2023年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  南京文旅火爆“出圈”据统计，年第一季度南京共接待游客约人次，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列整数中，与最接近的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点，在反比例函数图象上，点的横坐标为，连接，，，若，的面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  的相反数是______ ，的倒数是______ ．

8.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

9.  分解因式：______．

10.  方程的解是          ．

11.  设，是方程的两个根，且，则 ______ ．

12.  如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，则该圆锥的母线长为，扇形的圆心角______

13.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，分别是边，的中点，若点，的纵坐标分别是，，则点的坐标是______ ．

14.  如图，点是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，，则 ______

15.  已知函数为常数，当时，的最小值记为的值随的值变化而变化，当 ______ 时，取得最大值．

16.  如图，在▱中，是边的中点，连接，若，，则对角线的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式组：

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
小丽从、、、四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩．
随机选择一个景点，恰好是景点的概率是______ ；
随机选择两个景点，求，景点至少有一个的概率．

20.  本小题分
某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：

完成表格；
 

从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ______ 填“”或“”或“”

21.  本小题分
如图，点在上，点在上，，交于点，，求证．

22.  本小题分
如图，▱的对角线，相交于点是的中点，连接并延长交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若平分，求证：．

23.  本小题分
已知函数为常数．
若该函数图象与轴的交点在轴上方，求的取值范围；
求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点．

24.  本小题分
利用无人机可以测量建筑物的高度如图，一架无人机在处悬停，测得建筑物顶端的仰角为，底端的俯角为然后，在同一平面内，该无人机以的速度沿着与水平线夹角为方向斜向上匀速飞行，飞行至处悬停，测得顶端的仰角为，求建筑物的高度参考数据：，，，，，

25.  本小题分
如图，四边形是的内接四边形，过点作交的延长线于点，，，连接．
求证；
若，，求的半径．

26.  本小题分
如图，古代行军中传令兵负责传送命令如图，一支长度为的队伍，排尾处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头，到达排头后立即返回排尾，再次接到命令，立即赶赴排头如
此循环往复，且传令兵往返速度保持不变行进过程中，传令兵离甲地的距离单位：与出发时间单位：之间的函数关系部分图象如图所示．
______ ， ______ ；
求线段所表示的与之间的函数表达式；
在图中，画出排头离甲地的距离单位：与出发时间之间的函数图象．
 

27.  本小题分
为内一点，连接，，，在、和中，如果存在两个三角形相似，那么称是的内相似点．
【概念理解】
如图，在中，，，是的内相似点直接写出的度数．
【深入思考】
如图，是内一点，连接，，，，从下面中选择一个作为条件，使是的内相似点，并给出证明．
；；．
【拓展延伸】
如图，在中，，求作一点，使是的内相似点要求：尺规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能加减，故选项A计算错误；
B.，故选项B计算错误；
C.，故选项C计算错误；
D.，故选项D计算正确．
故选：．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则等知识点是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，

更接近．
故选：．
估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，，
，是的切线，
，
，
，
，
，
，

故选：．
连接，，由，是的切线，得到，即可求出，由圆周角定理求出，由平行线的性质即可求出．
本题考查切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，关键是由切线的性质定理，圆周角定理求出．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，，，
只有正确．
故答案为：．
利用有理数的加减运算法则判断、的绝对值的大小，再判断选项正误．
本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握有理数的加减运算和数轴知识．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
点，在反比例函数图象上，点的横坐标为，
，，
，
设，
，
，
，
，
负值舍，
，
≌，
，，
过点作于，
，，且，
，
，
由图可知：，
故选：．
如图，过点作轴于，过点作轴于，由勾股定理可得：，证明≌，则，，先根据反比例函数的系数的几何意义可得：，根据图中面积的关系可知：，列方程可得结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定与性质．利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
 

7.【答案】   

【解析】解：的相反数是，的倒数是．
故答案为：，．
乘积是的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，相反数，关键是掌握倒数，相反数的定义
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，得：，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件进行求解即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分式的分母不为是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，

．
应先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程，
去分母得：，
解得：，
经检验是该分式方程的解．
故答案为：．
将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

11.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个根，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系，确定、的值，然后代入方程中，解方程确定的值．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法，将，代入方程，并解方程是解决此类题目经常使用的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】． 

【解析】解：延长交轴于，作于，
四边形是菱形，
，，
，
，
点，的纵坐标分别是，，
，，
是中点，
，
，
，
：：，
，
，
是的中位线，
，
，
，
的坐标是．
故答案为：．
延长交轴于，作于，由菱形的性质得到，，由点的纵坐标是，得到，由的纵坐标是，得到，由三角形中位线定理得到，即可求出的长，由勾股定理求出的长，即可得到的坐标．
本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，，，如图，
点是正六边形的中心，
，，
为等边三角形，，
，，在一条直线上，，．
以为边在正六边形的内部作正方形，
，，
，，
，
．
故答案为：．
连接，，，，利用正六边形的性质得到，，则为等边三角形，，，在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得的度数，则结论可得．
本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，连接正六边形的半径，证得，，在一条直线上是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由二次函数为常数，得到对称轴为直线，抛物线开口向上，
当，即时，由题意得：当时，，随增大而减小，的最大值为；
当，时，由题意得：当时，，则时，取得最大值；
当，即时，由题意得：当时，，随增大而增大，的最大值为；
综上，当时，取得最大值．
故答案为：．
分类讨论抛物线对称轴的位置确定出的范围即可．
此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点是的中点，，
，
如图，在的延长线上取一点，使，连接，

四边形为平行四边形，
，，
≌，
，
以为边在上方作等边，
，，
以点为圆心，为半径作，
则点在上，
过点作射线交于，，
则的最小值等于，最大值等于，
过点作于，则，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，，
，
故答案为：．
先求出，在的延长线上取一点，使，连接，判断出≌，得出，以为边在上方作等边，再以点为圆心，为半径作，则点在上，得出的最小值等于，最大值等于，再构造出直角三角形求出．
此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出点的运动轨迹是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集为． 

【解析】分别根据绝对值的性质，负整数指数幂的定义以及特殊角的三角函数值计算即可；
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及解一元一次不等式组，掌握相关定义是解答的关键；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

18.【答案】解：




．
当时，
原式

． 

【解析】先利用异分母分式的加减法法则先计算被除数，再把除法转化为乘法，化简分式，最后代入的值求出结果．
本题考查了分式的混合运算化简求值，掌握分式的运算法则及二次根式的混合运算是解决本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：共有、、、四个景点，
恰好选中景点的概率为；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，选中、两个景点至少有一个的结果有个，
随机选择两个景点，，景点至少有一个的概率为：．
根据概率公式直接求解即可；
根据题意列树状图得出所有等可能的结果以及选中、两个景点至少有一个的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

20.【答案】       

【解析】解：甲的中位数为；
乙的方差为；
丙的平均数为；
故答案为：；；；
选甲更合适，理由如下：
因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，所以选甲更合适；
去掉一个最高分和一个最低分之后甲的平均数为，
方差．
故答案为：．
分别根据中位数，方差和加权平均数的定义计算即可；
根据平均数和方差的意义解答即可；
根据方差的公式解答即可．
本题主要考查了中位数、平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

21.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】利用可判定≌，从而有，可求得，再利用可判定≌，即有．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角与各边之间的关系．
 

22.【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，易证≌，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证；
先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，进一步即可得证．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，．
若该函数图象与轴的交点在轴上方，则有；
即．
证明：根据二次函数与一元二次方程的关系，
函数与轴有两个公共点相当于一元二次方程有两个不相等实数根；
此方程中；
不论取何值，一元二次方程总有两个不等实根．
即：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点． 

【解析】用表示函数与轴交点纵坐标，判断取值范围；
令，将二次函数转化为方程，利用一元二次方程根的判别式证明．
本题考查二次函数图象与字母系数之间的关系及二次函数与一元二次方程的关系；
 

24.【答案】解：如图：过点作，交的延长线于点，

由题意得：，，，，，
在中，，
，
，
，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
在中，，
，
，
建筑物的高度约为． 

【解析】过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后设，则，在，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，，
≌，
；
解：连接，，连接并延长交于，

由知：，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，
，
，
，
，
答：的半径是． 

【解析】根据平行线的性质和圆内接四边形的性质可得：，根据证明≌，可得结论；
连接，，连接并延长交于，证明∽，列比例式可得的长，由垂径定理可得：，，最后由勾股定理可得结论．
本题考查了圆内接四边形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，垂径定理等知识，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：由图可知，时，传令兵到达，
根据题意得：，
化简得：，
时，传令兵返回，
根据题意得：，
化简得，
联立得：，
解得，
故答案为：，；
由可知，点纵坐标为，
，
点纵坐标为：，
，
设与之间的函数表达式为，
将，代入得：，
解得，
与之间的函数表达式为；
由知，当时，，
过点，
根据题意可得图象：

从图象可知，传令兵从队伍末尾走到队伍最前面所用时间分钟，再从最前面返回队尾用时分钟，根据速度，时间，路程之间的关系列出，的方程组，解方程即可；
根据可求出，的坐标，用待定系数法求函数解析式即可；
根据可求出经过，再根据传令兵运动的周期性，画出函数图象．
本题考查一次函数的应用，关键是求出，．
 

27.【答案】解：如图，

当∽时，
，
，
，
当∽时，
同理可得：，
，
当∽时，
可得，
综上所述：或或；
选：，此时∽，理由如下：
设，则，
，
，

，
，
∽，
点是的内相似点；
如图，

作垂直平分线，交于点，
连接，作的外接圆，
作直径，连接，交于点，
则点就是求得的图形，
理由如下：
是得垂直平分线，
点是得中点，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
∽，
是的内相似点． 

【解析】分为∽或∽或∽时，可推出，进而求得的值，另外两种情形同理可得出结果；
选：设，则，可推出，从而，进而得出结论；
作法：作垂直平分线，交于点，连接，作的外接圆，作直径，连接，交于点，可得出，从而，，进而推出，，进而得出，从而得出∽，进而得出结论．
本题考查了阅读理解能力，考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是注意使用问题间的关系．