江西省南昌市第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份江西省南昌市第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：龚亮 审题人：刘云 试卷总分：150分 考试时长：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin585∘的值为( )
A. 22B. − 22C. 32D. − 32
2.函数y= 16−x2+1 sinx的定义域为( )
A. 0,4B. −4,−π∪0,4
C. −π,0D. −4,−π∪0,π
3. 设函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π5，则它的一条对称轴方程为( )
A. x=π12B. x=−π12C. x=π15D. x=−π15
4.设m，n是两个不共线的向量，若AB=m+5n，BC=−2m+8n，CD=4m+2n，则( )
A. A，B，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
5.以下说法正确的是( )
A. 若λa=0 (λ为实数)，则λ必为零B. 若a//b，b//c，则a//c
C. 共线向量又叫平行向量D. 若a和b都是单位向量，则a=b
6.下列说法正确的是( )
A. 与角19π6终边相同的角α的集合可以表示为α|α=2kπ+π6,k∈Z
B. 若α为第一象限角，则α2仍为第一象限角
C. 函数f(x)=sin(x+φ+π4)是偶函数，则φ的一个可能值为3π4
D. 点(7π12,0)是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一个对称中心
7.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A，B间的圆弧长为l，嘴角间的距离为d，圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)，则l、d和θ所满足的恒等关系为( )
A. sinθ2θ=dlB. 2sinθ2θ=dlC. csθ2θ=dlD. 2csθ2θ=dl
8.当x∈[0,π2]时，不等式mA. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. cs82∘sin52∘−sin82∘cs52∘=12B. sin30∘sin22.5∘sin67.5∘= 24
C. tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘=− 3D. 2cs215∘−1= 32
10.将函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值可能为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
11.已知函数f(x)=tan(ωx−π6) (ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期是2π，则ω=12
B. 当ω=1时，f(x)的对称中心的坐标为(kπ+π6 , 0)(k∈Z)
C. 当ω=2时，f(−π12)D. 若f(x)在区间(π3 , π)上单调递增，则0<ω≤23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设θ是第二象限角，则点P(sinθ,csθ)在第 象限．
13. 化简：23[(4a−3b)+13b−14(6a−7b)]=
14.若函数f(x)=sin (ωx+π6)(ω>0)在区间π,2π内没有最值，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(α)=sin (π−α)cs (π+α)cs (π2+α)cs (2π+α)sin (3π2−α)sin (−π−α).
(1)若角α的终边过点P(−12,5)，始边为x非负半轴，求f(α);
(2)若f(α)=2，分别求sinα−csαsinα+csα和4sin2α−3sinαcsα的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<π)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)首先将函数f(x)的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π2]内的值域．
17.(本小题15分)
已知0<α<π2，−π2<β<0，csπ4+α=13，csπ4−β2= 33．
(1)求csα+β2的值；
(2)求sinβ的值：
(3)求α−β的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象中相邻的两个对称中心的距离为π2，再从条件(1)，条件(2)，条件(3)这三个条件中选择一个作为已知．
条件(1)：函数f(x)的图象关于直线x=−π3对称；
条件(2)：函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称；
条件(3)：对任意实数x,f(x)≤|f(−5π6)|恒成立．
(1)求出f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到曲线y=g(x)，若方程g(x)=a在[π6,2π3]上有两根α，β，求α+β的值及a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x.
(1)若f(x)=12，求sin(4x+5π6)的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数y=ℎ(x)的图象，若函数y=ℎ(x)+k(sinx+csx)+5在x∈[0,π2]上有4个零点，求实数k的取值范围．
南昌一中2023-2024学年度下学期高一期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin585∘的值为( )
A. 22B. − 22C. 32D. − 32
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题．
根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解．
【解答】
解： sin585∘=sin(360∘+225∘)=sin(180∘+45∘)=−sin45∘=− 22 ．
故选：B．
2.函数y= 16−x2+1 sinx的定义域为( )
A. 0,4B. −4,−π∪0,4
C. −π,0D. −4,−π∪0,π
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域的求法和正弦函数的性质，属于基础题．
根据题意得{16−x2⩾0sinx>0，解不等式组即可．
【解答】
解：根据题意得{16−x2⩾0sinx>0,
解得−4≤x≤42kπ解得x∈[−4,−π)∪(0,π)．
故选：D．
3.设函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π5，则它的一条对称轴方程为( )
A. x=π12B. x=−π12C. x=π15D. x=−π15
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查由余弦型函数的周期求参以及余弦型函数的对称轴的求解，属于基础题．
【解答】
解：因为函数f(x)=cs(ωx−π6)的最小正周期为π5，所以π5=2πω，解得ω=10所以f(x)=cs(10x−π6)，
所以当x=π12时，10x−π6=2π3，不是函数y=csx的对称轴，故错误;
当x=−π12时，10x−π6=−π，是函数y=csx的对称轴，故正确;
当x=π15时，10x−π6=π2，不是函数y=csx的对称轴，故错误;
当x=−π15时，10x−π6=−5π6，不是函数y=csx的对称轴，故错误;
故选：B
4.设m，n是两个不共线的向量，若AB=m+5n，BC=−2m+8n，CD=4m+2n，则( )
A. A，B，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用向量共线判断点共线，属于基础题．
由已知条件知BD=BC+CD=2m+10n=2AB，从而可以判定A、B、D三点共线．
【解答】
解：∵BC=−2m+8n，CD=4m+2n，
∴BD=BC+CD=2m+10n=2AB，
由于BD与AB有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
故选A．
5.以下说法正确的是( )
A. 若λa=0 (λ为实数)，则λ必为零B. 若a//b，b//c，则a//c
C. 共线向量又叫平行向量D. 若a和b都是单位向量，则a=b
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．
根据平面向量的基本概念，对题目中的选项进行分析判断即可．
【解答】
解：对于A，若λa=0 (λ为实数)时，λ不一定为零，如a=0时，λ为任意数，故A错误；
对于B，当a/​/b，且a/​/c时，a/​/c不一定成立，如b=0时，故B错误；
对于C，共线向量又叫平行向量，故C正确；
对于D，当a与b都是单位向量时，a=b不一定成立，因为它们的方向不一定相同，故D错误；
故选：C．
6.下列说法正确的是( )
A. 与角19π6终边相同的角α的集合可以表示为α|α=2kπ+π6,k∈Z
B. 若α为第一象限角，则α2仍为第一象限角
C. 函数f(x)=sin(x+φ+π4)是偶函数，则φ的一个可能值为3π4
D. 点(7π12,0)是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一个对称中心
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角函数的性质和图象的变换，考查象限角，终边相同的角等，属于中档题．
由三角函数的性质，逐个选项验证可得．
【解答】
解：对于A项，由19π6=2kπ+π6,k=32∉Z可知，A错误；
对于B项，因为α为第一象限角，所以2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，
则kπ<α2<π4+kπ,k∈Z，即α2为第一或第三象限角，B错误；
对于C项，当φ=3π4时，f(x)=sin(x+π)=−sinx为奇函数，C错误；
对于D项，由f(7π12)=2cs⁡(14π12+4π12)=2cs⁡(3π2)=0可知，点(7π12,0)是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一个对称中心，D正确；
故选D．
7.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A，B间的圆弧长为l，嘴角间的距离为d，圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)，则l、d和θ所满足的恒等关系为( )
A. sinθ2θ=dlB. 2sinθ2θ=dlC. csθ2θ=dlD. 2csθ2θ=dl
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是弧长公式，垂径定理，属于基础题．
根据题意设该圆弧所对应的圆的半径为r，则2rcs⁡π−θ2=2rsin⁡θ2=d，θ·r=l，两式相除即可得出答案．
【解答】
解：设该圆弧所对应的圆的半径为r，
则2rcs⁡π−θ2=2rsin⁡θ2=d，θ·r=l，
以上两式相除得2sinθ2θ=dl．
故选B．
8.当x∈[0,π2]时，不等式mA. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的最值、两角和与差的正弦公式，属于中档题．
由三角函数公式化简不等式，由x的范围和三角函数的值域可求出m的范围．
【解答】
解：根据题意可得，sinx(csx− 3sinx)+ 32=sinxcsx− 3sin2x+ 32=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)，
∵x∈[0,π2]，，∴sin(2x+π3)∈[− 32,1]；
则根据题意可得不等式组为：m<− 32m+2>1，解得−1故选：D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. cs82∘sin52∘−sin82∘cs52∘=12B. sin30∘sin22.5∘sin67.5∘= 24
C. tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘=− 3D. 2cs215∘−1= 32
【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式、两角和差公式，属基础题．
【解答】
解：A中，cs82∘sin52∘−sin82∘cs52∘=sin(52∘−82∘)=sin(−30∘)=−12，则A错误;
B中，sin30∘sin22.5∘sin67.5∘=12sin22.5∘cs22.5∘=14sin45∘= 28，则B错误;
C中，tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘=tan(48∘+72∘)=tan120∘=− 3，则C正确;
D中，2cs215∘−1=cs30∘= 32，则D正确．
10.将函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值可能为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查正弦型函数的图象变换，属于基础题．
由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的可能值即可．
【解答】
解：由题意可知：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，
可得：f(x+π2)=sin[ω(x+π2)+φ]=sin(ωx+π2ω+φ)，与原图象重合，
π2ω=2kπ，k∈Z，
解得ω=4k，k∈Z，
当k=1时，ω=4，
当k=2时，ω=8，
当k=3时，ω=12，
故选ACD．
11.已知函数f(x)=tan(ωx−π6) (ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期是2π，则ω=12
B. 当ω=1时，f(x)的对称中心的坐标为(kπ+π6 , 0)(k∈Z)
C. 当ω=2时，f(−π12)D. 若f(x)在区间(π3 , π)上单调递增，则0<ω≤23
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查正切型函数的性质，主要考查学生的运算能力和转化能力及思维能力，属于中档题．
直接利用函数的关系式和正切函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：已知函数f(x)=tan(ωx−π6) (ω>0)，
对于A：由于函数的最小正周期T=πω=2π，所以ω=12，故A正确；
对于B：当ω=1时f(x)=tan(x−π6)，
令x−π6=kπ2(k∈Z)，可得x=kπ2+π6(k∈Z)为对称中心的横坐标，
故对称中心为(kπ2+π6,0)(k∈Z)，故B错误；
对于C：当ω=2时，f(−π12)=tan(−π3)=−tanπ3，
f(2π5)=tan(4π5−π6)=tan19π30=−tan11π30，故f(−π12)>f(2π5)，故C错误；
对于D：由于kπ−π2<ωx−π6整理得kπω−π3ω因为函数在(π3,π)单调递增，故π≤kπω+2π3ωkπω−π3ω≤π3,
解得3ω−23⩽k⩽ω+13,k∈Z，
由ω+1⩾3ω−2,ω>0，解得0<ω⩽32，
所以ω+13∈(13,56],3ω−23∈(−23,56]，即k=0，
所以3ω−23⩽0⩽ω+13,ω>0，
所以0<ω≤23，故D正确；
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设θ是第二象限角，则点P(sinθ,csθ)在第 象限．
【答案】四
【解析】【分析】
本题考查三角函数的符号，属于基础题．
已知θ是第二象限角，由三角函数的符号可得到答案．
【解答】
解：∵θ是第二象限角，
∴sinθ>0，csθ<0，
∴点P(sinθ,csθ)在第四象限．
故答案为：四．
13. 化简：23[(4a−3b)+13b−14(6a−7b)]=
【答案】53a−1118b
【解析】【分析】
本题考查了向量的数乘运算和向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的数乘运算和向量的加减运算法则计算即可．
【解答】解：23[(4a−3b)+13b−14(6a−7b)]
=234a−3b+13b−32a+74b
=23(52a−1112b)=53a−1118b
故答案为：53a−1118b．
14.若函数f(x)=sin (ωx+π6)(ω>0)在区间π,2π内没有最值，则ω的取值范围是 ．
【答案】(0,16]∪[13,23]
【解析】【分析】
本题考查了正弦型函数的图象与性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
利用题目条件得(π,2π)⊆kπ+π3ω,kπ+4π3ωk∈Z，从而得kπ+π3ω⩽πkπ+4π3ω⩾2πk∈Z，最后计算得结论．
【解答】
解：由kπ+π2<ωx+π60，
得kπ+π3ω因为函数f(x)=sin (ωx+π6)(ω>0)在区间π,2π内没有最值，
因此(π,2π)⊆kπ+π3ω,kπ+4π3ωk∈Z，
所以kπ+π3ω⩽πkπ+4π3ω⩾2πk∈Z，解得k+13⩽ω⩽k2+23k∈Z．
由k+13⩽k2+23得k⩽23，k∈Z，
因此当k=0时，由k+13⩽ω⩽k2+23，得13⩽ω⩽23；
当k=−1时，由k+13⩽ω⩽k2+23，得−23⩽ω⩽16，
而ω>0，因此0<ω⩽16．
综上所述，ω的取值范围是(0,16]∪[13,23]．
故答案为(0,16]∪[13,23]．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(α)=sin (π−α)cs (π+α)cs (π2+α)cs (2π+α)sin (3π2−α)sin (−π−α).
(1)若角α的终边过点P(−12,5)，始边为x非负半轴，求f(α);
(2)若f(α)=2，分别求sinα−csαsinα+csα和4sin2α−3sinαcsα的值．
【答案】解：(1)f(α)=sin(π−α)cs(π+α)cs(π2+α)cs(2π+α)sin(3π2−α)sin(−π−α)
=sin α(−cs α)(−sin α)cs α(−cs α)sin (π−α)
=−sinα⋅csα⋅sinαcsα⋅csα⋅sinα=−tanα，
因为角α的终边过点P(−12,5)，
所以tanα=−512，
所以f(α)=−tanα=512；
(2)因为f(α)=2，所以−tanα=2，解得tanα=−2，
所以sinα−csαsinα+csα=tanα−1tanα+1=−2−1−2+1=3，
4sin2α−3sinαcsα
=4sin2α−3sinαcsαsin2α+cs2α
=4tan2α−3tanαtan2α+1
=4×−22−3×−2−22+1=225．
【解析】本题主要考查了诱导公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．(1)由诱导公式化简f(α)，由三角函数的定义计算出tanα可得结论；
(2)由条件得tanα=−2，将原式化为关于sinα，csα的齐次式，然后弦化切，进而即可求解．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<π)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)首先将函数f(x)的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π2]内的值域．
【答案】解：(1)由图象得A=2，13π12−π3=34T=34⋅2πω⇒ω=2，
由2×13π12+φ=π2+2kπ，
可得φ=−5π3+2kπ(k∈Z)，
∵0≤φ≤π，
∴φ=π3，
∴f(x)=2sin(2x+π3)．
(2)g(x)=2sin[4(x−π8)+π3]+1=2sin(4x−π6)+1，
当x∈[0,π2]时，4x−π6∈[−π6,11π6]，sin(4x−π6)∈[−1,1]，
∴g(x)∈[−1,3]．
【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想和逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)由图象可求A的值，利用三角函数的周期公式可求ω的值，再代入点(13π12,2)计算出φ的值即可得解；
(2)由题意根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)的解析式，进而根据正弦函数的图象与性质即可得解．
17.(本小题15分)
已知0<α<π2，−π2<β<0，csπ4+α=13，csπ4−β2= 33．
(1)求csα+β2的值；
(2)求sinβ的值：
(3)求α−β的值．
【答案】解：(1)由题设，π4<π4+α<3π4，π4<π4−β2<π2，
∴sinπ4+α=2 23，sinπ4−β2= 63，
又csα+β2=cs[(π4+α)−(π4−β2)]=cs(π4+α)cs(π4−β2)+sin(π4+α)sin(π4−β2)=5 39．
(2)sinβ=cs(π2−β)=2cs2(π4−β2)−1=−13．
(3)由csπ4+α= 22(csα−sinα)=13，
则csα−sinα= 23，
由sinπ4+α= 22(csα+sinα)=2 23，
则csα+sinα=43，
∴csα=4+ 26，sinα=4− 26，
又sinβ=−13，−π2<β<0，则csβ=2 23，
∴cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ= 22，
而0<α−β<π，故α−β=π4．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，是中档题．
(1)由条件利用同角三角函数的基本关系得出sinπ4+α=2 23，sinπ4−β2= 63，再由cs (α+β2)=cs [(π4+α)−(π4−β2)]展开计算即可；
(2)由二倍角公式和诱导公式得sin β=cs (π2−β)=2cs2(π4−β2)−1，计算可得；
(3)由csπ4+α=13可得：csα−sinα= 23，再由sinπ4+α=2 23可得csα+sinα=43，于是可求出csα=4+ 26，sinα=4− 26，然后计算α−β的余弦值，可得结果．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象中相邻的两个对称中心的距离为π2，再从条件(1)，条件(2)，条件(3)这三个条件中选择一个作为已知．
条件(1)：函数f(x)的图象关于直线x=−π3对称；
条件(2)：函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称；
条件(3)：对任意实数x,f(x)≤|f(−5π6)|恒成立．
(1)求出f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到曲线y=g(x)，若方程g(x)=a在[π6,2π3]上有两根α，β，求α+β的值及a的取值范围．
【答案】解：(1)因为函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)图象中相邻的两个对称中心的距离为π2，
所以T2=π2，即周期T=π，所以ω=2πT=2，
所以f(x)=2cs(2x+φ)．
若选择①：因为函数f(x)的图象关于直线x=−π3轴对称，
所以2(−π3)+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ+2π3，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，
所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2cs(2x−π3).
若选择②，函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称，
所以f(−π12)=2cs[2×(−π12)+φ]=0，
所以2(−π12)+φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=kπ+2π3，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，
所以函数v=f(x)的解析式为f(x)=2cs(2x−π3).
若选③：对任意实数x，f(x)≤|f(−5π6)|恒成立，
所以2(−5π6)+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ+5π3，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，
所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2cs(2x−π3).
(2)将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到曲线y=g(x)，
所以g(x)=2cs(2x−π6)，
当x∈[π6,2π3]时，2x−π6∈[π6,7π6]，
当2x−π6=π时，g(x)有最小值−2且关于x=7π12对称，所以α+β=2×7π12=7π6，
因为f(π6)= 32，f(2π3)=− 3，
所以−2【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及余弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．
(1)通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得ω，
选条件①，可得2(−π12)+φ=kπ+π2，则可求出φ，则f(x)的解析式可得；
选条件②，将(π6,0)代入解析式，可得2×π6+φ=kπ，解出φ，即得答案；
选条件③，可知2(−5π6)+φ=kπ，解出φ，即得答案；
(2)先根据平移变换求出y=g(x)，再通过整体法，利用正弦函数的图象和性质可得y=g(x)的最小值，则实数m的取值范围可求．
19.(本小题17分)
已知f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x.
(1)若f(x)=12，求sin(4x+5π6)的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数y=ℎ(x)的图象，若函数y=ℎ(x)+k(sinx+csx)+5在x∈[0,π2]上有4个零点，求实数k的取值范围．
【答案】 解：(1)f(x)=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x
= 3sin2x+cs2x=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)
若f(x)=12，即sin(2x+π6)=14，
则sin(4x+5π6)=cs(4x+π3)=cs2(2x+π6)=1−2sin2(2x+π6)=1−2×(14)2=78．
(2)易知ℎ(x)=2sin2x，根据题意，设t=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
因为x∈[0,π2]，所以π4≤x+π4≤3π4，
所以 22≤sin(x+π4)≤1，所以1≤t≤ 2，
所以原方程变为kt+2(t2−1)+5=2t2+kt+3=0，1≤t≤ 2，
令g(t)=2t2+kt+3，1≤t≤ 2
因为原方程有4个零点，而方程t= 2sin(x+π4)在x∈[0,π2]至多两个根，
所以1≤t< 2，且g(t)在1≤t< 2有两个零点，
则g(1)=2+k+3⩾01<−k× 22< 2Δ=k2−4×2×3>0g( 2)=2( 2)2+ 2k+3>0,
解得−7 22【解析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，函数的零点与方程的根之间的关系，属于较难题．
(1)先化简求得 f(x) 的解析式，根据 f(x)=12 ，求得 sin (2x+π6) 的值，进而求得 sin (4x+5π6) 的值；
(2)先求得 y=ℎ(x) ，根据函数 y=ℎ(x)+k(sin x+cs x)+5 在 x∈[0,π2] 上有4个零点，可求得实数 k 的取值范围．