2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共6小题，共12分）

1. 年月日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约亿人．用科学记数法表示亿是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 已知，下列结论错误的是

A. 是负数 B. 是的立方根
C. 是无理数 D. 是的算术平方根

6. 如图，矩形纸片，，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共10小题，共20分）

7. 的相反数是________；的倒数是________
8. 分解因式的结果是______．
9. 计算的结果是______．
10. 设，是关于的方程的两个根，且，则______．
11. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向右平移个单位，得到点，则点的坐标为______．
12. 圆锥的母线长为，底面圆的面积为，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为______
13. 如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数，的图象分别经过点，，则的值为______．

14. 如图，是半圆的直径，，是半圆上的点，连接，，，且，，设，，则与之间的函数表达式为______．
15. 如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为______
    
    
     

16. 已知，，是下列函数图象上的点：
    ；；；
    其中，使不等式总成立的函数有______填正确的序号

三．解答题（本题共11小题，共88分）

17. 计算；
    解方程．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在等边三角形中，，，相交于点．
    求证≌；
    求证．
    
    
     

20. 在某次射击训练中，小明次射击的成绩如下单位：环．
    填表：

你认为小明这次射击的平均成绩环能反映他的实际水平吗？请说明理由．
若小明增加次射击，成绩为环，与增加前相比，小明的射击成绩______．
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大

21. 一个不透明的袋子中装有个红球，个黄球，个白球，这些球除颜色外无其他差别．
    从袋子中随机摸出个球，不放回，再随机摸出个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
    从袋子中随机摸出个球，摸出的是红球得分，黄球得分，白球得分．甲同学从袋子中随机摸出个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于分的概率是______．
22. 在▱中，，分别是，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，则四边形的面积为______．

23. 如图，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，测量得，，求摄像头到桌面的距离的长结果精确到参考数据：，，，

24. 甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离单位：与慢车的行驶时间单位：之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
    慢车的速度为______；
    求线段表示的与之间的函数表达式；
    请根据题意补全图象．

25. 如图，在中，是边上的点，以为直径的与，，分别交于点，，，且是的中点．
    求证；
    连接，当时，若，，求的长．
26. 已知二次函数为常数．
    求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
    二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若是等腰直角三角形，则的值为______；
    点，，在二次函数的图象上，当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
27. 旋转的思考
    【探索发现】
    已知，将绕点逆时针旋转得到小美，小丽探索发现了下列结论．
    小美的发现如图，连接对应点，，则．
    小丽的发现如图，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切．
    (ⅰ)请证明小美所发现的结论．
    (ⅱ)如图，小丽过点作，垂足为证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
    
    【问题解决】
    在中，，，，是的中点，将绕点逆时针旋转得到．
    (ⅰ)如图，当边恰好经过点时，连接，则的长为______．
    (ⅱ)在旋转过程中，若边所在直线恰好经过点，请在图中利用无刻度的直尺和圆规作出直线保留作图痕迹，不写作法
    【拓展研究】
    在的条件下，如图，在旋转过程中，直线，交于点，则的最大值为______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】

【解析】解：、原式，符合题意；
B、原式，不合题意；
C、原式，不合题意；
D、原式，不合题意；
故选：．
A、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；
B、根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可；
C、根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可；
D、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可．
此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由题可知：，
解得．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：连接，如图，设的度数为，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
．
故选：．
连接，如图，设的度数为，由于，根据等腰三角形的性质得到，则利用三角形外角性质得到，所以，然后利用三角形内角和定理得到，然后解方程求出，从而得到的度数．
本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等也考查了等腰三角形的性质．
 

5.【答案】

【解析】解：，
A、一定是负数，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、是的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、是的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：．
根据无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

6.【答案】

【解析】解：过点作于点，设， ，圆的直径为，
由题意可得：，，
，即，
，，
∽，
，即，
，

，，
半径为：．
故选：．
过点作于点，设， ，圆的直径为，利用对边之间的关系可得与的关系，再利用字型相似也可求出与的关系，进而可求出，，从而得出结论．
本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键是构造合适的辅助线．
 

7.【答案】；

【解析】

【分析】
本题考查了倒数以及相反数，属于基础题．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为 的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】
解： 的相反数是 ； 的倒数是 ，
故答案为： ； ．   

8.【答案】

【解析】解：原式

．
故答案为：．
根据多项式乘多项式展开，合并同类项，根据平方差公式分解因式即可．
本题考查了因式分解运用公式法，掌握是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，是关于的方程的两个根，
，，
，
，解得，
，

故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系，列方程即可解答．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是能熟练应根与系数的关系．
 

11.【答案】

【解析】解：将点向右平移个单位，得到点，
，
点关于轴的对称点，得到点，
点的坐标为．
故答案为：．
直接利用平移的性质得出坐标，再利用关于轴对称图形的性质得出答案．
此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：底面圆的面积为，
圆的半径为，
底面圆的周长为，
设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为，
根据题意得，
解得，
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为．
故答案为．
设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．
，
，
，
，
，
∽，
，

，
，
，
故答案为：．
过、分别作轴的垂线，垂足分别为、，先证得∽，根据相似三角形的性质得出，根据反比例函数系数的几何意义得出，解得方程即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，交于点，

是半圆的直径，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
连接，交于点，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，根据勾股定理得出，根据题意推出是的中位线，根据三角形中位线性质即可得解．
此题考查了勾股定理、三角形中位线定理，熟记勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，，，
点是正六边形和正五边形的中心，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接，，，根据正五边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，等由三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，，是下列函数图象上的点，
，
则，
，，
，
故不合题意；
，
则，
，，
，
故不合题意；
，
则，
，，
，
当时，即时，，
故不合题意
，
则，
，，
，
，
，
故正确，符合题意．
故答案为：．
将，，代入函数表达式，根据题意求得、、，比较大小，逐项判断即可．
本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，分别求得求得、、的值是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；
，
两边都乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的根．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式．

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

19.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌；
，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
．

【解析】根据等边三角形的性质可得，，然后利用证明≌，即可解答；
利用的结论可得，，从而可得，然后利用两角相等的两个三角形相似证明∽，再利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：小明成绩的方差，
把小明的成绩从小到大排列为，，，，，，，，，，
则中位数环，
故答案为：，；

不能较好的反映，
理由：该组数据中“”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；

若小明增加次射击，成绩为环，
平均成绩环，
平均数变大，
由小明的成绩得方差会变小，
故答案为：．
根据中位数、方差的计算方法分别计算即可；
数据中“”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；
根据平均数，方差的意义即可求解．
此题考查平均数、中位数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键．
 

21.【答案】

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种，
两次摸出的球都是红球的概率为．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于分的结果有种，
甲，乙两位同学所得分数之和不低于分的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种，再由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于分的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，．
，分别是，的中点，
，，
，

四边形是平行四边形；
解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，分别是，的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的定义得到，，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
连接，根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的定义得到，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点，

则，，，，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
摄像头到桌面的距离的长约为 ．

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点，根据题意可得，，，，，，从而求出，进而求出，然后先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】解：由图象得：慢车行驶，
慢车的速度为：，
故答案为：；
设线段表示的与之间的函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
线段表示的与之间的函数关系式为；
快车的速度为：，
快车追上慢车时，
快车到达乙地用时，此时，，
慢车到达乙地用时，
补全图象如图：

根据图象即可得出点坐标即可得出慢车的速度；
设线段表示的与之间的函数关系式为，由、的坐标即可求解；
根据快车与慢车速度，进而作出图象即可．
此题主要考查了一次函数的应用以及考查学生解决实际问题的能力，要求学生根据问题提供的信息读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息．要求学生将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题．
 

25.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
是的中点，
，
，
，，
，
；
解：连接，．
，，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
，
，
在中，，，
，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
在中，，，，
，
．

【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到，进而证明，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
连接，，证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据∽求出是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】证明：令，则 ．
，．
，
该方程有两个不相等的实数根．
不论为何值，该函数图像与轴有两个不同的公共点．
由知，，
令，得，
．
由题意得，是等腰直角三角形，
，
解得．
故答案为：；
法一：根据题意可知，需要分三种情况：
当有个点在轴下方时，有或，
解得或；
当有个点在轴下方时，
，
此种情况不存在；
综上可知，的取值范围为：或．
法二：由题意可知，，
，
，
，
，即，
，
，，，的负数有奇数个，且，
当负数有个时，且，
；
当负数有个时，且，
，
的取值范围为：或．
令，可得出的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
利用是等腰直角三角形，可得出，求出的值即可；
分别求出，，，利用，得出关于的不等式，求出的值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
 

27.【答案】 

【解析】证明：绕点逆时针旋转得到，
，，，
．
，
∽．
；

(ⅱ)证明：≌，
，
，
≌，
，
是的半径，，
是的切线．
故答案为：，；

解：(ⅰ)如图中，连接，，过点作于点．

，，
，
，，
，，
，
由旋转变换的性质可知，，，
∽，
，
，
．
故答案为：；

(ⅱ)如图中，直线即为所求．


如图中，连接，．

∽，
，
，
，
，
，，
，
，
，
定值，
点的运动轨迹是圆，假设圆心为，连接，，．
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
证明∽可得结论；
证明是的半径，，可得结论；
如图中，连接，，过点作于点解直角三角形求出，再证明∽，推出，可得结论；
连接在的上方作，直线即为所求；
如图中，连接，证明，因为定值，推出点的运动轨迹是圆，假设圆心为，连接，，求出，，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第三个问题的突破点是正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．