江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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命题人：彭勇 审题人：赵子锋 试卷总分：150分 考试时长：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求在处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】由题知，切线方程为，即，
故选：B.
2. 设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
3. 已知等比数列首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】取，可判断充分性；由是递增数列，结合等比数列通项公式可得，，或，，从而得成立，即可判断必要性.
【详解】在等比数列中，，取，，
此时，为摆动数列，故充分性不成立；
若等比数列的公比为，且是递增数列，
又，则，，或，，
当，时，成立，
当，时，成立，
所以，数列为递增数列时，有成立，故必要性成立.
所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在内是增函数B. 在内是增函数
C. 时取得极大值D. 在时取得极小值
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
5. 已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可．
【详解】∵函数在区间上为单调递增函数，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
由于函数在上单调递减，所以，
即实数的取值范围是，
故选：D.
6. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
7. 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）
A. (3，＋∞)B. (2，＋∞)
C. (1，＋∞)D. (0，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意对任意，即可得到对任意恒成立，从而求出参数取值范围；
【详解】解：因为，由数列为递减数列知，对任意，，所以对任意恒成立，所以．
故选：D．
【点睛】本题考查数列的单调性的应用，属于基础题.
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，利用导数讨论单调性即可判断A和B，再构造，利用导数讨论单调性即可判断C和D.
【详解】令，则，
令恒成立，
即在定义域单调递增，
且
因此在区间上必然存在唯一使得，
所以当时单调递减，当时单调递增，
故A，B均错误；
令，，
当时，，
∴在区间上为减函数，
∵，∴，即，
∴选项C正确，D不正确.
故选:C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列求导结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据导数的运算公式、复合函数求导，即可逐项运算得答案.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：ABD.
10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若是等比数列，且，，则
C. 若是等差数列，则
D. 若，则是等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AD：由与的关系求通项公式即可；对于B：作差比较大小即可；对于C：根据等差数列性质计算即可.
【详解】对于A：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等差数列，故A正确；
对于B：
，故，所以B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等比数列，故D正确；
故选：ACD
11. （多选）将个数排成n行n列的一个数阵，如图：
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为S，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列等比数列的通项公式计算判断AB,分别按行、列由等差等比数列计算可判断C,采用分组求和的方法计算可判断D.
【详解】由，，得，
所以或（舍去），故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案.
【详解】，
由题是方程的两个不等实根，
则由韦达定理，所以
又是的等比中项且与同号，则.
故答案为：.
13. 函数的极值为______.
【答案】##-0.375
【解析】
【分析】先直接求出导函数，然后判断导函数的正负性，进而判断函数的单调性，然后求得极值.
【详解】函数的定义域为，则，
令，得，
则当x变化时，，y的变化情况如下表：
所以当时，y有极大值，为
故答案为：
14. 对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列新定义可得，从而时，，相减求得，进而求得的表达式，利用对任意的恒成立，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
∴时，，
两式相减可得：，
化为，
时，，满足上式，
故
故，
∵对任意的恒成立，
∴ ，即，
解得，即，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数,
（1）计算函数的导数的表达式;
（2）求函数的值域.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据导数的运算法则求导即可;
（2）根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.
【详解】解: （1）因为,
所以.
故函数的导数;
（2）,
,
函数在上是单调增函数,
所以,
所以;
故函数的值域为.
【点睛】本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.
16. 为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）；（2），时，的最小值为.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.
【详解】（1）设的公差为 ，
由，，
即，解得，
所以.
（2），
，
所以当时，的最小值为.
17. 已知等比数列{an}公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.
【详解】详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
由（Ⅰ）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
18. 已知函数，函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）求解导函数，然后分类讨论求单调区间；（2）利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.
【小问1详解】
由题意可得的定义域为，且．
①当时，由，得；由，得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
②当时，由，得；由，得．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
当时，令，得，即，
则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．
设，则．
由，得；由，得．
函数在上单调递增，在上单调递减，故．
因为，，且，
所以要使在上有两个不同的实根，则，
即k的取值范围为．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
19. 已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离变量得到，利用导数可求得，由此可得结果；
（2）当，时可证得，放缩可得，利用等比数列求和公式和对数运算法则可求得，由此可得结论.
【小问1详解】
由题意得：定义域为；由得：；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知：当，时，，在上单调递减，
，即；
，
，
即，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题求解和不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够充分利用（1）中的结论，将所证不等式进行放缩，从而结合等比数列求和的知识进行证明.x
2
+
0
-
+
0
+
y
递增
极大值
递减
递增
非极值
递增