湘教版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析）

这是一份湘教版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AC=6 3，D为AB上一动点(不与点A重合)，△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是( )
A. 2 3
B. 6
C. 3 3
D. 9
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=2 2，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
3.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是( )
A. 0B. 4C. 6D. 8
4.下列中国能源企业的Lg图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1)，(3,0)，(4,0).根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为
( )
A. (14,8)B. (13,0)C. (100,99)D. (15,14)
6.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点B与原点O重合，顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，将Rt▵ABC沿直线y=2x向上平移得到Rt▵A′B′C′，B′的纵坐标为4，若AB=BC=3，则点A′的坐标为
．( )
A. 3,7B. 2,7C. 3,5D. 2,5
7.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2，BD=3，则AC的长为( )
A. 3
B. 10
C. 4
D. 2 3
8.如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD=AB，CE=2BC，AF=3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为
( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
9.如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A，D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D，C重合，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点、则有下列结论：
①∠BGF是定值；②FB平分∠AFC；③当E运动到AD中点时，GH= 52；④当AG+BG= 6时，四边形GEDF的面积是12.其中正确的是( )
A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①④
10.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=( )
A. 90°−12αB. 12αC. 90°+12αD. 360°−α
11.在平面直角坐标系中，若将原图形上的每个点的纵坐标都加2，横坐标保持不变，则所得图形的位置与原图相比( )
A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位
12.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为(1,0)，(0,4)，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为( )
A. (−3,1)
B. (−1,−3)
C. (3,−1)
D. (1,3)
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是 ．
14.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为______．
15.在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=4 3，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
16.在△ABC中，BA=BC，AC=14，S△ABC=84，D为AB上一动点，连接CD，过A作AE⊥CD与点E，连接BE，则BE的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这个性质是______；
②在图2中，求证AD=CD；
(2)拓展探究：根据(1)的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．
18.(本小题8分)
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110∘，∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC，AD．
(1)当α=150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由;
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?
19.(本小题8分)
已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分別交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC=∠BEH，BG=BC．
(1)若BE=10，BC=25，求DG的值；
(2)连接HF，证明：HA= 2HF−HE．
20.(本小题8分)
如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM21.(本小题8分)
(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.求证：AF=BE．
(2)如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，判断MP与NQ是否相等？并说明理由．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,a)，B(b,0)，C(b,c)三点，其中a，b，c满足关系式|a−2|+(b−3)2=0，(c−4)2≤0．

(1)求a，b，c的值；
(2)如果在第二象限内有一点Pm,12，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题8分)
如图，已知点A(a，0)、B(b，0)满足3a+b2+b−3=0.将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．
(1)请直接写出点A和点B的坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于8？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E.设运动时间为t秒，问：S△EMD−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
24.(本小题8分)
【了解概念】
如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
【理解运用】
(1)如图2，在▵ABC中，D为BC上一点，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
(2)如图2，在(1)的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置；
(3)如图3，在▵ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60∘时，OP+BP的值为_．
25.(本小题8分)
如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，过点C作CF/​/ED交AB于点F，DC=DE．
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若BC=3，CD=5，求AG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，
∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG=GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD=AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG=12∠DAE=30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G′为垂足，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠AG′B，∠CAB=∠BAG′，
则在△BAC和△BAG′中，
∠ACB=∠AG′B∠CAB=∠BAG′AB=AB，
∴△BAC≌△BAG′(AAS)．
∴BG′=BC，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=6 3，
∴AB=2BC，
∵AB2=BC2+AC2，
∴(2BC)2=BC2+(6 3)2，
解得：BC=6，
∴BG′=6．
故选：B．
连接DG，AG，设AG交DE于点H，先判定AG为线段DE的垂直平分线，从而可判定△BAC≌△BAG′(AAS)，然后由全等三角形的性质可得答案．
本题考查了含30°的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′，从而求解．
【解答】
解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=2 2，
∴AC=AB=2 2，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA=OC=12AC= 2，
OP=OQ=12PQ，
∵∠ACB=45°，
∴△OP′C为等腰直角三角形，
设OP′=CP′=x，
∴ 22=x2+x2，
解得x=1，
∴OP′=1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值=2OP′=2．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，
∴EC=8，FC=4=AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°，
∴∠ACM=90°，
∴EM= EC2+CM2=4 5，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4 5<9，
在点H右侧，当点P与点C重合时，
则PE+PF=12，
∴点P在CH上时，
4 5在点H左侧，当点P与点B重合时，
BF= FN2+BN2=2 10，
∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=BF=2 10，
∴PE+PF=4 10，
∴点P在BH上时，4 5∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．
即共有8个点P满足PE+PF=9，
故选：D．
4.【答案】D
【解析】解：A不是中心对称图形，故不符合题意；
B不是中心对称图形，故不符合题意；
C不是中心对称图形，故不符合题意；
D是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
本题考查了中心对称图形的识别，解本题的关键在熟练掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合，那么这个图形叫中心对称图形．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是图形规律问题，点的坐标的确定的有关知识，由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、···，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由1+2+3+···+13=91，1+2+3+···+14=105，可得第91个点的坐标为(13,0)，第100个点横坐标为14，继而求得答案．
【解答】
解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、···，且横坐标是偶数时，箭头朝上，
∵1+2+3+···+13=91，1+2+3+···+14=105，
∴第91个点的坐标为(13,0)，第100个点横坐标为14．
∵在第14列点的走向为向上，
∴纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8；
∴第100个点的坐标为(14,8)．
故选A．
6.【答案】B
【解析】解：∵点B′的纵坐标为4，
∴2x=4，
解得x=2，
所以，点B′的坐标为(2,4)，
∵Rt△ABC沿直线y=2x向上平移得到Rt△A′B′C′，AB=BC=3，
∴A′的横坐标为2，纵坐标为4+3=7，
∴点A′的坐标为(2,7)．
故选：B．
根据直线解析式求出点B′的横坐标，再根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小确定出点A′的横坐标与纵坐标，然后写出即可．
本题考查了坐标于图形变化−平移，一次函数图象上点的坐标特征，难点在于读懂题目信息并求出点B′的坐标．
7.【答案】B
【解析】解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠ACD=∠B，
∴CD=BD=3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF
∵S△CAD：S△CBD=AD：BD=2：3，
∴12DE⋅AC：12DF⋅BC=2：3，
∴AC：BC=2：3，
设AC=2x，BC=3x，
∵DB=DC，
∴CF=BF=12BC=32x，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD=CDDE=DF，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE=CF=32x，
∴AE=12x，
∵DE2=DA2−AE2=CD2−CE2，
∴22−(12x)2=32−(32x)2，解得x= 102，
∴AC= 10．
故选：B．
由角平分线的定义得到∠ACB=2∠ACD，再证明∠ACD=∠B，CD=BD=3，根据角平分线的性质得到DE=DF，接着利用面积法证明AC：BC=2：3，则设AC=2x，BC=3x，CF=32x，然后证明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE=CF=32x，所以AE=12x，利用勾股定理得到22−(12x)2=32−(32x)2，解得x= 102，从而得到AC的长．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是熟记角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，并灵活运用．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分(△FCD+△FCE+△DCE)来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得△DEF的面积．
【解答】
解：连接AE和CD，
∵BD=AB，
∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，
∵AF=3AC，
∴FC=4AC，
∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，
同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8；
S△DCE=2S△BCD=2×1=2；
∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18，
故选D．
9.【答案】C
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的综合．根据题意可证Rt▵BAE≌Rt▵ADFSAS，可判定结论①；条件不足无法判定结论②；根据当点E运动到AD中点时，点F从点D同时出发，则点F运动到DC中点，再结合勾股定理可判定结论③；根据S四边形GEDF=SΔABG可判定结论④，由此即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAE=∠D=90∘，
在Rt△BAE，Rt▵ADF中，
AE=DF∠BAE=∠DAB=AD,
∴Rt▵BAE≌Rt▵ADFSAS，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG=90∘，
∴∠ABE+∠BAG=90∘，
∴∠AGB=90∘，
∴∠BGF=180∘−90∘=90∘，即∠BGF是定值，故结论①正确；
由结论①可知，∠BGF=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90∘，
∵无法证明GF=FC，
∴无法确定BF平分∠AFC，故结论②错误；
当点E运动到AD中点时，且AD=DC=2，
∵点F从点D同时出发，
∴点F运动到DC中点，
∴CF=12CD=12×2=1，
∴BF= BC2+CF2= 22+1= 5，
∵点H是BF中点，
∴GH=12BF= 52，故结论③正确；
∵由结论①正确可知▵BAE≌▵ADF，∠AGB=90∘，
∴S四边形GEDF+S▵AEG=S▵ABG+S▵AEG，
∴S四边形GEDF=S▵ABG，
若AG+BG= 6，即(AG+BG)2=AG2+2AG⋅BG+BG2=6，
在Rt▵ABG中，AG2+BG2=AB2=22=4，
∴2AG⋅BG=6−4=2，则AG⋅BG=1，
∴S▵ABG=12AG⋅BG=12×1=12，
∴四边形GEDF的面积是12，故结论④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的定义以及多边形的内角和、三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．
先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
【解答】
解：四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°−(∠A+∠D)=360°−α，
因为PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
所以∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠BCD)=12(360°−α)=180°−12α，
则∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(180°−12α)=12α.
故选：B．
11.【答案】C
【解析】解：∵将原图形上的每个点的纵坐标都加2，横坐标保持不变，
∴所得图形的位置与原图相比向上平移了2个单位长度．
故选：C．
根据点坐标平移特点：向左平移，横坐标减，向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加，向下平移，纵坐标减进行求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知点坐标平移的特点是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：在正方形中，点A的坐标为(1,0)，
∴点B(0,1)．
∵C(0,4)，
∴OC=4．
∴BC=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3．
∴D(1,3)．
由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为(3,−1)；第2次旋转结束时，点D的坐标为(−1,−3)；第3次旋转结束时，点D的坐标为(−3,1)；第4次旋转结束时，点D的坐标为(1,3)．
∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次为一个循环．
∵2023÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，
∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为(−3,1)；
故选：A．
根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．
本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律是解题的关键．
13.【答案】(5,0)
【解析】解：∵跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，
∴(0,1)表示1=12秒后跳蚤所在位置；
(0,2)表示8=(2+1)2−1秒后跳蚤所在位置；
(0,3)表示9=32秒后跳蚤所在位置；
(0,4)表示24=(4+1)2−1秒后跳蚤所在位置；
∴(0,5)表示52=25秒后跳蚤所在位置；
···，
则第35秒时跳蚤从位置(0,5)再跳5×2=10秒，即(5,0)．
故答案为：(5,0)．
由题目中所给的跳蚤运动的特点找出规律，即可解答．
本题考查了规律型中点的坐标变化，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定跳蚤运动中点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
14.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确的理解题意是解题的关键．
过点C作直线l/​/BD，以直线l为对称轴作点B′的对称点E，连接CE，A′E，AC，证明△ABD≌△B′EA′，求得A′E= 3，根据三角形三边关系可知当点A′，C，E共线时，A′C+B′C的最小值是 3．
【解答】
解：如图，过点C作直线l/​/BD，以直线l为对称轴作点B′的对称点E，连接CE，A′E，AC，
设AC与BD交于点O，B′E与直线l交于点F，则B′C=CE，∠EB′D=90∘，B′F=OC．
由∠ABC=60∘，AB=BC，
易得AC=AB=1，B′F=OC=12AC=12，
∴B′E=2B′F=1．
由平移的性质可知∠A′B′D′=∠ABD=30∘，
∴∠A′B′E=30∘+90∘=120∘．
∵AB=B′E=1，A′B′=AD，∠A′B′E=∠BAD=120∘，
∴△ABD≌△B′EA′，∴A′E=BD．
∵在Rt△ABO中，AO=12AC=12，
∴BO= 32，
∴BD= 3，
∴A′E= 3．
在△A′EC中，由三角形的三边关系可得A′C+CE>A′E，
∴当点A′，C，E共线时，A′C+CE=A′E，即A′C+B′C的最小值是 3．
故答案为： 3．
15.【答案】16 3或8 3
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分两种情况，过D作DE⊥AB于E，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求AB，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：第一种情况，如图1
过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=4 3，
∴DE=12AD=2 3，
由勾股定理，AE=6，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE= BD2−DE2= 42−(2 3)2=2，
∴AB=8，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=8×2 3=16 3，
第二种情况，如图2
过D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=4 3，
∴DE=12AD=2 3，
由勾股定理，AE=6，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE= BD2−DE2= 42−(2 3)2=2，
∴AB=4，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=4×2 3=8 3，
故答案为：16 3或8 3．
16.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了三角形三边的关系．
作BH⊥AC于H，连接EH，如图，利用等腰三角形的性质得AH=CH=12AC=7，再利用三角形面积计算出BH=12，利用直角三角形斜边上的中线性质得到EH=7，然后根据三角形三边的关系得BE≥BH−EH(当且仅当B、E、H共线时取等号)，从而可确定BE的最小值．
【解答】
解：作BH⊥AC于H，连接EH，如图，
∵BA=BC，
∴AH=CH=12AC=7，
∵S△ABC=12⋅AC⋅BH=84，
∴BH=84×214=12，
∵AE⊥CD，
∴EH为Rt△AEC的斜边AC上的中线，
∴EH=12AC=7，
∵BE≥BH−EH(当且仅当B、E、H共线时取等号)，
即BE≥12−7，
∴BE的最小值为5．
故答案为5．
17.【答案】解：(1)①角平分线上的点到角的两边的距离相等，
②证明：如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE=DF，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠C，
在△DEA和△DFC中，
∵∠EAD=∠FCD∠DEA=∠DFCDE=DF
∴△DEA≌△DFC(AAS)
∴AD=CD．
(2)如图，在 BC 时截取 BK=BD，连接 DK，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBK=∠ABC=20°，
∵BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=80°， 由(1)的结论得 AD=DK，
∵∠BKD=∠C+∠KDC，
∴∠KDC=∠C=40°，
∴DK=CK，
∴AD=DK=CK，
∴BD+AD=BK+CK=BC．

【解析】(1)解：①根据角平分线的性质定理可知AD=CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边的距离相等．
故答案为角平分线上的点到角的两边的距离相等．
②见答案．
(2)见答案．
(1)①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F.只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；
(2)如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK.首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=TD，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18.【答案】解：(1)△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△ABC和△OCD是等边三角形，
∴BC=AC，OC=CD，∠ACB=∠DCO=∠ODC=60∘．
∴∠BCO=∠ACD．
在△BOC和△ADC中，
OC=DC,∠BCO=∠ACD,BC=AC,
∴△BOC≌△ADC(SAS)．
∴∠BOC=∠ADC．
∵∠BOC=α=150∘，
∴∠ADC=150∘．
又∵∠ODC=60∘，
∴∠ADO=150∘−60∘=90∘．
∴△AOD是直角三角形．
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60∘，b+c=180∘−110∘=70∘，c+d=60∘，
∴a+d=50∘，即∠OAD=50∘．
分三种情况讨论：
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO=(180∘−50∘)÷2=65∘，
∴α=360∘−110∘−65∘−60∘=125∘;
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO=50∘，
∴∠AOD=180∘−50∘−50∘=80∘．
∴α=360∘−110∘−80∘−60∘=110∘;
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD=50∘，
∴α=360∘−110∘−50∘−60∘=140∘．
综上所述，当α为110∘或125∘或140∘时，△AOD是等腰三角形．

【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
(1)由等边三角形的性质可得∠ACB=∠OCD=∠COD=∠CDO=60°，再证出△BOC≌△ADC，求出∠ADO的度数，即可解答．
(2)先求出∠OAD的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
19.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=25，∠ABC+∠BAG=180°，
∵∠ABC=∠BEH，
∴∠CEB+∠ABC=180°，
∴∠BAG=∠CEB，
∵∠ABG+∠BEH=90°，∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ECB，
在△BAG和△CEB中，∠BAG=∠CEB∠ABG=∠ECBBG=BC,
∴△BAG≌△CEB(AAS)，
∴BE=AG=10，
∴DG=AD−AG=25−10=15；
(2)证明：过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，如图所示：
∵△BAG≌△CEB，
∴CE=AB，
∵∠ABG+∠BAC=∠ECB+∠ABC=90°，∠ABG=∠ECB，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH=∠ECB=∠ABG，
在△ABF和△ECF中，∠CFE=∠BFA=90°∠ABF=∠ECFAB=CE,
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
∵∠HFN=∠EFA=90°，
∴∠AFN=∠EFH，
∵∠BAC=∠ABC，∠ABC=∠BEH，
∴∠NAF=∠HEF，
在△ANF和△EHF中，∠NAF=∠HEFAF=EF ∠AFN=∠EFH ,
∴△ANF≌△EHF(ASA)，
∴HE=AN，HF=NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN= 2HF，
∴HA+AN=HA+HE= 2HF，
∴HA= 2HF−HE．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
(1)证明∠BAG=∠CEB，∠ABG=∠ECB，由AAS证得△BAG≌△CEB得出BE=AG=10，即可得出结果；
(2)过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，由△BAG≌△CEB，得出CE=AB，由AAS证得△ABF≌△ECF得出AF=EF，由ASA证得△ANF≌△EHF得出HE=AN，HF=NF，则△HFN是等腰直角三角形，得出HN= 2HF，即可得出结论．
20.【答案】①②③
【解析】解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM=BE，
∴AB=EM=AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM=AD，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，
∴EH=AH，
∴△MEH≌△DAH(SAS)，
∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，
∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM= 2HM，故②正确；
当∠DHC=60°时，∠ADH=60°−45°=15°，
∴∠ADM=45°−15°=30°，
∴Rt△ADM中，DM=2AM，
即DM=2BE，故①正确；
∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM∴∠AHM<∠BAC=45°，
∴∠CHM>135°，故③正确．
由上可得正确结论的序号为①②③．
故答案为：①②③．
①正确．证明∠ADM=30°，即可得出结论．
②正确．证明△DHM是等腰直角三角形即可．
③正确．证明∠AHM<∠BAC=45°，即可判断．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
21.【答案】证明：(1)∵AF⊥BE
∴∠EAF+∠AEB=90°
又∵正方形ABCD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
在△ABE和△ADF中，
∠BAE=∠ADFAB=DA∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF，
即AF=BE；
(2)MP与NQ相等，
理由：作AF//PM，BE/​/NQ，
∵正方形ABCD，
∴AM//FP，BN//EQ，
∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，
∴AF=MP，BE=NQ，
又∵MP⊥QN，
∴BE⊥AF，
∵(1)结论知AF=BE，
∴MP=NQ．
【解析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定，可以证明△ABE≌△ADF，从而可以解答本题；
(2)作平移变化，然后根据平行四边形的性质和(1)中的结论即可解答本题．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)由已知|a−2|+(b−3)2=0，(c−4)2≤0及(c−4)2≥0，
可得a=2，b=3，c=4．
(2)∵S△ABO=12×2×3=3，S△APO=12×2×(−m)=−m，
∴S四边形ABOP=S△ABO+S△APO=3+(−m)=3−m．
(3)S△ABC=12×4×3=6．
∵S四边形ABOP=S△ABC，
∴3−m=6，
∴m=−3，
∴存在点P(−3,12)，使S四边形ABOP=S△ABC．
【解析】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法．
(1)用非负数的性质求解；
(2)把四边形ABOP的面积看成△ABO与△APO的面积和，用m来表示即可；
(3)△ABC可求，是已知量，根据题意，列方程解答即可．
23.【答案】【小问1详解】
∵3a+b2+b−3=0，
∴3a+b=0，b−3=0，
∴a=−1，b=3，
∴A−1,0，B3,0；
【小问2详解】
∵将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，A−1,0，B3,0，
∴C0,2，D4,2，
∴OA=1，OB=3，OC=2，CD=4，
∴S四边形OCDB=12OB+CD⋅OC=12×3+4×2=7，
∵四边形OMDB的面积等于8，
∴点M在点C的上方，
∴S四边形OMDB=S四边形OCDB+S△CDM
∴S△CDM=1
∵OM=t
∴CM=t−2
∴S△CDM=12CM⋅CD=12×t−2×4=1
∴t=52；
【小问3详解】
S▵EMD−S▵OEN的值不会变化，理由如下：
如图1，当点N在线段OB上时，
∵S△EMD−S△OEN=S四边形MDNO，OM=t，ON=3−2t
∴S△EMD−S△OEN=S△MOD+S△NOD=12×t×4+12×3−2t×2=2t+3−2t=3；
如图2，当点N在BO的延长线上时，
∵S△EMD−S△OEN=S△EMD+S△EOD−S△EON+S△EOD，
∴S△EMD−S△OEN=S△MOD−S△NOD=12×t×4−12×2t−3×2=3，
综上所述，S▵EMD−S▵OEN的定值为3．

【解析】【分析】(1)根据平方数和绝对值的非负性即可得出答案；
(2)由平移的性质可得C0,2，D4,2，即可得到OA=1，OB=3，OC=2，CD=4，由面积关系即可求解；
(3)分点B在线段OB上，还是点B在线段BO的延长线上两种情况分类讨论，由面积和差即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平移的性质，三角形的面积公式等知识，分类讨论思想是本题的关键．
24.【答案】解：(1)点B是点D，F关于直线AB的“等角点”，
理由：∵点D，E关于直线AB对称，
∴AB垂直平分DE，
∴BD=BE，
∴∠DBA=∠EBA，
∵∠FBM=∠EBA，
∴∠DBA=∠FBM，
∴点B是点D，F关于直线AB的“等角点”．
(2)如图2，
作法：1，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AN与G、H；
2.连接GD，以H为圆心，GD长为半径作弧，与前弧相交于点I；
3.作射线CI交EF于点Q，
点Q就是所求的点．
理由：由作法得CG=CH=CD=CI，GD=HI，
在▵CDG和▵CIH中，
CG=CHCD=CIGD=HI,
∴▵CDG≌▵CIHSSS，
∴∠DCA=∠QCN，
∴点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，
∴点Q就是所求的点．
(3)如图3，作OJ⊥AB于点J，OL⊥AC于点L，作OK⊥BC于点K，
∵点O到AC的距离为2，
∴OL=2，
∵∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，
∴OK=OJ，OL=OJ，
∴OK=OL，
∴点O在∠ACB的平分线上，
连接PC，设直线l交AC于点R，
∵直线l垂直平分边BC，
∴CP=BP，
∴∠CPT=∠BPT，
∵点P为点O，B关于直线l“等角点”，
∴∠OPR=∠BPT，
∴∠CPT=∠OPR，
∴∠CPT+∠OPT=∠OPR+∠OPT=180∘，
∴O、P、C三点在同一条直线上，
∴OP+BP=OP+CP=OC，CO平分∠ACB，
∴OP+BP的最小值为线段OC的长，
∵∠ACB=60∘，
∴∠OCL=∠OCB=12∠ACB=30∘，
∴OC=2OL=4，
∴OP+BP的最小值为4，
故答案为：4．

【解析】【分析】(1)由AB垂直平分DE，得BD=BE，则∠DBA=∠EBA，而∠FBM=∠EBA，则∠DBA=∠FBM，所以点B是点D，F关于直线AB的“等角点”；
(2)按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作∠QCN=∠DCA，CQ交EF于点Q，则点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C；
(3)作OJ⊥AB于点J，OK⊥BC于点K，OL⊥AC于点L，则OL=2，由角平分线的性质得OK=OL=OJ，则点O在∠ACB的平分线上，连接PC，设直线l交AC于点R，交BC于点T，则CP=BP，所以∠CPT=∠BPT，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得∠OPR=∠BPT，则∠CPT=∠OPR，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则OP+BP=OP+CP=OC，所以OP+BP的最小值为线段OC的长，可求得OC=2OL=4，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵CF/​/ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC=DE．
∴四边形CDEF是菱形；
(2)解：如图，连接GF，
∵四边形CDEF是菱形，
∴CF=CD=5，
∵BC=3，
∴BF= CF2−BC2= 52−32=4，
∴AF=AB−BF=5−4=1，
在△CDG和△CFG中，
CD=CF∠DCG=∠FCGCG=CG，
∴△CDG≌△CFG(SAS)，
∴FG=DG，
∴FG=DG=AD−AG=3−AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2=AF2+AG2，
∴(3−AG)2=12+AG2，
解得AG=43．
【解析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
(1)根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
(2)连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG(SAS)，然后根据勾股定理即可解决问题．