2024年江苏省南京市玄武区外国语学校中考数学零模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省南京市玄武区外国语学校中考数学零模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元.10870这个数用科学记数法表示正确的是( )
A. 0.1087×105B. 1.087×104C. 1.087×103D. 10.87×103
2.下列运算结果正确的是( )
A. 2x3+3x3=5x6B. m2n−2mn2=−mn2
C. (ab2)3=ab6D. (2+3x)(2−3x)=4−9x2
3.已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
4.在反比例函数y=4−kx的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，当x1<0A. k<0B. k>0C. k<4D. k>4
5.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位：元)与行驶路程S(单位：千米)的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为( )
A. 25x=103x−0.1B. 25x=103x+0.1C. 253x+0.1=10xD. 253x−0.1=10x
6.如图，OM=2，MN=6，A为射线ON上的动点，以OA为一边作内角∠OAB=120°的菱形OABC，则BM+BN的最小值为( )
A. 26
B. 6
C. 2 13
D. 2 15
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分。
7.函数y= x+2x−1中，自变量x的取值范围是______．
8.一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则bk的值是 ．
9.某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是______．
10.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表
下列结论：
①ac<0；
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根；
④当−10．
其中正确的结论是______．
11.如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是______cm2．
12.如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ______．
13.一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 ．
14.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE=BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2，则OF的长度为______．
15.对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”.如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8−1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为______；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(M)=3(a+b)+c+d，Q(M)=a−5，若P(M)Q(M)能被10整除，则满足条件的M的最大值为______．
三、解答题：本题共12小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题2分)
已知y>1，x<−1，若x−y=m成立，求x+y的取值范围(结果用含m的式子表示)．
17.(本小题10分)
(1)计算：4sin60°+(13)−1+|−2|− 12．
(2)解不等式组：1−2x3−4−3x6≥x−222x−7≤3(x−1)．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(a2b+ab)÷a2+2a+1a+1，其中a= 3+1，b= 3−1．
19.(本小题6分)
某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______(填“甲组”或“乙组”)；
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
20.(本小题8分)
为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
21.(本小题7分)
如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，求证：EF=CF．
22.(本小题8分)
某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t(分)后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
(1)填空：乙的速度v2=______米/分；
(2)写出d1与t的函数关系式：
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，求t的值；
(2)若对于024.(本小题8分)
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24 3米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米.已知目高CE为1.6米．
(1)求教学楼AB的高度．
(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 3米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．
25.(本小题10分)
“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当x=60时，p= ______；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
26.(本小题10分)
如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，BE=EF，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：EM=EN；
(3)如果N是CM的中点，且AB=9 5，求EN的长．
27.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
(1)如图，点A(−1,0)，B1(− 22, 22)，B2( 22,− 22).
①在点C1(−1,1)，C2(− 2,0)，C3(0, 2)中，弦AB1的“关联点”是______；
②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；
(2)已知点M(0,3)，N(6 55,0)，对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”.记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：10870=1.087×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】D
【解析】解：A、2x3+3x3=5x3，故A不符合题意；
B、m2n与−2mn2不能合并，故B不符合题意；
C、(ab2)3=a3b6，故C不符合题意；
D、(2+3x)(2−3x)=4−9x2，故D符合题意；
故选：D．
根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点P(a,c)在第四象限，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
先利用第二象限点的坐标特征得到ac<0，则判断Δ>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
4.【答案】C
【解析】解：∵当x1<0∴反比例函数y=4−kx的图象位于一、三象限，
4−k>0，
解得k<4，
故选：C．
根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为(3x−0.1)元，
依题意得：253x−0.1=10x．
故选：D．
设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为(3x−0.1)元，根据行驶路程=所需费用÷每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形OABC是菱形，∠OAB=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
作N关于直线OB的对称点N′，连接N′M交OB于B，
则MN′=BM+BN的最小值，
过N′作N′H⊥ON于H，
∵NN′⊥OB于E，
∴∠OEN=90°，
∵∠AOB=30°，
∴∠ONE=60°，
∵OM=2，MN=6，
∴EN=12ON=4，
∴NN′=8，
∴HN=4，N′H=4 3，
∴MH=2，
∴MN′= MH2+HN′2=2 13，
∴BM+BN的最小值为2 13，
故选：C．
作N关于直线OB的对称点N′，连接N′M交OB于B，则MN′=BM+BN的最小值，过N′作N′H⊥ON于H，然后利用含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理，即可得到结论．
本题考查了轴对称−最小距离问题，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】x≥−2且x≠1
【解析】解：根据题意得：x+2≥0x−1≠0，
解得：x≥−2且x≠1．
故答案为：x≥−2且x≠1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
8.【答案】2或−7
【解析】解：当k>0时，此y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4，y=6，
∴k+b=34k+b=6，解得k=1b=2，
∴bk=2．
当k<0时，此y随x的增大而减小，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=6；x=4时，y=3，
∴k+b=64k+b=3，解得k=−1b=7．
∴bk=−7．
故答案为：2或−7．
由于k的符号不能确定，故应对k>0和k<0两种情况进行解答．
本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
9.【答案】乙
【解析】解：由题意可得，
甲的成绩为：75×5+80×2+80×35+2+3=77.5，
乙的成绩为：85×5+80×2+70×35+2+3=79.5，
丙的成绩为：70×5+78×2+70×35+2+3=71.6，
∵79.5>77.5>71.6，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．
10.【答案】①③④
【解析】解：∵x=−1时y=−1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴a−b+c=−1c=3a+b+c=5，
解得a=−1b=3c=3，
∴y=−x2+3x+3，
∴ac=−1×3=−3<0，故①正确；
对称轴为直线x=−32×(−1)=32，
所以，当x>32时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程为−x2+2x+3=0，
整理得，x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
所以，3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根，正确，故③正确；
−10正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
利用待定系数法求出二次函数解析式为y=−x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定③④正确．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
11.【答案】16π9
【解析】解：如图，由题意得弧AC的长为2π×2=4π(cm)，
设弧AC所对的圆心角为n°，则
即nπ×8180=4π，
解得n=90，
∴粘贴部分所对应的圆心角为100°−90°=10°，
∴圆锥上粘贴部分的面积是10π×82360=16π9(cm2)，
故答案为：16π9．
求出弧长为4πcm，半径为8cm的扇形所对应的圆心角度数，进而求出粘贴部分的圆心角度数，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
12.【答案】35°
【解析】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，
∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=110°，
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OAB+∠OBA=55°，
∴∠AOB=125°，
∵OE=OD，BD=BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE=90°，
∴∠AFD=∠AOB−∠OGF=125°−90°=35°，
故答案为：35°．
根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．
本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】293
【解析】【分析】
本题考查函数的图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
设出水管每分钟排水x升．由题意进水管每分钟进水10升，则有80−5x=20，求出x，再求出8分钟后的放水时间，可得结论．
【解答】
解：设出水管每分钟排水x升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有80−5x=20，
∴x=12，
∵8分钟后的放水时间=2012=53，8+53=293，
∴a=293，
故答案为：293．
14.【答案】 2
【解析】解：如图，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BE=BC，∠ABC=90°，AC= 2AB=2 2，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠EBC=180°−2∠BEC，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=2∠BEC−90°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF=∠EBF=12∠ABE=∠BEC−45°，
∴∠BFE=∠BEC−∠EBF=45°，
在△BAF与△BEF，
AB=EB∠ABF=∠EBFBF=BF，
∴△BAF≌△BEF(SAS)，
∴∠BFE=∠BFA=45°，
∴∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°，
∵O为对角线AC的中点，
∴OF=12AC= 2，
故答案为： 2．
连接AF，根据正方形ABCD得到AB=BC=BE，∠ABC=90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE=45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC=90°，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF的长度．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE=45°是解题的关键．
15.【答案】6200 9313
【解析】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．
先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的的自然数0时，百位数是2；则最小的“天真数”为6200．
故答案为：6200．
一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．
由“天真数”的定义得a=d+6，所以6≤a≤9，b=c+2，所以0≤c≤7，
又P(M)=3(a+b)+c+d=3(a+c+2)+c+a−6=4a+4c；
Q(M)=a−5．P(M)Q(M)=4a+4ca−5论能被10整除当a取最大值9时，
即当a=9时，P(M)Q(M)满足能被10整除，则c=1，“天真数”M为9313．
故答案为：9313．
它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”.分为两部分：第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．
新定义题型，各数字的取值范围，最值：最小自然数0．
16.【答案】解：由x−y=m，得x=y+m，
由x<−1得y+m<−1，y<−m−1，
又∵y>1，
∴1由x−y=m，得y=x−m，
由y>1得x−m>1，x>m+1，
又∵x<−1，
∴m+1∴m+2【解析】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
由x−y=m得x=y+m，由x<−1得知y<−m−1，根据y>1，得117.【答案】解：(1)原式=4× 32+3+2−2 3
=2 3+3+2−2 3
=5；
(2)1−2x3−4−3x6≥x−22①2x−7≤3(x−1)②，
由①得：x≤1，
由②得：x≥−4，
则不等式组的解集为−4≤x≤1．
【解析】(1)代入三角函数值、去绝对值符号、化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式=ab(a+1)÷(a+1)2a+1
=ab(a+1)÷(a+1)
=ab，
则当a= 3+1，b= 3−1时，原式=( 3+1)( 3−1)=3−1=2．
【解析】首先把分式进行化简，然后计算分式的除法，最后代入a、b的值计算即可．
本题考查了分式的化简求值，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式．
19.【答案】甲组 170 172
【解析】解：(1)数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
则舞蹈队16名学生的中位数为m=166+1662=166，众数为n=165；
(2)甲组学生身高的平均值是：162+165+165+166+1665=164.8，
甲组学生身高的方差是：15×[(164.8−162)2+(164.8−165)2+(164.8−165)2+(164.8−166)2+(164.8−166)2]=2.16，
乙组学生身高的平均值是：161+162+164+165+1755=165.4，
乙组学生身高的方差是：15×[(165.4−161)2+(165.4−162)2+(165.4−164)2+(165.4−165)2+(165.4−175)2]=25.04，
∵25.04>2.6，
∴甲组舞台呈现效果更好．
故答案为：甲组；
(3)∵168，168，172的平均数为13(168+168+172)=16913，
且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，
∴数据的差别较小，
可供选择的有170，172，
平均数为：15(168+168+170+172+172)=170，
方差为：15[(168−170)2+(168−170)2+(170−170)2+(172−170)2+(172−170)2]=3.2<329，
∴选出的另外两名学生的身高分别为170和172．
故答案为：170，172．
(1)根据众数和中位数的定义进行计算；
(2)根据方差的计算式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；
(3)根据方差进行比较．
本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
∴P(A)=14，
∴顾客首次摸球中奖的概率为14；
(2)他应往袋中加入黄球；理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

共有20种等可能结果，
(i)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1=820=25；
(i)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2=1220=35；
∵25<35，
∴P1∴他应往袋中加入黄球．
【解析】(1)用概率公式直接可得答案；
(2)记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：延长BA、CF交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠G=∠FCD，
∵F是AD的中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFC中，
∠G=∠FCD∠AFG=∠DFCAF=DF，
∴△AFG≌△DFC(AAS)，
∴GF=CF=12CG，
∵CE⊥AB，垂足E在线段AB上，
∴∠CEG=90°，
∴EF=12CG，
∴EF=CF．
【解析】延长BA、CF交于点G，可证明△AFG≌△DFC，得GF=CF=12CG，而∠CEG=90°，所以EF=12CG，即可证明EF=CF．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)40
(2)v1=1.5v2=1.5×40=60(米/分)，
60÷60=1(分钟)，a=1，
d1=−60t+60 (0≤t<1)60t−60 (1≤t≤3)；
(3)d2=40t，
当0≤t<1时，d2+d1>10，
即−60t+60+40t>10，
解得0≤t<2.5，
∵0≤t<1，
∴当0≤t<1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；
当1≤t≤3时，d2−d1>10，
即40t−(60t−60)>10，
当1≤t<52时，两遥控车的信号不会产生相互干扰
综上所述：当0≤t<2.5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．
【解析】解：(1)乙的速度v2=120÷3=40(米/分)，
故答案为：40；
(2)见答案
(3)见答案．
(1)根据路程与时间的关系，可得答案；
(2)根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；
(3)根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
本题考查了一次函数的应用，(1)利用了路程速度时间三者的关系，(2)分段函数分别利用待定系数法求解，(3)当0≤t<1时，d2+d1>10；当1≤t≤3时，d2−d1>10，分类讨论是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵对于x1=1，x2=2，有y1=y2，
∴a+b+c=4a+2b+c，
∴3a+b=0，
∴ba=−3．
∵对称轴为x=−b2a=32，
∴t=32．
(2)∵0∴12∵y10，
∴(x1,y1)离对称轴更近，x1∴x1+x22>t，
即t≤12．
【解析】(1)根据二次函数的性质求得对称轴即可，
(2)根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出(x1,y1)与(x2,y2)的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
24.【答案】解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM=∠BDN=30°，
在Rt△BDM中，BM=AC=24 3米，∠DBM=30°，
∴DM=BM⋅tan∠DBM=24 3× 33=24(米)，
∴AB=CM=CD−DM=49.6−24=25.6(米)．
答：教学楼AB的高度为25.6米；
(2)延长EB交DN于点G，则∠DGE=∠MBE，
在Rt△EMB中，BM=AC=24 3米，EM=CM−CE=24米，
∴tan∠MBE=EMBM=2424 3= 33，
∴∠MBE=30°=∠DGE，
∵∠EDG=90°，
∴∠DEG=90°−30°=60°，
在Rt△EDG中，ED=CD−CE=48米，
∴DG=ED⋅tan60°=48 3(米)，
∴48 3÷4 3=12(秒)，
∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线．
【解析】(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM=∠BDN=30°，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB=CM=CD−DM，即可求出结论；
(2)延长EB交DN于点G，则∠DGE=∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE=30°，从而可得∠DEG=60°，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)400
(2)由题意可得，
W=(x−40)(−10x+1000)=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴x≥50p≥350，
即x≥50−10x+1000≥350，解得50≤x≤65．
∴当x=65时，W取得最大值，此时W=8750，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W(元)最大，最大利润是8750元；
(3)小强：∵50≤x≤65，
设日销售额为y元，
y=x⋅p=x(−10x+1000)=−10x²+1000x=−10(x−50)²+25000，
当x=50时，y值最大，此时y=25000，
当x=65时，W值最大，此时W=8750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即W≥8000，
−10(x−70)2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
【解析】解：(1)由题意可得，
p=500−10(x−50)=−10x+1000，
即每天的销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是p=−10x+1000，
当x=60时，p=−10×60+1000=400，(x≥50)，
故答案为：400．
(2)见答案；(3)见答案．
(1)根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把x=60代入解析式计算即可；
(2)根据每盒利润×销售盒数=总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案；
(3)根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．
本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际应用，考查学生对一次函数和不等式综合运用的能力，解决问题的关键是弄清题意，求出x的范围，在有效范围内求最值是本题容易出错的地方．
26.【答案】(1)证明：连接OE，如图：

∵BE=EF，
∴∠FAE=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAB，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF/​/OE，
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：如图：

由(1)知CD是⊙O的切线，
∴∠CEB=∠EAC(弦切角定理)，
∵CM平分∠ACD，
∴∠ECM=∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM=∠EMN，
∴EM=EN；
(3)解：如图：

由(2)知EM=EN，∠EMN=∠ENM，
∴∠EMN=∠BNC，
∵∠ECM=∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，
∴EMBN=CEBC=CMCN，
∵N是CM的中点，
∴EMBN=CEBC=CMCN=2，
∴EM=2BN，CE=2BC，
∵∠BEC=∠EAB，∠BCE=∠ECA，
∴△BEC∽△EAC，
∴BEAE=CEAC=BCCE=12，
∴AE=2BE，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴(2BE)2+BE2=(9 5)2，
∴BE=9，
∵EN=EM=2BN，
∴EN=23BE=6．
∴EN的长为6．
【解析】(1)连接OE，由BE=EF，得∠FAE=∠EAB，可得∠FAE=∠AEO，AF/​/OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切线；
(2)由∠CEB=∠EAC(弦切角定理)，∠ECM=∠ACM，可得∠ENM=∠EMN，EM=EN；
(3)证明△EMC∽△BNC，可得EMBN=CEBC=CMCN=2，又△BEC∽△EAC，可得AE=2BE，在Rt△ABE中，(2BE)2+BE2=(9 5)2，求出BE=9，故EN=23BE=6．
本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
27.【答案】C1，C2
【解析】解：(1)①由关联定义可知，若直线CA、CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，
∵点A(−1,0)，B1(− 22, 22)，点C1(−1,1)，C2(− 2,0)，C3(0, 2)，
∴直线AC2经过点O，且BC2与⊙O相切，
∴C2是弦AB1的“关联点”，
∵C1(−1,1)，A(−1,0)的横坐标相同，与B1(− 22, 22)都位于直线y=−x上，
∴AC1与⊙O相切，B1C1经过点O，
∴C1是弦AB1的“关联点”；
故答案为：C1，C2；
②∵A(−1,0)，B2( 22,− 22)，
设C(a,b)，如图所示，共有两种情况，
a、若C1B1与⊙O相切，AC经过点O，
则C1B2，AC1所在直线为y=x− 2y=0，
解得x= 2y=0，
∴C1( 2,0)，
∴OC1= 2，
b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，
则直线C2B2，AC2所在直线为x=−1y=−x，
解得x=−1y=1，
∴C2(−1,1)，
∴OC2= 2，
综上所述，OC= 2；
(2)∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，
∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M(0,3)，N(6 55,0)，OM>ON，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，
①当S位于点M(0,3)时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，
∵M(0,3)，⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，
∴OP⊥MP，
∵PJ⊥OM，
∴△MPO∽△POJ，
∴OPOJ=OMOP，即1OJ=3，
解得OJ=13，
∴PJ= Q1P2+Q1J2=2 23，Q1J=23，
∴PQ1= Q1P2+Q1J2=2 33，
同理PQ2= Q2P2+Q2J2=2 63，
∴当S位于M(0,3)时，PQ1的临界值为2 33和2 63；
②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上的点K时，
∵M(0,3)，N(6 55,0)，
∴MN= OM2+ON2=9 55，
∴OK=OM⋅ONMN=2，
∵⊙O的半径为1，
∴∠OKZ=30°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴PQ=1或 3，
∴当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，PQ1的临界点为1和 3，
∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤2 33内，最大值在2 63≤t≤ 3，
综上所述，t的取值范围为1≤t≤2 33，2 63≤t≤ 3．
(1)根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；
(2)根据M(0,3)，N(6 55,0)两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握心概念“关联点”是解题的关键．项自
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
75
80
80
乙
85
80
70
丙
70
78
70
x
−1
0
1
3
y
−1
3
5
3
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175