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所属成套资源：人教版八年级数学下册尖子生培优必精品刷题(原卷版+解析)
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人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题期中模拟试卷02(培优压轴卷第16-18章)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题期中模拟试卷02(培优压轴卷第16-18章)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了5D．6013，5．则AC的长为 ．，5°，等内容，欢迎下载使用。
班级：___________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列根式是最简二次根式是（ ）
A．13B．20C．30D．121
2．要使式子36−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≥3C．x≤3D．x≠3
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．8−2=2B．（﹣727）2＝2C．32÷118=33D．3+3=33
4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A．110°B．35°C．70°D．55°
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
6．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．5B．13C．6.5D．6013
8．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG＝（ ）
A．4B．8C．82D．42
9．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm．
A．14B．15C．16D．17
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG=12AD．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．计算：（5−2）2021（5+2）2021的结果是 ．
12．如图，菱形ABCD的面积为120，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，则AD＝ ．
13．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，且CD＝5，则AB2+BC2+AC2＝ ．
14．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DEA＝ ．
15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为 ．
16．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）18+92+(3−2)0+(1−2)2；
（2）(2+3)2(5−26)．
18．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1
（1）在图（1）中画出长度为17的线段，要求线段的端点在格点上；
（2）在图（2）中画出一个三条边长分别为3，22，5的三角形，使它的端点都在格点上．
20．阅读下列内容：因为1＜3＜9，所以1＜3＜3，所以3的整数部分是1，小数部分是3−1．试解决下列问题：
（1）求11的整数部分和小数部分；
（2）若已知8+13的小数部分是a，8−13的整数部分是b，求ab﹣3a+4b的值．
21．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明：CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
22．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是 ；
（2）t＝ 时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．
23．如图所示，在长方形ABCD中，BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．
（1）求证：∠AEB＝∠AEH；
（2）试探究DH与EH的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝22，求△AFH的面积．
24．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中模拟试卷02（培优压轴卷，八下人教第16-18章）
班级：___________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列根式是最简二次根式是（ ）
A．13B．20C．30D．121
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】（A）原式=33，故A不是最简二次根式；
（B）原式＝25，故B不是最简二次根式；
（D）原式＝11，故D不是最简二次根式；
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．要使式子36−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≥3C．x≤3D．x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由题意得6﹣2x＞0，
解得x＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分母不为0是解题的关键．
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．8−2=2B．（﹣727）2＝2C．32÷118=33D．3+3=33
【分析】根据二次根式的性质一一判断即可．
【详解】A、错误．不是同类二次根式不能合并；
B、错误．（﹣727）2＝14；
C、正确；
D、错误．不是同类二次根式不能合并；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A．110°B．35°C．70°D．55°
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【详解】如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【分析】根据两边平行且相等的四边形是平行四边形可以判断A选项不正确，根据有两个角是直角的平行四边形是矩形可以判断B选项错误，根据两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是菱形可以判断C选项错误，有一个角是直角的菱形是正方形，故知D选项正确．
【详解】A、有两边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，
B、有两个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误，
C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是菱形，故本选项错误，
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形判定、矩形和菱形的判定，熟练掌握各类四边形的判定定理是解答本题的关键，此题难度不大，属于基础题．
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．5B．13C．6.5D．6013
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出AD，再利用直角三角形斜边的中线的性质OE=12AD，求出OE即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC＝5，OD=12BD＝12，
在Rt△AOD中，AD=52+122=13，
∵AE＝DE，
∴OE=12AD＝6.5
故选：C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出EO=12AD是解题关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG＝（ ）
A．4B．8C．82D．42
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝42代入可求EF+EG的值．
【详解】连接EO
∵四边形ABCD为正方形
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝82，
∴AO＝CO＝BO＝42，
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴16=12×AO×EF+12×BO×EG，
∴EF+EG＝42，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，本题关键是运用面积法解决问题．
9．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm．
A．14B．15C．16D．17
【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则
AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ=12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=122+92=15cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG=12AD．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中BE=CF∠B=∠DCFBC=CD，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG=12CD=12AD，故④正确；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD=12CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．计算：（5−2）2021（5+2）2021的结果是 1 ．
【分析】根据积的乘方得到[（5−2）（5+2）]2021，然后根据平方差公式计算．
【详解】原式＝[（5−2）（5+2）]2021
＝（5﹣4）2021
＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方和平方差公式是解决问题的关键．
12．如图，菱形ABCD的面积为120，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，则AD＝ 13 ．
【分析】直接利用利用菱形面积公式可得DB的长，再利用菱形的性质结合勾股定理得出AD的长．
【详解】∵菱形ABCD的面积为120，
∴12AC•BD=12×24×BD＝120，
解得BD＝10，
∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO＝CO，DO＝BO，AC⊥BD，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，DO＝5，
∴AD=AO2+DO2=13．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质和勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．
13．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，且CD＝5，则AB2+BC2+AC2＝ 200 ．
【分析】由直角三角形斜边上的中线可求得AB＝10，再利用勾股定理可得AB2+BC2+AC2＝2AB2，进而可求解．
【详解】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AB2＝2×102＝200．
故答案为：200．
【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求得AB2+BC2+AC2＝2AB2是解题的关键．
14．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DEA＝ 15° ．
【分析】根据正方形性质得出∠ADC＝90°，AD＝DC，根据等边三角形性质得出DE＝DC，∠EDC＝60°，推出∠ADE＝150°，AD＝ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE＝∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA=12（180°﹣∠ADE）＝15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为 5 ．
【分析】连接AF，根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD，在Rt△AFC中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=12AC．
【详解】连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
又∵E是AC的中点，
∴EF=12AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴AC＝2EF，
∵EF＝2.5，
∴AC＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 58 ．
【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的14，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC=12S矩形ABCD=12×20＝10，
∴S△AOB＝S△BCO=12S△ABC=12×10＝5，
∴S△ABO1=12S△AOB=12×5=52，
∴S△ABO2=12S△ABO1=54，
S△ABO3=12S△ABO2=58，
S△ABO4=12S△ABO3=516，
∴S平行四边形AO4C5B=2S△ABO4=2×516=58
故答案为：58．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）18+92+(3−2)0+(1−2)2；
（2）(2+3)2(5−26)．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式分别化简得出答案．
【详解】（1）原式＝32+322+1+2−1
=1122；
（2）原式＝（5+26）×（5﹣26）
＝25﹣24
＝1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．
【详解】在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），
∴AO=AB2−OB2=152−92=12（m），
在Rt△COD中，
∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），
∴OC=CD2−OD2=152−122=9（m），
∴AC＝OA﹣OC＝3（m），
答：AC为3m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1
（1）在图（1）中画出长度为17的线段，要求线段的端点在格点上；
（2）在图（2）中画出一个三条边长分别为3，22，5的三角形，使它的端点都在格点上．
【分析】（1）根据长为4，宽为1的长方形的对角线长为17进行作图即可；
（2）可先画3的线段，根据勾股定理可得长为5的线段是长为2，宽为1的矩形的对角线，22是边长为2的正方形的对角线，据此作图即可；
【详解】（1）如图1所示，线段AB即为所求；
（2）如图2所示，△CDE即为三条边长分别为3，22，5的三角形．
【点睛】本题主要考查了无理数概念、勾股定理以及三角形有关知识的综合运用．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
20．阅读下列内容：因为1＜3＜9，所以1＜3＜3，所以3的整数部分是1，小数部分是3−1．试解决下列问题：
（1）求11的整数部分和小数部分；
（2）若已知8+13的小数部分是a，8−13的整数部分是b，求ab﹣3a+4b的值．
【分析】（1）估算无理数11的大小即可；
（2）估算无理数13，8+13，8−13的大小，确定a、b的值，代入计算即可．
【详解】（1）∵9＜11＜16，
∴3＜11＜4，
∴11的整数部分是3，小数部分为11−3；
（2）∵3＜13＜4，
∴11＜8+13＜12，
∴8+13的小数部分a＝8+13−11=13−3，
∵3＜13＜4，
∴﹣4＜−13＜−3，
∴4＜8−13＜5，
∴8−13的整数部分是b＝4，
∴ab﹣3a+4b
＝（13−3）×4﹣3×（13−3）+4×4
＝413−12﹣313+9+16
=13+13，
答：ab﹣3a+4b的值为13+13．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
21．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明：CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF＝∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF＝∠F即可．
（2）根据∠ABC＝90°，G是EF的中点可直接求得．
（3）延长AB、FG交于H，连接HD．证四边形AHFD为菱形得△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再证△BHD≌△GFD得∠BDH＝∠GDF，根据∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG可得答案．
【详解】（1）如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，
∴∠CEF＝∠F．
∴CE＝CF．
（2）如图2，连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠DCB＝90°，DF∥AB，
∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，
∴BE＝DC，
∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°
在△BEG与△DCG中，
∵EG=CG∠BEG=∠DCGBE=DC，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG＝DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA＝90°，
又∵∠DGC＝∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA＝90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°．
（3）如图3，延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD＝DF，
∴CE＝CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF
在△BHD与△GFD中，
∵DH=DF∠BHD=∠GFDBH=GF，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH＝∠GDF
∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．
【点睛】此题考查四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
22．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是 平行四边形 ；
（2）t＝ 1 时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD＝2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是矩形，则∠AFC＝90°，得出AF⊥CD，由平行四边形的面积得出AF＝4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当AE＝CE时，四边形AECF是菱形．过C作CG⊥BE于G，则CG＝4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2cm，AB∥CD，
∴CF∥AE，
∵DF＝BE，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；理由如下：
若四边形AECF是矩形，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥CD，
∵S▱ABCD＝CD•AF＝8cm2，
∴AF＝4cm，
在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，
即42+（t+2）2＝52，
解得：t＝1，或t＝﹣5（舍去），
∴t＝1；故答案为：1；
（3）依题意得：AE平行且等于CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故AE＝CE时，四边形AECF是菱形．
又∵BE＝tcm，
∴AE＝CE＝t+2（cm），
过C作CG⊥BE于G，如图所示：
则CG＝4cm，
∵AG=AC2−CG2=52−42=3（cm），
∴GE＝t+2﹣3＝t﹣1（cm），
在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2＝CE2＝AE2，
即42+（t﹣1）2＝（t+2）2，
解得：t=136，
即t=136s时，四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
23．如图所示，在长方形ABCD中，BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．
（1）求证：∠AEB＝∠AEH；
（2）试探究DH与EH的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝22，求△AFH的面积．
【分析】（1）由DE平分∠ADC知∠ADH＝45°．依据AH⊥DE得BC＝AD=2HD=2AH=2AB，据此知AB＝AH．再证Rt△ABE≌Rt△AHE即可得．
（2）由∠EDC＝∠DEC＝45°，∠ECD＝90°知ED=2CD=2HD，据此得EH＝ED﹣HD=2HD﹣HD从而得出答案；
（3）先证EC＝DC＝DH＝AH，从而求得∠AHF＝∠ECH＝22.5°，证△AFH≌△EHC知两三角形面积相等，再进一步求△EHC的面积即可．
【详解】（1）在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠B＝90°．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADH＝45°．
∵AH⊥DE，
∴∠AHD＝90°．
∴BC＝AD=2HD=2AH=2AB，
∴AB＝AH．
又∵∠ABE＝∠AHE＝90°
在Rt△ABE和Rt△AHE中，
∵AB＝AH，AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）．
∴∠AEB＝∠AEH．
（2）DH＝（2+1）EH；
理由是：∵∠EDC＝∠DEC＝45°，∠ECD＝90°，
∴ED=2CD=2HD，
∴EH＝ED﹣HD=2HD﹣HD，
∴HD=EH2−1=（2+1）EH；
（3）∵∠AHD＝90°，∠ADH＝∠CDH＝45°，
∴AD=2AH=2DH，
又∵AD＝BC=2AB=2CD，
∴EC＝DC＝DH＝AH．
∴∠DCH＝∠DHC＝∠CFB＝67.5°，
∴∠AHF＝∠ECH＝22.5°，
在△AFH和△EHC中，
∵∠AHF＝∠ECH＝22.5°，AH＝EC，∠FAH＝∠HEC＝45°，
∴△AFH≌△EHC（ASA）．
如图，过点H作HG⊥EC于点G，
则HG=22EH＝22−2，
∴面积为12×22×（22−2）＝4﹣22．
【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点．
24．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=12BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=12BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
AP=PB∠APC=∠BPDPC=PD，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=12AC，FG=12BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
班级：___________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列根式是最简二次根式是（ ）
A．13B．20C．30D．121
2．要使式子36−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≥3C．x≤3D．x≠3
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．8−2=2B．（﹣727）2＝2C．32÷118=33D．3+3=33
4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A．110°B．35°C．70°D．55°
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
6．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．5B．13C．6.5D．6013
8．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG＝（ ）
A．4B．8C．82D．42
9．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm．
A．14B．15C．16D．17
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG=12AD．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．计算：（5−2）2021（5+2）2021的结果是 ．
12．如图，菱形ABCD的面积为120，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，则AD＝ ．
13．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，且CD＝5，则AB2+BC2+AC2＝ ．
14．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DEA＝ ．
15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为 ．
16．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）18+92+(3−2)0+(1−2)2；
（2）(2+3)2(5−26)．
18．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1
（1）在图（1）中画出长度为17的线段，要求线段的端点在格点上；
（2）在图（2）中画出一个三条边长分别为3，22，5的三角形，使它的端点都在格点上．
20．阅读下列内容：因为1＜3＜9，所以1＜3＜3，所以3的整数部分是1，小数部分是3−1．试解决下列问题：
（1）求11的整数部分和小数部分；
（2）若已知8+13的小数部分是a，8−13的整数部分是b，求ab﹣3a+4b的值．
21．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明：CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
22．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是 ；
（2）t＝ 时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．
23．如图所示，在长方形ABCD中，BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．
（1）求证：∠AEB＝∠AEH；
（2）试探究DH与EH的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝22，求△AFH的面积．
24．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中模拟试卷02（培优压轴卷，八下人教第16-18章）
班级：___________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列根式是最简二次根式是（ ）
A．13B．20C．30D．121
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】（A）原式=33，故A不是最简二次根式；
（B）原式＝25，故B不是最简二次根式；
（D）原式＝11，故D不是最简二次根式；
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．要使式子36−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≥3C．x≤3D．x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由题意得6﹣2x＞0，
解得x＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分母不为0是解题的关键．
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．8−2=2B．（﹣727）2＝2C．32÷118=33D．3+3=33
【分析】根据二次根式的性质一一判断即可．
【详解】A、错误．不是同类二次根式不能合并；
B、错误．（﹣727）2＝14；
C、正确；
D、错误．不是同类二次根式不能合并；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A．110°B．35°C．70°D．55°
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【详解】如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【分析】根据两边平行且相等的四边形是平行四边形可以判断A选项不正确，根据有两个角是直角的平行四边形是矩形可以判断B选项错误，根据两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是菱形可以判断C选项错误，有一个角是直角的菱形是正方形，故知D选项正确．
【详解】A、有两边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，
B、有两个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误，
C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是菱形，故本选项错误，
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形判定、矩形和菱形的判定，熟练掌握各类四边形的判定定理是解答本题的关键，此题难度不大，属于基础题．
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．5B．13C．6.5D．6013
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出AD，再利用直角三角形斜边的中线的性质OE=12AD，求出OE即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC＝5，OD=12BD＝12，
在Rt△AOD中，AD=52+122=13，
∵AE＝DE，
∴OE=12AD＝6.5
故选：C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出EO=12AD是解题关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG＝（ ）
A．4B．8C．82D．42
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝42代入可求EF+EG的值．
【详解】连接EO
∵四边形ABCD为正方形
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝82，
∴AO＝CO＝BO＝42，
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴16=12×AO×EF+12×BO×EG，
∴EF+EG＝42，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，本题关键是运用面积法解决问题．
9．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm．
A．14B．15C．16D．17
【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则
AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ=12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=122+92=15cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG=12AD．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中BE=CF∠B=∠DCFBC=CD，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG=12CD=12AD，故④正确；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD=12CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．计算：（5−2）2021（5+2）2021的结果是 1 ．
【分析】根据积的乘方得到[（5−2）（5+2）]2021，然后根据平方差公式计算．
【详解】原式＝[（5−2）（5+2）]2021
＝（5﹣4）2021
＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方和平方差公式是解决问题的关键．
12．如图，菱形ABCD的面积为120，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，则AD＝ 13 ．
【分析】直接利用利用菱形面积公式可得DB的长，再利用菱形的性质结合勾股定理得出AD的长．
【详解】∵菱形ABCD的面积为120，
∴12AC•BD=12×24×BD＝120，
解得BD＝10，
∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO＝CO，DO＝BO，AC⊥BD，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，DO＝5，
∴AD=AO2+DO2=13．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质和勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．
13．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，且CD＝5，则AB2+BC2+AC2＝ 200 ．
【分析】由直角三角形斜边上的中线可求得AB＝10，再利用勾股定理可得AB2+BC2+AC2＝2AB2，进而可求解．
【详解】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AB2＝2×102＝200．
故答案为：200．
【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求得AB2+BC2+AC2＝2AB2是解题的关键．
14．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DEA＝ 15° ．
【分析】根据正方形性质得出∠ADC＝90°，AD＝DC，根据等边三角形性质得出DE＝DC，∠EDC＝60°，推出∠ADE＝150°，AD＝ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE＝∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA=12（180°﹣∠ADE）＝15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为 5 ．
【分析】连接AF，根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD，在Rt△AFC中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=12AC．
【详解】连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
又∵E是AC的中点，
∴EF=12AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴AC＝2EF，
∵EF＝2.5，
∴AC＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 58 ．
【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的14，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC=12S矩形ABCD=12×20＝10，
∴S△AOB＝S△BCO=12S△ABC=12×10＝5，
∴S△ABO1=12S△AOB=12×5=52，
∴S△ABO2=12S△ABO1=54，
S△ABO3=12S△ABO2=58，
S△ABO4=12S△ABO3=516，
∴S平行四边形AO4C5B=2S△ABO4=2×516=58
故答案为：58．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）18+92+(3−2)0+(1−2)2；
（2）(2+3)2(5−26)．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式分别化简得出答案．
【详解】（1）原式＝32+322+1+2−1
=1122；
（2）原式＝（5+26）×（5﹣26）
＝25﹣24
＝1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．
【详解】在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），
∴AO=AB2−OB2=152−92=12（m），
在Rt△COD中，
∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），
∴OC=CD2−OD2=152−122=9（m），
∴AC＝OA﹣OC＝3（m），
答：AC为3m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1
（1）在图（1）中画出长度为17的线段，要求线段的端点在格点上；
（2）在图（2）中画出一个三条边长分别为3，22，5的三角形，使它的端点都在格点上．
【分析】（1）根据长为4，宽为1的长方形的对角线长为17进行作图即可；
（2）可先画3的线段，根据勾股定理可得长为5的线段是长为2，宽为1的矩形的对角线，22是边长为2的正方形的对角线，据此作图即可；
【详解】（1）如图1所示，线段AB即为所求；
（2）如图2所示，△CDE即为三条边长分别为3，22，5的三角形．
【点睛】本题主要考查了无理数概念、勾股定理以及三角形有关知识的综合运用．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
20．阅读下列内容：因为1＜3＜9，所以1＜3＜3，所以3的整数部分是1，小数部分是3−1．试解决下列问题：
（1）求11的整数部分和小数部分；
（2）若已知8+13的小数部分是a，8−13的整数部分是b，求ab﹣3a+4b的值．
【分析】（1）估算无理数11的大小即可；
（2）估算无理数13，8+13，8−13的大小，确定a、b的值，代入计算即可．
【详解】（1）∵9＜11＜16，
∴3＜11＜4，
∴11的整数部分是3，小数部分为11−3；
（2）∵3＜13＜4，
∴11＜8+13＜12，
∴8+13的小数部分a＝8+13−11=13−3，
∵3＜13＜4，
∴﹣4＜−13＜−3，
∴4＜8−13＜5，
∴8−13的整数部分是b＝4，
∴ab﹣3a+4b
＝（13−3）×4﹣3×（13−3）+4×4
＝413−12﹣313+9+16
=13+13，
答：ab﹣3a+4b的值为13+13．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
21．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明：CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF＝∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF＝∠F即可．
（2）根据∠ABC＝90°，G是EF的中点可直接求得．
（3）延长AB、FG交于H，连接HD．证四边形AHFD为菱形得△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再证△BHD≌△GFD得∠BDH＝∠GDF，根据∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG可得答案．
【详解】（1）如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，
∴∠CEF＝∠F．
∴CE＝CF．
（2）如图2，连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠DCB＝90°，DF∥AB，
∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，
∴BE＝DC，
∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°
在△BEG与△DCG中，
∵EG=CG∠BEG=∠DCGBE=DC，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG＝DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA＝90°，
又∵∠DGC＝∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA＝90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°．
（3）如图3，延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD＝DF，
∴CE＝CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF
在△BHD与△GFD中，
∵DH=DF∠BHD=∠GFDBH=GF，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH＝∠GDF
∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．
【点睛】此题考查四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
22．如图，▱ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S▱ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是 平行四边形 ；
（2）t＝ 1 时，四边形AECF是矩形；
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD＝2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是矩形，则∠AFC＝90°，得出AF⊥CD，由平行四边形的面积得出AF＝4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当AE＝CE时，四边形AECF是菱形．过C作CG⊥BE于G，则CG＝4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2cm，AB∥CD，
∴CF∥AE，
∵DF＝BE，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）t＝1时，四边形AECF是矩形；理由如下：
若四边形AECF是矩形，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥CD，
∵S▱ABCD＝CD•AF＝8cm2，
∴AF＝4cm，
在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，
即42+（t+2）2＝52，
解得：t＝1，或t＝﹣5（舍去），
∴t＝1；故答案为：1；
（3）依题意得：AE平行且等于CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故AE＝CE时，四边形AECF是菱形．
又∵BE＝tcm，
∴AE＝CE＝t+2（cm），
过C作CG⊥BE于G，如图所示：
则CG＝4cm，
∵AG=AC2−CG2=52−42=3（cm），
∴GE＝t+2﹣3＝t﹣1（cm），
在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2＝CE2＝AE2，
即42+（t﹣1）2＝（t+2）2，
解得：t=136，
即t=136s时，四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
23．如图所示，在长方形ABCD中，BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．
（1）求证：∠AEB＝∠AEH；
（2）试探究DH与EH的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝22，求△AFH的面积．
【分析】（1）由DE平分∠ADC知∠ADH＝45°．依据AH⊥DE得BC＝AD=2HD=2AH=2AB，据此知AB＝AH．再证Rt△ABE≌Rt△AHE即可得．
（2）由∠EDC＝∠DEC＝45°，∠ECD＝90°知ED=2CD=2HD，据此得EH＝ED﹣HD=2HD﹣HD从而得出答案；
（3）先证EC＝DC＝DH＝AH，从而求得∠AHF＝∠ECH＝22.5°，证△AFH≌△EHC知两三角形面积相等，再进一步求△EHC的面积即可．
【详解】（1）在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠B＝90°．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADH＝45°．
∵AH⊥DE，
∴∠AHD＝90°．
∴BC＝AD=2HD=2AH=2AB，
∴AB＝AH．
又∵∠ABE＝∠AHE＝90°
在Rt△ABE和Rt△AHE中，
∵AB＝AH，AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）．
∴∠AEB＝∠AEH．
（2）DH＝（2+1）EH；
理由是：∵∠EDC＝∠DEC＝45°，∠ECD＝90°，
∴ED=2CD=2HD，
∴EH＝ED﹣HD=2HD﹣HD，
∴HD=EH2−1=（2+1）EH；
（3）∵∠AHD＝90°，∠ADH＝∠CDH＝45°，
∴AD=2AH=2DH，
又∵AD＝BC=2AB=2CD，
∴EC＝DC＝DH＝AH．
∴∠DCH＝∠DHC＝∠CFB＝67.5°，
∴∠AHF＝∠ECH＝22.5°，
在△AFH和△EHC中，
∵∠AHF＝∠ECH＝22.5°，AH＝EC，∠FAH＝∠HEC＝45°，
∴△AFH≌△EHC（ASA）．
如图，过点H作HG⊥EC于点G，
则HG=22EH＝22−2，
∴面积为12×22×（22−2）＝4﹣22．
【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点．
24．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=12BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=12BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
AP=PB∠APC=∠BPDPC=PD，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=12AC，FG=12BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
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