江西省南昌市外国语学校2023-2024学年度高一下学期5月份月考数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省南昌市外国语学校2023-2024学年度高一下学期5月份月考数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 z满足 1−iz=3+i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设 a,b为平面向量，则“存在实数 A，使得 a=2b”是“ a+b=a+3|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．如图，csπ4+θ的值为（ ）
A．510B．55C．45D．255
4．在平面直角坐标系 xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆盘上点 A1,0重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当 φ=2rad时，点 M与点O之间的距离为（ ）
A．1cs1B．2sin1C．2D．5
5．已知等腰梯形 ABCD中，AB//DC,AB=2DC=2AD=2,BC的中点为 E，则 AE=（ ）
A．13DB+53ACB．13DB+56ACC．13DB+12ACD．23DB+56AC
6．计算：sin40∘⋅sin80∘cs40∘+cs60∘=（ ）
A．12B．32C．22D．33
7．已知 csα+π6=45,csβ−π6=1213,α,β∈0,π6，则 csα+β=（ ）
A．1665B．3365C．5665D．6365
8．如图，在四边形 ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60​∘,AB=2,AD=3，E为线段CD的中点，F为线段 AB上一动点（包括端点），且 EF=λDA+μAB，则下列说法错误的是（ ）
A．BC=52B．若 F为线段 AB的中点，则 λ+μ=1
C．FC⋅FD的最小值为 154D．μ的最大值比最小值为 85
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量 a=−2,2,b=1,1，且 a+b与 a−b的夹角为 θ，则（ ）
A．a−b=−3,1B．a⊥b
C．sinθ=−45D．a−b在 a上的投影向量是 −2,2
10．下列关于非零复数 z1,z2的结论正确的是（ ）
A．若 z1,z2互为共轭复数，则 z1⋅z2∈RB．若 z1⋅z2∈R，则 z1,z2互为共轭复数
C．若 z1,z2互为共轭复数，则 z1z2=1D．若 z1z2=1，则 z1,z2互为共轭复数
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用 [x]表示不超过x的最大整数，则 y=[x]称为高斯函数，例如 [−2,1]=−3，[2,1]=2. 已知函数 fx=sinx+sinx，函数 gx=[fx]，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数 gx不是周期函数；B．函数 gx的值域是 {0,1,2}
C．函数 (gx的图象关于 x=π2对称：D．方程 π2⋅gx=x只有一个实数根；
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量 a，b满足 a−b=3，a+b=2a−b，则 b=
13．已知i与j为互相垂直的单位向量，a=2i+3j,b=−i+2λj，且 a与 b的夹角为钝角，则实数 λ的取值范围是 .
14．函数fx=sinxcsx1+sinx+csx的值域为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在锐角 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 a=7,b=3,7sinB+sinA=23.
（1）求角 A的大小；
（2）求 △ABC的面积.
16．某同学用五点法作函数fx=Asin0x+φA>0,0>0,φ<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数 fx的图象；
（2）将 fx的图象向右平移θθ>0个单位，得到 gx的图象，若 gx的图象关于 y轴对称，求 θ的最小值.
17．在 △ABC中，点 D,E分别在边BC和边AB上，且 DC=2BD,BE=2AE,AD交 CE于点 P，设BC=a,BA=b.
（1）试用a,b表示BP;
（2）点F在边AC上，且满足B,P,F三点共线，试确定点F的位置.
18．已知向量 u=sinx,sin2x+π4,v=3sinx,1，若函数 fx=2u⋅v−3.
（1）求函数 fx的最小正周期；
（2）若 x∈[−π4,π4]，求 y=fx的最值及取得最值时的 x值；
（3）若函数 y=fx−m在 x∈[0,π2]内有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
19．在路边安装路灯，灯柱 AB与地面垂直（满足 ∠BAD=90∘），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且 ∠ABC=120​∘，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ∠ACD=60​∘，路宽AD=12m. 设灯柱高 AB=ℎm,∠ACB=θ30∘≤θ≤45∘.
（1）当 θ=30​∘时，求四边形ABCD的面积；
（2）求灯柱的高ℎ（用 θ表示）；
（3）若灯杆 BC与灯柱 AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于 θ的函数表达式，并求出S的最小值.
【参考答案】
南昌市外国语学校2023-2024学年度下学期5月份月考试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D
【详解】由题意知：z=3+i1−i=3+i1+i1−i1+i=1+2i,
所以 z=1−2i，所以在复平面内对应的点 1,−2位于第四象限.
故选：D.
2．B
【详解】若存在实数 λ，使得 a=λb，则有 a+b=λb+b=λ+1⋅b，
a+b=λb+b=λ+1⋅b，若λ<0，则 a+b≠a+b,
故“存在实数 λ，使得 a=λb”不是“ a+b=a+b”的充分条件；
若 a+b=a+b，则有 a//b,
由平面向量共线定理可得：此时存在实数 λ，使得 a=λb,
故“存在实数 λ，使得 a=λb”是“ a+b=a+b”的必要条件；
即“存在实数 λ，使得 a=λb”是“ a+b=a+b”的必要不充分条件. 故选：B.
3．B
【详解】设 ∠xOP=α，则 csα=222+1=255,sinα=122+1=55，
因 Q2,2，则 ∠yOQ=π4， 故 θ+π4=π2−α,csπ4+θ=csπ2−α=sinα=55，故选： B
4．D
【详解】展开过程中：BM=AB⌢=φ⋅R=2,BO=1,MO=BM​2+BO​2=5，故选：D.
5．B
【详解】 ∵AB=DB−DA=DB−DC+CA=DB−DC−CA=DB−12AB−CA，
∴32AB=DB−CA,∴AB=23DB+23AC，
∴AE→=12AB→+AC→=1223DB→+23AC→+12AC→=13DB→+56AC→. 故选 B.
6．A
【详解】sin40∘⋅sin80∘cs40∘+cs60∘=sin60∘−20∘sin60∘+20∘cs40∘+12=32cs20∘2−12sin20∘232−2sin220∘
=34cs220∘−14sin220∘234−sin220∘=34−sin220∘234−sin220∘=12，故选： A
7．D
【详解】∵csα+π6=45,csβ−π6=1213,α,β∈0,π6∴α+π6∈π6,π3,β−π6∈−π6,0
∴sinα+π6>0,sinβ−π6<0,
∴sinα+π6=1−cs2α+π6=35,sinβ−π6=1−cs2β−π6=−513，
∴csα+β=cs[α+π6+β−π6]
=csβ−π6csα+π6−sinβ−π6sinα+π6=45×1213−35×−513=6365. 故选： D
8．C
【详解】以 A为坐标原点，AB所在直线为 x轴，AD所在直线为 y轴，建立空间直角坐标系，过点 C作 CG⊥x轴于点 G，作 CH⊥y轴于点 H，过点 B作 BM⊥CH交 HC的延长线于点 M，则 △CDH∼△BCM,
因为 AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60​∘，
所以 ∠CDH=60​∘，设 HD=x，则 CH=3x，则 BM=AH=3+x,CM=2−3x,
则 DHCM=CHBM，即 x2−3x=3x3+x，解得 x=34或 x=0（舍去），
则 A0,0,B2,0,D0,3,C34,534,E38,938，
BC=BM2+CM2=7516+2516=52,A说法正确；
若 F为线段 AB的中点，则 F1,0,
所以 EF=58,−938,DA=0,−3,CB=54,−534,
则 58=54μ−938=−3λ−534μ，解得 {λ=12μ=12，则 λ+μ=1， B说法正确；
设 Fm,0,0≤m≤2，
则 FC,FD=34−m,534⋅−m,3=m2−34m+154=m−382+23164，
故当 m=38时,FC⋅FD取得最小值，故最小值为 23164，C选项说法错误；
EF=m−38,−938，则 {m−38=54μ−938=−3λ−534μ，
因为 0≤m≤2，则 m−38∈[−38,138]，所以 54μ∈[−38,138],
解得： μ∈[−310,1310],1310−−310=85，
所以 μ的最大值比最小值大 85，D说法正确.
故选：C
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．ABD
【详解】对于 A，由 a=−2,2,b=1,1可得 a−b=−3,1,a+b=−1,3，故 A正确；
对于 B，由于 a,b=−2+2=0，所以 a⊥b，故 B正确；
对于 C， cs⟨a+b,a−b⟩=csθ=a+b⋅a−ba+ba−b=3+310×10=35,
由于 θ∈[0,π]，所以 sinθ=45，故 C错误；
对于 D， a−b在 a上的投影向量为 a−b⋅aa⋅aa=6+222a22=a=−2,2，故 D正确，故选： ABD
10．AC
【详解】设 z1=a+bia,b∈R，由 z1,z2互为共轭复数，得 z2=a−bi，则 z1⋅z2=a2+b2∈R，故 A正确.
当 z1=2+2i,z2=1−i时，z1⋅z2=4∈R，此时，z1,z2不是共轭复数，则 B错误.
由 z1,z2互为共键复数，得 z1=z2，从而 z1z2=1，即 z1z2=1，则 C正确.
当 z1=2+i,z2=1−2i时，z1=z2，即 z1z2=1，此时，z1,z2不是共轭复数，则 D错误. 故选： AC
11．BD
【详解】函数 fx的定义域为 R,
因为 f−x=sin−x+sin−x=sinx+sinx=fx，所以 fx为偶函数，
当 x≥0时，fx=sinx+sinx,
则 fx+2π=sinx+2π+sinx+2π=sinx+sinx=fx
当0当π所以函数 fx的图象如图所示
由 gx=[fx]可知，在 x≥0内，gx+2π=[fx+2π]=[fx]=gx,
当 x=2kπ+π2,k∈Z时，gx=2,
当 2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6，且 x≠2kπ+π2,k∈Z时，gx=1,
当2kπ≤x<2kπ+π6或2kπ+5π6因为 g−x=[f−x]=[fx]=gx，所以 gx为偶函数，
则函数 gx的图象如图所示：
由函数 gx的图象得到 gx不是周期函数，故选项 A不正确；所以函数 gx的值域是 {0,1,2}，故选项 B正确；
由 g−π4=[f−π4]=[2]=1,g5π4=[f5π4]=[0]=0，
所以函数 gx的图象不关于 x=π2对称，故选项 C不正确；
对于方程 π2gx=x，当 gx=0时，x=0方程有一个实数根，
当 gx=1时，x=π2，此时 gπ2=2≠1，方程没有实数根，
当 gx=2时，x=π，此时 gπ=0≠2，方程没有实数根，
所以方程 π2gx=x只有一个实数根，故 D正确.
故答案为：BD
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．3
【详解】法一：因为 a+b=2a−b，即 a+b2=2a−b2,
则 a2+2a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2，整理得 a2−2a⋅b=0,
又因为 a−b=3，即 a−b2=3,
则 a2−2a⋅b+b2=b2=3，所以 b=3.
法二：设 c=a−b，则 c=3,a+b=c+2b,2a−b=2c+b,
由题意可得：c+2b2=2c+b2，则 c2+4c⋅b+4b2=4c2+4c⋅b+b2,
整理得：c2=b2，即 b=c=3.
故答案为：3.
13．−∞,−34∪−34,13
【详解】不妨令 i=1,0,j=0,1,
所以 a=2i+3j=21,0+30,1=2,3,
b=−i+2λj=−1,0+2λ0,1=−1,2λ,
因为 a与 b的夹角为钝角，所以a⋅b<0且 a与 b不反向，
若a⋅b<0，则−2+6λ<0，解得λ<13，
若 a与 b共线，则 2×2λ=−1×3，解得 λ=−34，综上可得实数 λ的取值范围是 −∞,−34∪−34,13.
故答案为： −∞,−34∪−34,13
14．[−2−12,−1)∪(−1,2−12]
【详解】令 t=sinx+csx=2sinx+π4,t∈[−2,−1)∪(−1,2]，
则 t2=1+2sinxcsx，即 sinxcsx=t2−12，所以 ft=t2−121+t=t−12，
又因为 t∈[−2,−1)∪(−1,2]，所以 ft∈[−2−12,−1)∪(−1,2−12].
即函数 fx=sinxcsx1+sinx+csx的值域为 [−2−12,−1)∪(−1,2−12]. 故答案为： [−2−12,−1)∪(−1,2−12].
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1） A=π3；
【详解】试题分析：（1）先由正弦定理求得 sinB与 sinA的关系，然后结合已知等式求得 sinA的值，从而求得 A的值；（2）先由余弦定理求得c的值，从而由 csB的范围取舍c的值，进而由面积公式求解。
【解析】试题解析：在 △ABC中，由正弦定理 asinA=bsinB，得 7sinA=3sinB，即 7sinB=3sinA.
又因为 7sinB+sinA=23，所以 sinA=32.
因为 △ABC为锐角三角形，所以 A=π3.
（2） S△ABC=332.
【解析】在 △ABC中，由余弦定理 csA=b2+c2−a22bc，得 12=9+c​2−76c，即 c​2−3c+2=0. 解得 c=1或 c=2. 当 c=1时，因为csB=a2+c2−b22ac=−714<0，所以角 B为钝角，不符合题意，舍去. 当 c=2时，因为csB=a2+c2−b22ac=714>0，又b>c,b>a⇒B>C,B>A，所以 △ABC为锐角三角形，符合题意. 所以 △ABC的面积 S=12bcsinA=12×3×2×32=332.
16．（1） 答案见解析；
【详解】易知，A=2，再根据表格中已知数据可知， π3ω+φ=π2,7π12ω+φ=π，故可得 ω=2,φ=−π6；
令 2x−π6=0，解得 x=π12，令 2x−π6=3π2，解得 x=5π6；令 2x−π6=2π，解得 x=1312π;
故填表如下：
根据五点作图法，结合表格中数据，画图如下所示：
（2） π6.
【解析】由（1）可知，fx=2sin2x−π6，根据题意可得 gx=2sin[2x−θ−π6]=2sin2x−2θ−π6],,
由题可知，gx为偶函数，故 2θ+π6=kπ+π2,k∈Z，故可得 θ=kπ2+π6,k∈Z,
又θ>0，故当 k=0时，θ取得最小值 π6.
17．（1） BP=17a+47b
【详解】解：在 △ABC中，由 BE=2AE，可得 BE=23BA，且 BC=3BD,
设 EP=tEC，则 BP=1−tBE+tBC=1−t⋅23BA+t⋅3BD,
又因为 P,A,D三点共线，可得 231−t+3t=1，解得 t=17.
可得 BP=1−17⋅23BA+17BC=17a+47b.
（2） AF=15AC
解：设 AF=xAC=xa−b，所以 BF=BA+AF=xa+1−xb,
因为 BP=17a+47b，又因为 B,P,F，三点共线，所以 BP=kBF,
所以 {17=kx47=k1−x，解得 x=15，所以 F满足 AF=15AC.
18．（1） π
【详解】因为函数
fx=2u⋅v−3=23sin2x+2sin2x+π4−3=31−cs2x+1+sin2x−3=1+2sin2x−π3,.
所以函数 fx的最小正周期为 2π2=π.
（2） 最小值为 −1，此时 x=−π12；最大值为2，此时 x=π4
【解析】由（1）知 fx=1+2sin2x−π3,
因为 x∈[−π4,π4]，所以 2x−π3∈[−5π6,π6]，令 t=2x−π3，
则 y=sint在区间 [−5π6,−π2]上单调递减，在区间 [−π2,π6]单调递增，
所以 t=−π2，即 x=−π12时，
函数 fx=1+2sin2x−π3有最小值，最小值为 f−π12=−1;
当 t=π6，即 x=π4时，
函数 fx=1+2sin2x−π3有最大值，最大值为 fπ4=2；
综上，y=fx的最小值为 −1，此时 x=−π12；最大值为2，此时 x=π4.
（3） [1−3,1+3)∪{3}
【解析】因为函数 y=fx−m在 x∈[0,π2]内有且只有一个零点，
所以 fx−m=0在 x∈[0,π2]内有且只有一个实根，
得 1+1+2sin2x−π3−m=0，即 sin2x−π3=m−12，
即函数 y=sin2x−π3在 x∈[0,π2]上的图象与直线 y=m−12只有一个交点，
当 x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，
画出 y=sinz在 z∈[−π3,2π3]上的图象如下，
结合函数图象可知，函数 y=sin2x−π3在区间 [0,π2]上的图象与直线 y=m−12只有一个交点时，
所以 m−12∈[−32,32)∪{1}，即 m的取值范围是 [1−3,1+3)∪{3}.
19．（1） 483m2
【详解】当 θ=30​∘时，∠BAC=180​∘−120​∘−30​∘=30​∘，
所以 AB=BC,
又 ∠CAD=90​∘−∠BAC=60​∘
所以 △ACD是等边三角形，所以 AC=AD=12,
所以在 △ABC中，ABsin∠ACB=BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，即 AB=BC=43，
所以 S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×43×43×sin120∘+12×12×12×sin60∘=483；
（2） ℎ=8sin2θ30∘≤θ≤45∘
【解析】∠BAC=180​∘−120​∘−θ=60​∘−θ，∠CAD=90∘−∠BAC=θ+30∘，
∠ADC=180∘−60∘−θ+30∘=90∘−θ，
在 △ACD中，由正弦定理得 ADsin∠ACD=ACsin∠ADC,
所以 12sin60∘=ACsin90∘−θ
所以 AC=83csθ
在 △ABC中，由正弦定理得 ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,
所以 ACsin120∘=ℎsinθ，
所以 AC=3ℎ2sinθ=83csθ，所以 ℎ=8sin2θ30∘≤θ≤45∘；
（3） S=8sin2θ+60∘+4330∘≤θ≤45∘，S最小值为4+43m2
【解析】在 △ABC中，由正弦定理得 ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，
所以 83csθsin120∘=BCsin60∘−θ，
所以 BC=16csθsin60∘−θ=16csθ[sin60∘csθ−cs60∘sinθ]=83cs2θ−8sinθcsθ
=83⋅1+cs2θ2−4sin2θ=43+43cs2θ−4sin2θ
所以 S=AB+BC=8sin2θ+43+43cs2θ−4sin2θ=43+43cs2θ+4sin2θ
=43+812sin2θ+32cs2θ=8sin(2θ+60∘)+43,
因为 30∘≤θ≤45∘，所以 120∘≤2θ+60∘≤150∘，
所以当 2θ+60​∘=150​∘，即 θ=45​∘时，S取最小值 4+43，
故S关于 θ的函数表达式为S=8sin2θ+60∘+4330∘≤θ≤45∘，S最小值为 4+43m2.ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
7π12
fx
0
2
0
−2
0
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
fx
0
2
0
−2
0