，得2+x≠0，即x≠﹣2．
又因为二次根式的被开方数不能是负数，
所以有1﹣x≥0，得x≤1，
所以x的取值范围是x≤1，且x≠﹣2．
故选：B．
【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．
6．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】勾股数是满足a2+b2＝c2 的三个正整数，据此进行判断即可．
【解答】解：∵满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，
∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
7．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B＝∠C
【答案】C
【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论．
【解答】解：A、∵52+42＝25+16＝41＝（）2，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
8．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【答案】A
【分析】根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断．
【解答】解：∵（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，是解题关键．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
10．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠B＝∠C，∠A＝∠D
【答案】C
【分析】平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
【解答】解：A、
根据AB∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．
11．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）
A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．
【答案】B
【分析】取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE．
【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，
∵∠MON＝90°，
∴OE＝AB＝2．
在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．
在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，
∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．
12．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】依据题意，连接BM，记BD与MN交于点O，先证△DMO≌△BNO，从而得DM＝BN＝2，再由线段MN垂直平分BD从而BM＝DM＝2，又在Rt△BAM中可得AM的值，从而再在Rt△BAD中可求得BD．
【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．
∵线段MN垂直平分BD，
∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，
∴△DMO≌△BNO（ASA）．
∴DM＝BN＝BM＝2．
在Rt△BAM中，
∴AB＝＝．
∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
13．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断
【答案】B
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条彩带宽度相同，
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，
∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，
∵AD∥BC，
∴∠DHP＝∠FHC，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝5，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝5，
∴PE＝＝＝，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝EP＝，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．C．2D．4
【答案】A
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，
∴AC＝2，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝，
∴OP′＝1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】过H点作HM⊥AC于M，由作图得CH平分∠ACD，根据角平分线得点H到CA、CD的距离相等，然后证明Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），得CD＝CM＝3，设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，利用勾股定理列方程求出t的值，进而可以解决问题．
【解答】解：过H点作HM⊥AC于M，如图，
由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
∵AB＝3，BC＝4．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，
解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
∴HM＝1.5，
，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．50°
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝BC，PE＝AD，进而证明PF＝PE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF＝BC，
同理可得：PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km．
A．4B．5C．6D．
【答案】C
【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA＝10﹣4＝6（km）．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．
19．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a2﹣b2＝c2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵a2﹣b2＝c2，
∴a2＝c2+b2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
C、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．9C．3D．3
【答案】C
【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
∴EF＝3．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
21．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得OD＝，然后根据矩形的性质得出CE＝OD＝．
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
23．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得到AC，CF，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，则利用勾股定理得到AF，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．
【解答】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AC＝AB＝4，CF＝CE＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝，
∵T为AF的中点，
∴CT＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质．关键是作辅助线构造直角三角形．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A．34B．25C．20D．16
【答案】B
【分析】作BE⊥x轴于E，如图，证明△ADO≌△BAE得到OD＝AE＝4，然后利用勾股定理计算出AD2，从而得到正方形ABCD的面积．
【解答】解：作BE⊥x轴于E，如图，
∵A（﹣3，0），B（1，b），
∴AE＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠BAE，
在△ADO和△BAE中，
∴△ADO≌△BAE，
∴OD＝AE＝4，
在Rt△AOD中，AD2＝32+42＝52＝25，
∴正方形ABCD的面积为25．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．
【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB＝OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD＝×16＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出BE＝DE，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．
26．下列四个图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的定义，对于给定的x的值，y都有唯一的值与其对应，进而判断得出．
【解答】解：在图象A，B，C中，每给x一个值，y都有2个值与它对应，所以A，B，C中y不是x的函数，
在D中，给x一个正值，y有一个值与之对应，所以y是x的函数．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义．利用函数定义结合图象得出是解题关键．
27．下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x函数，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
28．下列图象中，表示y是x的函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，可能有两个y值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的x的值，可能有两个y值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
29．函数y＝﹣（x+1）0中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x＞﹣2
C．x＞﹣2且x≠﹣1D．x≥﹣2且x≠﹣1
【答案】D
【分析】根据二次根式（a≥0），以及a0＝1（a≠0）可得x+2≥0且x+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x+2≥0且x+1≠0，
∴x≥﹣2且x≠﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，零指数幂，熟练掌握二次根式（a≥0），以及a0＝1（a≠0）是解题的关键．
二．填空题（共14小题）
30．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 2008 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
【解答】解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
【点评】解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．
31．若代数式有意义，则x的取值范围为 x＞3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
32．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】24＝22×6，所以要想能开平方，必须再乘一个6．
【解答】解：＝2，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能够正确把根式里的写成平方的形式是解题的关键．
33．将化简成最简二次根式为 ．
【答案】．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，能够正确化简二次根式是解题的关键．
34．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 5或 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得
32+42＝x2，所以x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得
32+x2＝42，所以x＝；
所以第三边的长为5或．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为 21 ．
【答案】21．
【分析】由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出a2+b2＝13，（b﹣a）2＝5，进而得出2ab＝8，再由完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：由题意得：a2+b2＝13，（b﹣a）2＝5，
∴b2﹣2ab+a2＝5，
∴2ab＝a2+b2﹣5＝13﹣5＝8，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+8＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系及完全平方公式是解决问题的关键．
36．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
【答案】．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
37．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 10 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：将长方体展开，连接AB′，
∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．
故答案为：10．
【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．
38．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
【答案】见试题解答内容
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为＝25（尺）．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
39．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 25 dm．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得x＝25．
故答案为25．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
40．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 20 ．
【答案】20．
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
41．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 49 cm2．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，根据正方形的面积公式等于边长的平方，四边形A的面积是a2，四边形B的面积是b2，a、b是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有a2+b2＝e2；同理，四边形C的面积是c2，四边形D的面积是d2，c、d是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有c2+d2＝f2；根据正方形的对边相等，e、f就是下面大直角三角形的直角边，根据勾股定理，得到e2+f2＝g2，g是最大的正方形边长为7cm，所以正方形A、B、C、D面积之和为7×7平方厘米．
【解答】解：
7×7＝49（平方厘米）
答：正方形A、B、C、D面积之和为49平方厘米．
故答案为：49．
【点评】此题考查勾股定理问题，灵活应用勾股定理以及正方形的性质来解决问题是关键．
42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 2.4 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5（cm），
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
即×4×3＝×5•CD，
解得CD＝2.4（cm），
∴EF＝2.4cm．
故答案为2.4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
43．函数y＝的自变量x的取值范围为 x≥﹣1且x≠3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据（a≥0）以及分母不能为0，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+1≥0且x﹣3≠0，
∴x≥﹣1且x≠3，
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握（a≥0）以及分母不能为0是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
44．计算：
（1）（5﹣）÷﹣×；
（2）．
【答案】（1）6+；
（2）5+2．
【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（5﹣）÷﹣×
＝5÷﹣÷﹣+2
＝5﹣﹣+2
＝10﹣4﹣+2
＝6+；
（2）
＝3+2+1﹣（8﹣9）
＝3+2+1+1
＝5+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
45．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）先化简绝对值，再根据二次根式的性质化简求值，即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
46．先化简，再求值：，其中x＝．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
47．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使记m2+n2＝a，并且mn＝，则将a±2，变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
因为3+2＝1+2+2＝12+（）2+2＝（1+）2
所以＝＝1+
仿照上例化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【分析】仿照例题利用完全平方根是进行化简即可．
【解答】解：（1）原式＝＝＝2+．
（2）原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查的是二次根式的化简，将被开方数变形为完全平方的形式是解题的关键．
48．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．
【解答】解：连接BD．
∵∠A＝90°，AB＝2，AD＝，
∴根据勾股定理可得BD＝3，
又∵CD＝5，BC＝4，
∴CD2＝BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．
【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
49．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【答案】【三角形中位线定理】见解析；
【应用】135°；
【拓展】见解析．
【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MH＝AC，NH∥BD且NH＝BD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NH＝BD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
50．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据正方形的性质可得AD＝AF，∠DAF＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB＝90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD＝CF，从而求出CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝BC+CD；
（3）①与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝CD﹣BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD＝135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠ABD，再求出∠FCD＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC＝DF，再根据正方形的对角线相等求出OC＝OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【解答】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD＝CF，
∵BD＝BC﹣CD，
∴CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，
所以，CF＝BC+CD；
（3）①与（1）同理可得，BD＝CF，
所以，CF＝CD﹣BC；
②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
则∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°，
∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC＝DF，
∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．
51．小明骑电动车从家出发去学校，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往学校．小明从家到学校的整个过程中，离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题．
（1）小明家到学校的距离是 4800 米；小明在书店停留的时间是 8 分钟；
（2）买到书后，小明从新华书店到学校骑车的平均速度是多少？
（3）本次去学校途中，小明一共行驶了多少米？
【答案】（1）4800；8；（2）450米/分；（3）6800米．
【分析】（1）根据图象即可直接得出小明家离学校的距离是4800米，也可得出小明在书店停留了8分钟；
（2）根据图象可求出小明从书店去学校的路程和所用时间，再利用速度＝路程÷时间求解即可；
（3）根据函数图象可知路程为3段，将其相加即可．
【解答】解：（1）根据函数图象可知小明家离学校的距离是4800米．
24﹣16＝8（分钟）
故小明在书店停留了8分钟；
故答案为：4800；8；
（2）小明从书店去学校的路程为4800﹣3000＝1800（米），
所用时间为28﹣24＝4（分钟），
小华从书店到学校骑车的平均速度是1800÷4＝450（米/分）；
（3）4000+（4000﹣3000）+（4800﹣3000）＝6800（米），
故小华一共行驶了6800米．
【点评】本题主要考查函数的图象，解题的关键在于能够正确读懂函数图象上点的坐标的意义．
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