2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学零模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学零模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷.用科学记数法表示22000000是( )
A. 22×106B. 2.2×106C. 22×107D. 2.2×107
2.下列运算正确的是( )
A. a+ b= a+bB. (x2)5=x10
C. x5⋅x6=x30D. 2 a×3 a=6 a
3.下列无理数中，与5最接近的是( )
A. 21B. 23C. 26D. 29
4.已知a−1>0，则下列结论正确的是( )
A. −1<−aC. −a<−15.如图，正方形ABCD与△EBC中，AD分别与EB、EC相交于F点、G点，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为何( )
A. 3：5
B. 3：6
C. 3：7
D. 3：8
6.如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点在半圆上，F，G是直径AB上的点，若∠AFC=∠DFB，∠DGA=∠EGB.已知AC的度数为20°，BE的度数为60°，则∠FDG的度数为( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.−12的相反数是______，9的平方根是______．
8.若式于 4−xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
9.因式分解：a4−8a2b2+16b4= ______．
10.若24+24=2a，35+35+35=3b，则a+b= ______．
11.一个圆锥的主视图是边长为4的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于______．
12.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE=______．
13.已知点A在第二象限，OA=4.反比例函数y=kx的图象经过点A，则k的取值范围是______．
14.已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图象经过点A(−1,4)与点B(2,1)，并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为______．
15.如图，在半圆O中，点C在半圆O上，点D在直径AB上，将半圆O沿过BC所在的直线折叠，使BC恰好经过点D.若BC= 10，BD=1，则半圆O的直径为______．
16.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AB上运动(不与点A、B重合)，∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF= 2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG.则下列结论：①∠DCF+∠BCE=45°；②CF= 2EF；③BE2+DG2=EG2；④△EAF面积的最大值为12，其中正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)(2 3−π)0−|1− 3|+3tan30°+(−12)−2；
(2)m3−2m2m2−4m+4÷(9m−3+m+3)．
18.(本小题10分)
(1)解方程：x+1x−1−4x2−1=1；
(2)整不等式组2x+1<3x2+1−3x4≤1．
19.(本小题7分)
生物活动课上，为更好利用树叶的特征对树木进行分类，老师带领同学们随机收集A，B两种树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y(单位：cm)，宽x(单位：cm)的数据后，分别计算长宽比，并整理、分析如下：
a.计算树叶的长宽比：
b.分析数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)上述表格中：m= ______，n= ______．
(2)①甲同学说：“从树叶的长宽比的中位数和众数来看，我发现B种树树叶的长约为宽的两倍.”②乙同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为A种树树叶的形状差别大.”这两位同学的说法中，合理的是______(填序号)．
(3)现有一片长17cm，宽4.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于A，B哪种树？并说明理由．
20.(本小题7分)
如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论．
21.(本小题7分)
甲、乙两人分别从A、B、C、D这4个景点中随机选择2个景点游览．
(1)甲选择的两个景点中含有景点A的概率为______；
(2)求甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率．
22.(本小题7分)
学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC=12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上.求CD的长度.(结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51， 3≈1.73.)
23.(本小题8分)
高铁站候车厅的饮水机(图1)有温水、开水两个按钮，图2为其示意图.小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯，期间不计热损失.利用图中信息解决下列问题：
(1)若先接温水26秒，求再接开水的时间．
(2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃．
①若y=50，求x的值．
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
24.(本小题6分)
如图：已知⊙O，用直尺和圆规作图(保留作图痕迹，写出必要的文字说明.)
(1)在图①中，点P是⊙O外一点，过点P作⊙O的一条切线；
(2)在图②中，⊙O1与⊙O外离，作一条直线l与⊙O、⊙O1都相切．
25.(本小题8分)
如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH=4 2，HB=2，求⊙O的直径．
26.(本小题8分)
在二次函数y=x2+2mx+m−1中．
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−3，则m的值为______．
(3)当m<0时，点A(n−2,a)，B(4,b)，C(n,a)都在这个二次函数的图象上，且a27.(本小题10分)
如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点(0(1)求证：GE=GF．
(2)当AE=2DG时，求AE的长．
(3)令AE=a，DG=b．
①求证：(4−a)(4−b)=4．
②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K.记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a=1时，求S1S2的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：22000000=2.2×107．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 a与 b不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=x10，故B符合题意．
C、原式=x11，故C不符合题意．
D、原式=6a，故D不符合题意．
故选：B．
根据二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算即可求出答案．
本题考查二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，本题属于基础题型．
3.【答案】C
【解析】解：∵21<23<25<26<29，
∴ 21< 23< 25< 26< 29，
∵25−23=2，25−21=4，26−25=1，29−25=4，
∴与25最接近的数是26，
∴与5最接近的是 26，
故选：C．
先判断各个选项中的被开方数21，23，25，26和29的大小，并比较其他各数与25的差的大小，从而进行判断解答即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数介于哪两个整数之间．
4.【答案】B
【解析】解：∵a−1>0，
∴a>1，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1故选：B．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，交AD于N，
∵AD/​/BC，
∴EM⊥AD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB=MN，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴S△BGC=8，BC=4，
∵△EBG的面积为6，
∴S△BCE=14=12×BC⋅EM，
∴EM=7，
∴EN=3，
∵AD/​/BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴FGBC=ENEM=37，
故选：C．
由正方形的性质可求S△BGC=8，BC=4，由面积的和差关系可求S△BCE=14，即可求EM=7，EN=3，由相似三角形的判定和性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：延长DF交圆于M，延长DG交圆于N，
∵∠AFC=∠DFB，∠AFM=∠DFB，
∴∠AFC=∠AFM，
同理∠EGB=∠NGB，
由圆的对称性得到AM=AC，NB=BE，
∵AC的度数为20°，BE的度数为60°，
∴AM的度数为20°，BN的度数是60°，
∵AB是圆的直径，
∴MN的度数=180°−20°−60°=100°，
∴∠FDG=12×100°=50°．
故选：C．
延长DF交圆于M，延长DG交圆于N，由对顶角的性质得到∠AFM=∠DFB，而∠AFC=∠DFB，推出∠AFC=∠AFM，同理∠EGB=∠NGB，由圆的对称性得到AM=AC，NB=BE，于是得到AM的度数为20°，BN的度数是60°，求出MN的度数=180°−20°−60°=100°，由圆周角定理求出∠FDG=12×100°=50°．
本题考查圆周角定理，关键是由圆的对称性得到AM=AC，NB=BE．
7.【答案】12 ±3
【解析】解：−12的相反数是12，
∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3，
故答案为：12，±3．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可；根据平方根的定义解答即可．
本题考查了相反数，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
8.【答案】x≤4且x≠2
【解析】解：由题可知，
4−x≥0x−2≠0，
解得x≤4且x≠2．
故答案为：x≤4且x≠2．
根据被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．
9.【答案】(a−2b)2(a+2b)2
【解析】解：原式=(a2−4b2)2
=(a−2b)2(a+2b)2．
故答案为：(a−2b)2(a+2b)2．
直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
10.【答案】11
【解析】解：∵24+24=2a，35+35+35=3b，
∴2a=2×24=25，3b=3×35=36．
∴a=5，b=6．
∴a+b=5+6=11．
故答案为：11．
根据乘方的定义(求几个相同因数或因式的积的一种运算)解决此题．
本题主要考查乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键．
11.【答案】8π
【解析】解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，
所以这个圆锥的侧面积=12×4×2π×2=8π．
故答案为：8π．
根据圆锥的主视图得到圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12.【答案】37
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是正方形，
∴EH/​/CD，CD=AB=3，AD=BC=4
∴△AEH∽△ACD
∴EHCD=AHAD，
即EHAH=CDAD=34
设EH=3x，AH=4x，
∴GH=GF=3x，
∵EF/​/AD
∴∠AFE=∠FAG
∴tan∠AFE=tan∠FAG=GFAG=3x3x+4x=37．
故答案为37．
根据矩形和正方形的性质可得EH/​/CD，CD=AB=3，AD=BC=4进而可得△AEH∽△ACD，对应边成比例得EHCD=AHAD，即EHAH=CDAD=34，再根据锐角三角函数即可求解．
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的性质，解决本题的关键是综合以上知识．
13.【答案】−8≤k<0
【解析】解：当反比例函数y=kx的图象与y=x图象交于点A时，k的绝对值最大，
∵OA=4，
∴此时点A的坐标为(−2 2,2 2)，
∴k=−8，
∴若反比例函数y=kx的图象经过点A，则k的取值范围是：−8≤k<0．
故答案为：−8≤k<0．
利用反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键．
14.【答案】−4
【解析】解：由于二次函数的图象过点A(−1,4)，点B(2,1)，
所以a−b+c=44a+2b+c=1，
解得b=−a−1c=3−2a.
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，
所以Δ=b2−4ac>0，
(−a−1)2−4a(3−2a)>0，即(9a−1)(a−1)>0，
由于a是正整数，故a≥2，
又因为b+c=−3a+2≤−4，
故b+c的最大值为−4．
故答案为−4．
根据已知条件得到关于a，b，c的方程组，用a表示b和c，根据与x轴有两个不同的交点，求得a的取值范围，再进一步分析b+c的最大值．
在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确定要求的代数式的取值范围．
15.【答案】4
【解析】解：过C点作CH⊥AB于H点，连接CD、OC、AC，如图：
∵圆弧BC沿BC所在的直线折叠后与直径AB交于点D，
∴CD和AC所在的圆为等圆，
∵CD和AC所对的圆周角都是∠ABC，
∴AC=CD，
∴CA=CD，
∵CH⊥AD，
∴AH=DH，
∵BD=1，
∴OC=OA=OB=BD+OD=1+OD，
∴AD=OA+OD=1+2OD，
∴AH=DH=12AD=12+OD，
∴OH=DH−OD=12+OD−OD=12，BH=OB+OH=1+OD+12=32+OD，
在Rt△BCH中，BC= 10，
∴CH2=BC2−BH2=( 10)2−(32+OD)2=10−94−3OD−OD2=314−3OD−OD2，
在Rt△OCH中，CH2=OC2−OH2=(1+OD)2−(12)2=1+2OD+OD2−14=OD2+2OD+34，
∴314−3OD−OD2=OD2+2OD+34，
∴OD=1或OD=−72(舍去)，
∴OB=1=1=2，
∴AB=4，
即半圆O的直径为4，
故答案为：4．
过C点作CH⊥AB于H点，连接CD、OC，如图，根据折叠的性质得到CD和AC所在的圆为等圆，由于CD和AC所对的圆周角都是∠ABC，所以CD=AC，则CA=CD，根据等腰三角形的性质求出AH=DH=12AD=12+OD，则OH=12，BH=32+OD，
根据勾股定理求出OD=1，再根据线段的和差求解即可．
本题考查了勾股定理、折叠的性质、圆周角定理等知识，熟练运用勾股定理、圆周角定理是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：如图1：在BC上截取BH=BE，连接EH，
∵∠EBH=90°，
∵EH= 2BE，AF= 2BE，
∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，
∴△FAE≌△EHC(SAS)，
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∴∠ECH+∠CEB=90°，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，
∴∠BCE+∠DCF=90°−45°=45°，FC= 2EF，故①②正确；
如图2，延长AD到H，使得DH=BE，
在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDH=90°，
∴△CBE≌△CDH(SAS)，
∴∠ECB=∠DCH，CE=CH，
∴∠ECH=∠BCD=90°，
∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，
∴△GCE≌△GCH(SAS)，
∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG；故③错误，
设BE=BH=x，则AE=CH=2−x，AF= 2x，
∴S△AEF=S△EHC=2x(2−x)=−1x2+x，
∵−12<0，
∴x=−12×(−12)=1时，△AEF的面积的最大值为12；
故④正确，
故答案为：①②④．
如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH.证明△FAE≌△EHC(SAS)，即可判断①②；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH(SAS)，即可判断③；设BE=x，则AE=a−x，AF= 2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题可判断④；从而可得答案．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
17.【答案】解：(1)(2 3−π)0−|1− 3|+3tan30°+(−12)−2
=1−( 3−1)+3× 33+4
=1− 3+1+ 3+4
=6；
(2)m3−2m2m2−4m+4÷(9m−3+m+3)
=m2(m−2)(m−2)2÷9+(m+3)(m−3)m−3
=m2m−2÷m2m−3
=m2m−2⋅m−3m2
=m−3m−2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)x+1x−1−4x2−1=1，
x+1x−1−4(x+1)(x−1)=1，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
x2+2x+1−4=x2−1，
x2+2x−x2=−1+4−1，
2x=2，
x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
所以x=1是增根，
即分式方程无解；
(2)2x+1<3①x2+1−3x4≤1②，
解不等式①，得x<1，
解不等式②，得x≥−3，
所以不等式组的解集是−3≤x<1．
【解析】(1)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(2)的关键．
19.【答案】1.95 4.0 ①
【解析】解：(1)A种树树叶的众数n=4.0，
B种树叶的长宽比重新排列为1.3、1.8、1.8、1.9、2.0、2.0、2.0、2.0、2.4，
所以B种树叶的中位数m=1.9+2.02=1.95，
故答案为：1.95、4.0；
(2)∵B种树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0，
∴甲同学说法合理，
∵0.0424<0.0669，
∴A种树叶的形状差别小，
故乙同学说法不合理，
故答案为：①；
(3)这片树叶更可能来自A种树，
∵一片长17cm，宽4.5cm的树叶，长宽比接近3.8，
∴这片树叶更可能来自A种树．
(1)根据中位数和众数的定义解答即可；
(2)根据题目给出的数据判定即可；
(3)根据树叶的长宽比判定即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=OC，
∵AE=CF，
∴AO−AE=OC−CF，
即：OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
OB=OD∠BOE=∠DOFOE=OF
∴△BOE≌△DOF(SAS)；
(2)矩形，
证明：∵BO=DO，OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD=EF，
∴平行四边形BEDF是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出BO=DO，AO=OC，求出OE=OF，根据全等三角形的判定定理推出即可；
(2)根据对角线互相平分先推出四边形EBFD是平行四边形，再根据平行四边形对角线相等是矩形得出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和矩形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
21.【答案】12
【解析】解：(1)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲选择的两个景点中含有景点A的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴甲选择的两个景点中含有景点A的概率为612=12．
故答案为：12．
(2)列表如下：
共有36种等可能的结果，其中甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的结果有6种，
∴甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率为636=16．
(1)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲选择的两个景点中含有景点A的结果数，再利用概率公式可得出答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】解：延长BA交CG于点E，

则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，
∴AE=12AC=12×12=6(m)，CE=AC⋅csα=12× 32=6 3(m)，
在Rt△BCE中，∠BCE=60°，
∴BE=CE⋅tan∠BCE=6 3× 3=18(m)，
在Rt△BDE中，∠BDE=27°，
∴CD=DE−CE=BEtan∠BDE−6 3≈24.9m，
答：CD的长度约为24.9m．
【解析】延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据余弦的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设接开水的时间的时间为t秒，
根据题意得：20×26+15t=700，
解得t=12，
答：接开水的时间为12秒；
(2)①由题意知，温水体积20x ml，开水体积为(700−20x)ml，
则20x⋅(50−30)=(700−20x)(100−50)，
解得x=25；
②由①得：20x(y−30)=(700−20x)(100−y)，
化简，得y=−2x+100，
∵35≤y≤38，
∴31≤x≤32.5，
∴y关于x的函数关系式为y=−2x+100，达到最佳水温时x的取值范围为31≤x≤32.5．
【解析】(1)设接开水的时间为t秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；
(2)①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解；
②根据物理知识中等量关系，列出y关于x的函数，根据增减性，即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式．
24.【答案】解：(1)①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；②以点A为圆心，以AO的长为半径作⊙A，⊙A交⊙O于点B；③作直线PB，则直线PB是⊙O的切线；如图，直线PB即为所作；

(2)①作直线OO1，②作垂直于直线OO1的半径O1C、OD，③连接CD交OO1于点E，④分别以O1E、OE为直径作圆，与⊙O和⊙O分别交于点A、B，⑤作直线AB，则直线AB与⊙O、⊙O1都相切．如图，直线AB即为所作．
【解析】(1)直接以OP为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADC=90°，可证直线PD是切线；
(2)作直线OO1作垂直于直线OO1的半径O1C、OD，连接CD交OO1于点E，分别以O1E、OE为直径作圆，与⊙O1和⊙O分别交于点A、B，连接AB，则直线AB与⊙O、⊙O1都相切．
本题考查了尺规作图一作切线，切线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】(1)证明：连接OF．
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵EF=FB，
∴∠CAF=∠FAB，
∴∠CAF=∠AFO，
∴OF//AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD=∠AFB=90°，
∴∠AFO=∠DFB，
∵∠OAF=∠OFA，
∴∠DFB=∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG=∠FDG，
∵∠FGH=∠OAF+∠ADG，∠FHG=∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH=∠FHG=45°，
∴sin∠FHG= 22；
(3)解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM=HN，
∵S△DHFS△DHB=FHHB=12⋅DF⋅HM12⋅DB⋅HN=DFDB，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH=4 2，
∴FH=FG=4，
∴DFDB=42=2，
设DB=k，DF=2k，
∵∠FDB=∠ADF，∠DFB=∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2=DB⋅DA，
∴AD=4k，
∵GD平分∠ADF，
∴FGAG=DFAD=12，
∴AG=8，AF=12，
∵∠AFB=90°，FB=6，
∴AB= AF2+BF2= 122+62=6 5，
∴⊙O的直径为6 5．
【解析】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
(1)连接OF，证明OF⊥CD即可；
(2)证明∠FGH=∠FHG=45°，可得结论；
(3)过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N.则HM=HN，可得S△DHFS△DHB=FHHB=12⋅DF⋅HM12⋅DB⋅HN=DFDB=2，设DB=k，DF=2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2=DB⋅DA，可得AD=4k，由GD平分∠ADF，同法可得FGAG=DFAD=12，推出AG=8，再利用勾股定理求解即可．
26.【答案】−1 36
【解析】(1)证明：由题意得，Δ=(2m)2−4(m−1)
=4m2−4m+4
=4(m2−m+14)+3
=4(m−12)2+3．
又对于任意的m都有(m−12)2≥0，
∴4(m−12)2≥0．
∴Δ=4(m−12)2+3≥3>0．
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．
(2)解：由题意可得，y=x2+2mx+m−1=(x+m)2−m2+m−1．
∴抛物线的对称轴是直线x=−m．
①当−m≥3时，即m≤−3．
又抛物线开口向上，
∴当x=3时，y取最小值为9+6m+m−1=−3．
∴m=−117>−3，不合题意．
②当0≤−m≤3时，即−3≤m≤0．
又抛物线开口向上，
∴当x=−m时，y取最小值为−m2+m−1=−3．
∴m2−m−2=0．
∴m=2或m=−1、
又−3≤m≤0，
∴m=−1．
③当−m≤0时，即m≥0．
又抛物线开口向上，
∴当x=0时，y取最小值为m−1=−3．
∴m=−2<0，不合题意．
综上，m=−1．
故答案为：−1．
(3)解：由题意得，对称轴是直线x=−m=n−2+n2．
∴−m=n−1．
∴m=−n+1．
又m<0，
∴−n+1<0．
∴n>1．
又抛物线过B(4,b)，
∴16+8m+m−1=b．
又b∴9m+15∴m<−2．
∴−m>2．
∴n=1−m>3，即n>3．
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵a∴n−(−m)<|−m−4|．
∴当n+m当n+m<−m−4时，n+(1−n)6．
综上，36．
故答案为：36．
(1)依据题意，由Δ=(2m)2−4(m−1)=4(m−12)2+3，又对于任意的m都有(m−12)2≥0，从而可以判断Δ的大小，进而可以得解；
(2)依据题意，分“当0≤−m≤3时”、“当−m<0时”、“当−m>3时”，三种情况计算讨论，得出答案即可；
(3)依据题意，根据二次函数对称轴公式，结合点A(n−2,a)，C(n,a)两点纵坐标相等可知，对称轴直线x=n−1=−m，结合m<0，a本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF；
(2)解：过G作GH⊥BC于H，如图：

设DG=x，则AE=2x，
∴GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，
∵∠GHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH=CD=AB=4，CH=DG=x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF=AE=2x，
∴FH=CF−CH=x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2=GF2，
∴x2+42=(8−3x)2，
解得x=3+ 3(此时AE大于AD，舍去)或x=3− 3，
∴AE=2x=6−2 3；
∴AE的长为6−2 3；
(3)①证明：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图：

∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA=OD，OQ=12AB=2，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°−∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴GQOQ=OQEQ，即GQ⋅EQ=OQ2，
∴GQ⋅EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴AQ=DQ=12AD=4，
∴EQ=AQ−AE=4−a，GQ=DQ−GD=4−b，
∴(4−a)(4−b)=4；
②解：连接B′D，OG，OB，如图：

∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴BF=B′F，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BF=DE，
∴B′F=DE，
同理OD=OB=OB′，
由(1)知GF=GE，
∴B′F−GF=DE−GE，即B′G=DG，
∵OG=OG，
∴△DOG≌△B′OG(SSS)，
∴∠ODG=∠OB′G，
∵DG=B′G，∠DGK=∠B′GH，
∴△DGK≌△B′GH(ASA)，
∴DK=B′H，GK=GH，
∴OD−DK=OB′−B′H，即OK=OH，
∵OG=OG，
∴△OGK≌△OGH(SSS)，
∴S△OGK=S△OGH，
∴S1=2S△OGK，
∴S1S2=2S△OGKS2，
∵∠EGF=∠DGB′，GE=GF，GD=GB′，
∴∠GEF=∠GFE=∠GDB′=∠GB′D，
∴EF//B′D，
∴△OKF∽△DKB′，△EGF∽△DGB′，
∴OKDK=OFB′D，
∵S△OGKS2=OKDK，
∴S1S2=2S△OGKS2=2OKDK=2OFB′D=EFB′D，
∵△EGF∽△DGB′，
∴EFB′D=GEGD，
当a=1时，由①知(4−1)×(4−b)=4，
∴b=83，
∴AE=1，DG=83，
∴GE=AD−AE−DG=133，
∴S1S2=EFB′D=GEGD=13383=138，
∴S1S2的值为138．
【解析】(1)由四边形ABCD是矩形，可得∠GEF=∠BFE，而四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，有∠BFE=∠GFE，故∠GEF=∠GFE，GE=GF；
(2)过G作GH⊥BC于H，设DG=x，可知AE=2x，GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，根据点O为矩形ABCD的对称中心，可得CF=AE=2x，故FH=CF−CH=x，在Rt△GFH中，x2+42=(8−3x)2，解得x的值从而可得AE的长为6−2 3；
(3)①过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，由点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，可得O为EF中点，OA=OD，OQ=12AB=2，证明△GOQ∽△OEQ，得GQOQ=OQEQ，即GQ⋅EQ=OQ2，故GQ⋅EQ=4，即可得(4−a)(4−b)=4；
②连接B′D，OG，OB，证明B′F=DE，OD=OB=OB′，可得△DOG≌△B′OG(SSS)，∠ODG=∠OB′G，从而△DGK≌△B′GH(ASA)，DK=B′H，GK=GH，即可证△OGK≌△OGH(SSS)，得S△OGK=S△OGH，有S1S2=2S△OGKS2，而∠EGF=∠DGB′，GE=GF，GD=GB′，知EF//B′D，可得△OKF∽△DKB′，△EGF∽△DGB′，得OKDK=OFB′D，S1S2=2S△OGKS2=2OKDK=2OFB′D=EFB′D，又△EGF∽△DGB′，有EFB′D=GEGD，当a=1时，b=83，即AE=1，DG=83，即可得S1S2=EFB′D=GEGD=13383=138．
本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．序号
长宽比
树叶种类
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A种树树叶
3.5
3.4
3.8
3.8
3.7
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
B种树树叶
1.9
2.0
2.4
1.8
2.0
2.0
1.3
1.9
2.0
1.8
统计量
数据
树叶种类
平均数
中位数
众数
方差
A种树树叶
3.74
3.75
n
0.0424
B种树树叶
1.91
m
2.0
0.0669
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35−38℃(包括35℃与38℃)，这一温度最接近人体体温．
AB
AC
AD
BC
BD
CD
AB
(AB,AB)
(AB,AC)
(AB,AD)
(AB,BC)
(AB,BD)
(AB,CD)
AC
(AC,AB)
(AC,AC)
(AC,AD)
(AC,BC)
(AC,BD)
(AC,CD)
AD
(AD,AB)
(AD,AC)
(AD,AD)
(AD,BC)
(AD,BD)
(AD,CD)
BC
(BC,AB)
(BC,AC)
(BC,AD)
(BC,BC)
(BC,BD)
(BC,CD)
BD
(BD,AB)
(BD,AC)
(BD,AD)
(BD,BC)
(BD,BD)
(BD,CD)
CD
(CD,AB)
(CD,AC)
(CD,AD)
(CD,BC)
(CD,BD)
(CD,CD)